Le problème de dimensionnement multi-périodes avec conservation des routages Journée Francilienne de Recherche Opérationnelle 24 juin 2005 France Telecom Division R&D Université de Technologie de Compiègne Benoit Lardeux Dritan Nace Jérôme Geffard

Le problème de dimensionnement de réseau à coûts discontinus (1/2) Un graphe non-orienté G=(V,E) K demandes de trafic routées simultanément dans le réseau Ecoulement du trafic modélisé par un multiflot Ensemble fini de valeurs de capacités disponibles pour chaque lien Fonctions de coût générales, croissantes et constantes par morceaux, dépendantes des capacités installées sur les liens => Objectif: Installer suffisamment de capacités sur les liens afin de permettre le routage de toutes les demandes dans le réseau pour un coût global minimal

Fonction de coût croissante et constante par morceaux Coût du lien Capacité installée sur le lien v4ev4e v5ev5e 5 e 4 e Le problème de dimensionnement de réseau à coûts discontinus (2/2)

Aspects multi-périodes dans les télécommunications (1/2) Une période de temps discrétisée {1,2,…,T} Prévisions des demandes ajoutées devant être routées dans le réseau à chaque période Coût du matériel, i.e. coût des capacités installées sur les liens, diminue au fil du temps A chaque période, le réseau est dimensionné tel que l'ensemble des demandes ajoutées depuis la première période puisse être routé dans le réseau Les capacités installées à une période ne peuvent être supprimées à la suivante Conservation des routages => Des contraintes d'ingénierie de trafic nous imposent que le trafic routé à une période t doit nécessairement utiliser les mêmes ressources en bande passante jusqu'à la fin de la période T.

Aspects multi-périodes dans les télécommunications (2/2) Conservation des routages Trafic routé à la période 1 à la période 2 Chemin emprunté par la demande entre A et B à la première période Chemin emprunté par la demande entre A et B ajoutée à la seconde période A B C A B C

Principales étapes de l'étude Etat de l'art concernant le problème de dimensionnement multi-périodes à coûts dscontinus –A. Dutta and J.I. Lim. "A Multiperiod Capacity Planning Model for Backbone Computer Communications Networks." Operations Research, 40: , –C.G. Chang and B. Gavish. "Lower Bounding Procedures for Multiperiod Telecommunications Network Expansion Problems." Operations Research, 43(1):43-57, Déterminer un modèle compact pour le problème de dimensionnement multi- périodes avec conservation des routages (MPNDI) –Généralisation du théorème japonais pour MPNDI Etude de la structure mathématique du polyèdre des solutions réalisables de MPNDI Définir une méthode de résolution exacte –Combinaison de la résolution des relaxations entières de MPNDI grâce au MIP de CPLEX avec une procédure de génération de contraintes multiples Amélioration de la méthode exacte afin de résoudre de plus grandes instances de réseau

Le modèle "Capacité" Notations: –G t =(V,E t ), le graphe modélisant le réseau à la période t (capacités installées de la première période jusquà la période t) pour chaque période t {1,…T}, |V|=n –G T* =(V,E T* ) le graphe somme des graphes G t pour tout t {1,…,T} –x t, vecteur des capacités ajoutées sur tous les liens à la période t {1,…,T} –d t, vecteur des demandes ajoutées à la période t {1,…,T} –, le cône métrique Proposition 1: Le polyèdre des multiflots réalisables avec conservation des routages, noté XM, est caractérisé comme suit –IMet T n étant le cône métrique incrémental défini par lensemble des vecteurs =( 1, 2,…, T ), tels que

Motivations du choix du modèle Peu de variables: seulement les variables de capacité –Le problème est exprimé par un programme linéaire en 0-1 de grande taille Un très grand nombre de contraintes sont nécessaires pour décrire XM => Méthode de décomposition de Benders Méthode déjà utilisée avec succès pour le problème de dimensionnement multicouche à coûts discontinus Le cône Met n est une structure mathématique largement étudiée Le cône Met n est une bonne approximation du cône des coupes (Cut n ) Des heuristiques efficaces permettent de générer les rayons extrêmes de Cut n, i.e. les coupes du graphe

Méthode exacte (1/2) Basée sur un processus de génération de contraintes Calcul de la solution optimale dune relaxation entière de MPNDI avec CPLEX, sans les contraintes définissant XM Recherche de linégalité définissant XM Calcul de la solution optimale du la plus violée, i.e. recherche du nouveau MPNDI relaxé avec CPLEX meilleur IMet T n La nouvelle inégalité obtenue est-elle violée oui Ajout de linégalité obtenue aux pour la solution optimale de MPNDI relaxé ? contraintes de MPNDI relaxé non La solution optimale de MPNDI relaxé est optimale pour MPNDI

Méthode exacte (2/2) Problème satellite: –Recherche de linégalité décrivant XM la plus violée à partir de la solution optimale de la relaxation entière de MPNDI à l'itération r Notons, cette solution optimale

Lensemble des inégalités formées par les rayons extrêmes de IMet T n est nécessaire et suffisant pour complètement décrire le polyèdre XM (déduction du théorème de Minkowski) Proposition 2: La solution du problème satellite est un rayon extrême de IMet T n Proposition 3: (0,…,0, t,0,…,0), tel que t {1,…,T}, est un rayon extrême de IMet T n si et seulement si t est un rayon extrême de Met n Problème de génération de l'inégalité métrique la plus violée pour chaque période t {1,…,T} => résolution d'un programme linéaire (complexité polynomiale) Rayons extrêmes de IMet T n et inégalités métriques

Génération des coupes de bipartition (1/2) Notons ICut T n le cône défini par lensemble des vecteurs =( 1, 2,…, T ), tels que Proposition 4: ICut T (G T* ) = IMet T (G T* ), si le graphe somme du graphe des demandes et du graphe support G T* ne possède pas de sous- graphe induit contractible à une clique dordre 5 (déduction du théorème de Seymour (81)) IMet T n est une bonne approximation de ICut T n dans le cas général Proposition 5: Les rayons extrêmes de ICut T n forment un sous- ensemble des rayons extrêmes de IMet T n

Proposition 6: Les coupes de bipartition dans les graphes G t =(V,E t ) pour tout t {1,…,T} sont des rayons extrêmes de ICut T n Problème de recherche de linégalité de bipartition la plus violée => Résolution de MaxRatioCut (problème NP-difficile) Une heuristique, inspirée de lalgorithme de Kernighan-Lin, recherche plusieurs coupes parmi les plus violées pour chaque période t {1,…,T} Nombre maximal de coupes violées pouvant être générées pour chaque période à chaque itération : n-1 (Résultat de Cheng-Hu (91)) Génération des coupes de bipartition (2/2)

Procédure de génération de contraintes multiples A partir de la solution optimale dun problème MPNDI relaxé, une heuristique recherche: –Les inégalités de bipartition les plus violées pour chaque période A chaque période t {1,…,T}, un programme linéaire recherche linégalité métrique, telle que t Met n, la plus violée Le programme satellite recherche linégalité, telle que IMet T n, la plus violée –Si la solution optimale du programme linéaire fournit une inégalité qui nest pas violée => Fin du processus de résolution, la solution est optimale pour MPNDI

Résultats numériques Inst(#p,#n,#l)onecons 2 partitions T1/ TIt-CTItC2-partT2 1(2,6,15) (2,8,28)> *** *** 3(2,8,28) (2,8,28) (2,8,28) (2,8,28) (2,8,28) (2,8,28) (2,8,28) (2,8,28)> *** *** 11(2,8,28)> *** *** 12(2,8,28) (2,8,28)> ***> *** 14(2,8,28) (2,8,28)> ***> ***

Temps de résolution divisés par 10 en moyenne avec la génération de contraintes multiple au lieu de la génération d'une seule contrainte à chaque itération Même si le nombre d'itérations nécessaires pour obtenir la solution optimale diminue lorsque la procédure de génération de contraintes multiple est utilisée, il reste élevé pour résoudre ces problèmes très difficiles Les rayons extrêmes de Met n et les coupes ne forment quun sous- ensemble de petite taille de lensemble des rayons extrêmes de ICut T n => La génération des inégalités métriques et des inégalités de bipartition par période naccélère pas suffisamment la méthode exacte pour résoudre exactement les problèmes les plus difficiles Analyse des résultats

Les coupes de quadripartition sur deux périodes En se restreignant au problème de dimensionnement sur deux périodes, nous pouvons établir le théorème 1 suivant et son corollaire: Théorème 1: Notons ( 1, 2 ), le vecteur tel que les conditions suivantes soient vérifiées: –a) 2 0 et 2 définit une coupe dans G 2 telle que 2 =µ 2.δ(S) –b) 1 0, 1 a et 1 b définissent deux coupes dans les graphes induits respectivement par S et S, avec 1 a =µ 1 a.δ(S) et 1 b =µ 1 b.δ(S) –c) δ(S) et δ(S) ne définissent pas des coupes dans G 2* ( 1, 2 ) est un rayon extrême de ICut 2 (G 2* ), si et seulement si µ 1 a =µ 1 b =2.µ 2 et 1 (ij) =0 pour tout (i,j) δ(S) S S G2G2 2 1 a 1 b

Les coupes de tripartition sur deux périodes Corollaire 1: Notons ( 1, 2 ), le vecteur tel que les conditions suivantes soient vérifiées: –a) 2 0 et 2 définit une coupe dans G 2 telle que 2 =µ 2.δ(S) –b) 1 0, 1 et 1 b définit une coupe dans les graphes induits respectivement par S, avec 1 =µ 1.δ(S) –c) δ(S) ne définit pas une coupe dans G 2* ( 1, 2 ) est un rayon extrême de ICut 2 (G 2* ), si et seulement si µ 1 =2. µ 2 et 1 (ij) =0 pour tout (i,j) δ(S) Les coupes de quadripartition et de tripartition pour deux périodes consécutives {(t-1),t} avec 1<tT sont des rayons extrêmes de ICut T n S S G2G2 2 1

Procédure de génération de contraintes multiples + A partir de la solution optimale dun problème MPNDI relaxé, des heuristiques de multipartition recherchent: –Les inégalités de bipartition les plus violées pour chaque période –Les inégalités de tripartition les plus violées pour toutes paires de périodes consécutives Si aucune inégalité de tripartition violée nest générée, une heuristique recherche les inégalités de quadripartition les plus violées sur les deux périodes consécutives A chaque période t {1,…,T}, un programme linéaire recherche linégalité métrique, telle que t Met n, la plus violée Un programme linéaire recherche linégalité, telle que IMet T n, la plus violée –Si la solution optimale du programme linéaire fournit une inégalité qui nest pas violée => Fin du processus de résolution, la solution est optimale pour MPNDI

Expériences numériques Inst(#p,#n,#l) 2partition 2,3and 4partitionsT2/ TItC2-partTItC2-part3-part4-partT3 1(2,6,15) (2,8,28) (2,8,28) (2,8,28) (2,8,28) (2,8,28) (2,8,28) (2,8,28) (2,8,28) (2,8,28) (2,8,28) (2,8,28) (2,8,28)> *** *** 14(2,8,28) (2,8,28)> *** ***

Conclusion et perspectives Une génération efficace des inégalités de multipartition pour deux périodes consécutives permet de résoudre exactement les problèmes MPNDI avec des temps de calcul divisés par plus de 5 en moyenne sur les instances traitées Solutions optimales obtenues sur des instances de réseau de 8 nœuds, 15 liens disponibles pour 3 périodes Travaux envisagés –Caractériser de nouvelles inégalités valides définies sur plus de deux périodes consécutives (Trouver dautres rayons extrêmes de ICut T n ) –Elaborer une heuristique pour les problèmes MPNDI relaxés, caractérisés comme des sac-à-dos complexes => Méthode approchée pour MPNDI évaluée par la méthode exacte –Etudier les solutions obtenues (topologie+dimensionnement) par la méthode approchée de MPNDI et les comparer aux solutions fournies par les outils de planification opérationnelle