Deux extensions du mouvement brownien fractionnaire 1D Rachid Harba*, Rachid Jennanne*, Emmanuel Perrin** *LESI-Polytech’Orléans, **UCB Lyon

Collaborations INSERM U 658, IPROS MAPMO LMSP LPM Map5 ESRF et CREATIS ENS Lyon URI and UCLA ENI Tunis

Plan 1. Contexte 2. Rappels sur le fBm 3. Le n-fBm 4. Le p-fBm 5. Conclusions

1. Contexte Ostéoporose : à partir de 50 ans, on estime à 40% environ le risque de fracture ostéoporotique pour une femme. Coût : 27 milliards d'Euro par an en Europe et aux Etats-Unis pour 2,3 millions de fractures ostéoporotiques.

Ostéoporose Maladie généralisée du squelette caractérisée par : une baisse de densité osseuse, des altérations microarchitecturales (OMS-1994).

Diagnostic ostéoporose Mesure de la densité minérale osseuse (DEXA). Mesure de la microarchitecture non réalisée. La mesure de la densité n’est pas suffisante : il faut aussi mesurer la qualité de la microarchitecture trabéculaire 3D.

Problème de la BMD BV/TV=24% BV/TV=12% BV/TV=12%

IRM et Scanner IRM : résolution insuffisante, temps, coût. Scanner : irradiation, coût, temps. Radiographies : bonne résolution, peu irradiant, rapide, bas coût.

Technique développée au LESI ROI 2,7  2,7 cm Taille pixel : 100 µm Extraction de la région d’intérêt (ROI) Repères anatomiques Image texturée non stationnaire et anisotrope

Analyse fractale orientée Extraction d’une ligne de direction θ - On assimile ce signal à un mouvement brownien fractionnaire (fBm) de paramètre H - H traduit la rugosité de la texture H = 0,2 H = 0,5 H = 0,8

Témoin Ostéoporotique

Problèmes Valeurs de H quelquefois supérieures à 1 : Le n-fBm Aspect « bifractal » des données : Le p-fBm

2. Rappels sur le fBm Non stationnaire Gaussien Moyenne nulle FAC : Autosimilaire :

Incréments du fBm Processus incrément Stationnaire DSP : processus en 1/f avec -1<<1

Le n-fBm Définition du n-fBm

Propriétés du n-fBm Gaussien, moyenne nulle, non stationnaire Auto-similaire Attention : incréments non stationnaires !!! Définition du n-fGn : exemple du 2-fGn

Propriétés du n-fGn Stationnaire DSP : FAC :

x = n-1

Exemples de signaux pour n = 2 H=1.2 H=1.5 H=1.8 E. Perrin, R. Harba, C. Berzin-Joseph, I Iribarren, A. Bonami, nth-order fractional Brownian motion and fractional Gaussian noises, IEEE Transactions on Signal Processing, Vol. 45, N° 5, pp. 1049-1059, 2001.

4. Le p-fBm Autre définition du fBm (Reed 95) Changer la forme spectrale du fBm f f

Objectifs Définition d’un nouveau modèle Paramètre Ho en BF Équivalent à un fBm de paramètre Ho Paramètre Hi en HF Équivalent à un fBm de paramètre Hi Stationnarité des incréments préservée Auto-similarité

Définition Définition Propriétés Réel, continu, Gaussien, non stationnaire

Le p-fGn Définition : incrément du pfGn Stationnaire DSP g f 0<Ho<1 0<Hi<1 g

Auto-similaire Auto-similarité asymptotique Zoom avant Zoom arrière Similaire à un fBm de paramètre Hi Zoom arrière Similaire à un fBm de paramètre Ho

E. Perrin, R. Harba, R. Jennane, I. Iribarren, Piecewise Fractional Brownian Motion, IEEE Trans. on Signal Processing, Vol. 53, N° 3, pp. 1211-1215, 2005.

5. Conclusions Extension : combinaison des deux modèles : Ho,Hi > 1 Multifractals f n-1<Ho<n m-1<Hi<m g

Anisotropie Difficulté pour mesurer l’anisotropie fractale Compressive trabeculae Difficulté pour mesurer l’anisotropie fractale Méthode MMD (A. Bonami, A. Estrade, Anisotropic Analysis of some Gaussian Models, The Journal of Fourier Analysis and Applications, Vol. 9, pp. 215-236, 2003) Application aux os (G. Lemineur, R. Harba, R. Jennane, A. Estrade, L. Benhamou, Fractal anisotropy measurement of bone texture radiographs, IEEE ISCCSP 2004, Hammamet, pp. 275-278, 2004) Tensil trabeculae

Projections 3D-2D Théorème de la projection fractale H2D = H3D + 0.5

Modèles binaires Modèle binaires d’os trabéculaires - modèles micro billes - modèles micro bulles

Mécanique Squelette hybride

Transfert de technologie Société D3A Medical systems Radiographe numérique haute résolution (pixel de 50 microns) BMA : Bone Microarchitectural Analysis Méthodes fractales et statistiques (COC et LDP)

Merci de votre attention