2 - Introduction au traitement des signaux aléatoires Processus aléatoire Corrélation, autocorrélation... Stationnarité, ergodicité Densité spectrale Traitement du Sigal - 3TC Transparents C. Odet, Prof. GE

2-1 Introduction Signaux aléatoires : bruit électronique, le signal de parole... Signal déterministe information Quand on connaît le passé, la probabilité d’apparition d’un niveau donné à l’instant t est soit nulle, soit certaine (=1). L’information est liée à un certain degré d’incertitude, d’aléatoire. Signal déterministe formule définissant parfaitement le signal. Signal aléatoire paramètres statistiques définissant les POSSIBILITES d’évolution du signal. Valeur future exacte du signal Traitement du Sigal - 3TC Transparents C. Odet, Prof. GE

Introduction Paramètres statistiques d’un signal aléatoire: Moyenne, variance, autocorrélation, moments, ... Ces paramètres peuvent être eux mêmes aléatoires (non stationnaire) exemple: le signal de parole Traitement du Sigal - 3TC Transparents C. Odet, Prof. GE

Introduction L’ «astuce» du temps différé: on enregistre et on rejoue le signal. le signal n’est plus aléatoire. Il est parfaitement connu. Oui, mais.... traitement en temps réel, futur inconnu généraliser un traitement à des signaux futurs «presques» identiques à ceux que l’on posséde déjà Le passé ne permet pas de déterminer complètement l’avenir. Traitement du Sigal - 3TC Transparents C. Odet, Prof. GE

Introduction Signal aléatoire = Bruit Exemple Transmettre la parole sur des cables d’alimentation secteur 50 Hz Le signal important est la parole, c’est un signal aléatoire Le bruit génant est déterministe, c’est une sinusoïde à 50 Hz Réception d’un signal numérique au bout d’une ligne de transmission Le signal numérique est aléatoire Le bruit sur la ligne de transmission est aussi aléatoire Traitement du Sigal - 3TC Transparents C. Odet, Prof. GE

2-2 Processus aléatoire ou stochastique Processus stochastique = famille de fonction aléatoire X(t,u) t est une variable réelle (par exemple le temps) u est un ensemble d’événements t et u peuvent être des variables continues ou discrètes X(t,u) peut prendre des valeurs continues ou discrètes, scalaires ou vectorielles. Traitement du Sigal - 3TC Transparents C. Odet, Prof. GE

Exemple 1 Bruit thermique dans un ensemble de résistances R={Ri , i=1,N} de même valeur ohmique R 1 t k t R 2 t R 3 t t est une variable continue, R est une variable discrète X(t,Ri) est une représentation particulière du processus X(t,R) pour l’événement «Ri a été choisie» Traitement du Sigal - 3TC Transparents C. Odet, Prof. GE

Exemple 1 (suite) Pour un instant tk donné, X(tk,R) est une variable aléatoire Le processus aléatoire prend des valeurs continues, scalaires et réelles. Si les signaux étaient numérisés, la variable t deviendrait discrète, ainsi que les valeurs prises par le processus (à cause de la quantification du CAN) Une réalisation particulière X(t,Ri) n’est pas un signal déterministe. Tous les signaux sont à priori différents, mais le phénomène physique à l’origine du signal est le même pour toutes les résistances Trouver des lois statistiques communes Traitement du Sigal - 3TC Transparents C. Odet, Prof. GE

Exemple 2 Signal sinusoïdal à phase aléatoire phase u variable aléatoire uniformément répartie entre 0 et 2p X(t,u) t u est à valeur réelle continue X(t,u) est à valeur continue, scalaire et réelle Un signal particulier X(t,ui) est déterministe. Traitement du Sigal - 3TC Transparents C. Odet, Prof. GE

Exemple 2 (suite) Densité de probabilité de la phase u Pour un instant donné tk, calcul des moments statistiques de la variable aléatoire X(tk,u) Espérance mathématique Variance Traitement du Sigal - 3TC Transparents C. Odet, Prof. GE

Exemple 2 (suite) Pour une valeur particulière ui (événement) de la phase, on peut calculer des paramètres temporels du signal X(t,ui) Moyenne temporelle Variance temporelle, carré de la valeur efficace Remarque: On obtient ici des valeurs identiques à l’éspérance et à la variance statistiques Traitement du Sigal - 3TC Transparents C. Odet, Prof. GE

Caractérisation d’un processus aléatoire. Lois de probabilité. Statistiques du premier ordre Fonction de répartition et densité de probabilité pour un tk donné L’éspérance mathématique (n=1) et les moments d’ordre supérieur sont définis par Remarque: Les moments peuvent dépendre de tk Traitement du Sigal - 3TC Transparents C. Odet, Prof. GE

Exemple: Processus gaussien Un processus, ou signal, ou bruit, gaussien posséde une densité de probabilité définie par une loi normale m étant la moyenne et s l’écart-type s=1 m=0 Traitement du Sigal - 3TC Transparents C. Odet, Prof. GE

Exemple: processus gaussien La densité de probabilité représente la statistique des amplitudes du signal à un instant donné, pour l’ensemble des réalisations possibles du processus. L’allure temporelle des réalisations d’un processus gaussien ne ressemble pas forcément à un bruit comme ci dessous. Traitement du Sigal - 3TC Transparents C. Odet, Prof. GE

Exemple: signal sinusoïdal à phase aléatoire La phase ayant une densité de probabilité uniforme, les statistiques ne dépendent pas de l’instant tk. Par commodité on se place à tk=T/2=0.5 T a T x1 On cherche la fonction de répartition FX(x1) = FX(0.5 T,u) = Prob ( X(0.5 T,u) < x1) C’est à dire FX(x1) = Prob (u > -arcos(-x1 /a) et u < arcos(-x1 /a) ) Traitement du Sigal - 3TC Transparents C. Odet, Prof. GE

Exemple: signal sinusoïdal à phase aléatoire (suite) C’est à dire La densité de probabilité s’obtient par dérivation de la fonction de répartition x -a a Traitement du Sigal - 3TC Transparents C. Odet, Prof. GE

Caractérisation des processus aléatoires Statistique du deuxième ordre Relation entre les statistiques prises à deux instants t1 et t2 différents On considère deux variables aléatoires X(t1,u) et X(t2,u) Fonction de répartition conjointe Densité de probabilité Si les deux variables aléatoires sont indépendantes (Ce qui se passe à t1 ne dépend pas de ce qui se passe à t2) Traitement du Sigal - 3TC Transparents C. Odet, Prof. GE

2-3 Corrélation, Autocorrélation... Signaux déterministes Signaux à énergie finie Signaux à puissance finie Mesure de ressemblance Autocorrélation temporelle Processus aléatoires Statistique du second ordre Caractérisation fréquentielle des signaux aléatoires (Densité spectrale) Autocorrélation statistique Traitement du Sigal - 3TC Transparents C. Odet, Prof. GE

Corrélation, autocorrélation... Signaux à énergie finie Energie d’un signal continu ou discret Signaux transitoires Signaux de durée finie Existence de la transformée de Fourier Dans la réalité, en pratique, tous les signaux sont à énergie finie. Exemples: x(t) = Rect(t) énergie finie x(t) = a constant n’est pas à énergie finie x(t) = V sin(2pft) n’est pas à énergie finie Traitement du Sigal - 3TC Transparents C. Odet, Prof. GE

Corrélation, autocorrélation... Signaux à énergie finie Autocorrélation temporelle Si x(t) est réel, l’autocorrélation est réelle Dimension V²/Hz ou A²/Hz Analogie avec la convolution C’est un produit scalaire, projection de x*(t) sur x(t) décalé de t Pour t = 0, on retrouve l’énergie du signal Rxx(0) = Ex Rxx(t) est maximale en t =0. Rien ne ressemble plus au signal que lui-même. Traitement du Sigal - 3TC Transparents C. Odet, Prof. GE

Corrélation, autocorrélation... Signaux à énergie finie L’autocorrélation posséde la propriétés de symétrie hermitique Si le signal est réel, l’autocorrélation est donc réelle est paire. Exemple x(t) = Rect (t/T) Rxx(t)=T Tri(t/T) Rect(t/T) Rxx(t) 1 T -T/2 T/2 t -T T t Traitement du Sigal - 3TC Transparents C. Odet, Prof. GE

Corrélation, autocorrélation... Signaux à énergie finie Intercorrélation Symétrie hermitique (Attention à l’inversion de x et y dans le deuxième membre des équations) Mesure du degrè de ressemblance entre deux signaux en fonction d’un décalage Projection de x(t) sur y(t+t), produit scalaire Traitement du Sigal - 3TC Transparents C. Odet, Prof. GE

Corrélation, autocorrélation... Signaux à énergie finie Exemple d’intercorrélation x(t) y(t) 1 1 -T -T/2 T/2 t T t -1 Rxy(t) T -3T/2 -T/2 T/2 3T/2 t -T Le signal x(t) ressemble le plus à y(t) aux instants -T/2 et T/2. En t=0, x(t) ne ressemble pas du tout à y(t) (ils sont orthogonaux, produit scalaire nul). Traitement du Sigal - 3TC Transparents C. Odet, Prof. GE

Corrélation, autocorrélation... Signaux à puissance finie Approximation de signaux réels Exemples Signal continu x(t)=a Signal sinusoïdal x(t)=V Sin(2pft) Signaux aléatoires, signaux périodiques, impulsion de Dirac, échelon unité... Puissance finie Signal à énergie finie = puissance nulle Signal à puissance finie = énergie infinie Traitement du Sigal - 3TC Transparents C. Odet, Prof. GE

Corrélation, autocorrélation... Signaux à puissance finie Autocorrélation temporelle, intercorrélation Problème de convergence des intégrales et des sommes Notation Dimensions: V² ou A² Autocorrélation: y(t)=x(t) dans les formules précédentes Traitement du Sigal - 3TC Transparents C. Odet, Prof. GE

Corrélation, autocorrélation... Signaux à puissance finie Autocorrélation des signaux périodiques Le calcul sur une seule période suffit L’autocorrélation d’un signal périodique est elle même périodique. Par définition, le signal périodique ressemble parfaitement à lui même, décalé d’une ou plusieurs périodes. Traitement du Sigal - 3TC Transparents C. Odet, Prof. GE

Corrélation, autocorrélation... Processus aléatoires On peut calculer l’autocorrélation temporelle sur une réalisation X(t,ui) d’un processus aléatoire. On se retrouve alors dans le cas précédent. CE N’EST PAS CE QUI NOUS INTERESSE ICI !!! On cherche une définition au sens statistique. Observation d’un processus aléatoire X(t,u) à deux instant t1 et t2. Statistique du second ordre, moment conjoint Autocorrélation statistique Traitement du Sigal - 3TC Transparents C. Odet, Prof. GE

Corrélation, autocorrélation... Processus aléatoires Dans le cas d’un processus réel continu Fonction d’autocovariance Moment conjoint des variables aléatoires centrées X(t1)-mx(t1) et X(t2)-mx(t2), mx(t) moyenne du processus aléatoire à l'instant t Quand t1=t2, on obtient la variance du processus aléatoire en t1. Traitement du Sigal - 3TC Transparents C. Odet, Prof. GE

Corrélation, autocorrélation... Processus aléatoires Remarques: 1) On obtient des fonctions bidimensionnelles des variables t1 et t2. Dans le cas d’un processus échantillonné discret, on obtiendra des matrices d’autocorrélation et d’autocovariance. 2) Si ces fonctions ne dépendent que de l’écart temporel t1-t2, les fonctions d'autocorrélation et d'autocovariance sont monodimensionnelles et dépendent du temps t= t1-t2. Traitement du Sigal - 3TC Transparents C. Odet, Prof. GE

Corrélation, autocorrélation... Processus aléatoires Exemple Signal sinusoïdal à phase aléatoire u étant une variable aléatoire uniformément répartie, la moyenne du premier terme est nulle. (Voir la densité de probabilité du signal sinusoidal à phase aléatoire) On obtient C’est une fonction périodique, ne dépendant que de l’écart t1-t2. Pour t1=t2, on retrouve la variance du processus aléatoire. Traitement du Sigal - 3TC Transparents C. Odet, Prof. GE

2-4 Stationnarité, ergodicité Processus stationnaire aus sens strict Les propriétés statistiques sont invariantes dans le temps Les statistiques du second ordre ne dépendent plus que de l’écart t=t1-t2 Densité conjointe du second ordre Autocorélation Pour un processus réel Traitement du Sigal - 3TC Transparents C. Odet, Prof. GE

Stationnarité, ergodicité Processus stationnaire (au sens large) Espérance mathématique constante Autocorrélation dépendante de t=t1-t2 Symétrie hermitique Stationnaire au sens strict Stationnaire au sens large L’inverse n’est pas vrai Fonction d’autocorrélation bornée par la puissance moyenne du processus Traitement du Sigal - 3TC Transparents C. Odet, Prof. GE

Stationnarité, ergodicité Processus ergodique au sens strict Moments statistisques = Moments temporels Processus ergodique (au sens large) Egalité des Moyennes statistiques et temporelles ainsi que des fonctions d’autocorrélation Moyenne Traitement du Sigal - 3TC Transparents C. Odet, Prof. GE

Stationnarité, ergodicité Fonctions d’autocorrélation statistique et temporelle Ergodique (au sens large) Stationnaire (au sens large) L’inverse n’est pas vrai. Signaux stationnaires ergodiques Estimation des paramètres statistiques à partir des paramètres temporels Traitement du Sigal - 3TC Transparents C. Odet, Prof. GE

2-5 Densité spectrale Signaux déterministes Transformée de Fourier Module et phase Interprétation fréquentielle Signaux aléatoires Transformée de Fourier ???? (oui, mais pour une réalisation X(t,ui) ) Exemple Signal sinusoïdal à phase aléatoire X(t,u)=a sin(2pft+u) Intuitivement: Une fréquence f d’amplitude a. Quelle phase ? elle est aléatoire. Traitement du Sigal - 3TC Transparents C. Odet, Prof. GE

Densité spectrale Contenu fréquentiel des processus aléatoires défini par l’énergie ou la puissance (carré de l’amplitude) Densité spectrale d’énergie ou de puissance Représentation de la répartition de l’énergie ou de la puissance d’un signal en fonction de la fréquence Intuitivement: relation entre densité spectrale et spectre (transformée de Fourier) pour les signaux déterministes ??? Traitement du Sigal - 3TC Transparents C. Odet, Prof. GE

Densité spectrale Signaux à énergie finie Densité spectrale d’énergie (DSE) Fonction réelle. Fonction paire si le signal est réel DSE = Transformée de Fourier de la fonction d’autocorrélation temporelle Dimension V²s/Hz ou A²s/Hz Traitement du Sigal - 3TC Transparents C. Odet, Prof. GE

Densité spectrale Energie du signal Transformée de Fourier inverse de la DSE Sxx(f) est bien une densité spectrale Traitement du Sigal - 3TC Transparents C. Odet, Prof. GE

! Densité spectrale Signaux à puissance finie Densité spectrale de puissance (DSP) Transformée de Fourier de la fonction d’autocorrélation temporelle Dimension V²/Hz ou A²/Hz Relation avec la transformée de Fourier ! T.F. de x(t) limité à une durée T Traitement du Sigal - 3TC Transparents C. Odet, Prof. GE

Densité spectrale Puissance du signal Sxx(f) est bien une densité de puissance Traitement du Sigal - 3TC Transparents C. Odet, Prof. GE

Densité spectrale Processus aléatoire stationnaire Densité spectrale de puissance (Théorème de Wiener-Khintchine) Transformée de Fourier de la fonction d’autocorrélation statistique Processus aléatoire ergodique Estimation de la fonction d’autocorrélation statistique donc de la DSP à partir de la fonction d’autocorrélation temporelle des réalisations disponibles du processus aléatoire. Traitement du Sigal - 3TC Transparents C. Odet, Prof. GE

Densité spectrale Exemple: Signal sinusoïdal à phase aléatoire Autocorrélation statistique (transp.30): Densité spectrale de puissance Autocorrélation temporelle (pour une réalisation donnée ui de la phase) (T=1/f0 ) Le signal est donc ergodique (au sens large) Traitement du Sigal - 3TC Transparents C. Odet, Prof. GE