Échantillonnage-Estimation

1)Position du problème : Si la population est trop nombreuse on ne peut étudier toutes les unités statistiques .

1)Position du problème : Si la population est trop nombreuse on ne peut étudier toutes les unités statistiques . On prend alors un échantillon de la population.

1)Position du problème : Si la population est trop nombreuse on ne peut étudier toutes les unités statistiques . On prend alors un échantillon de la population. Le problème est de savoir le degré de confiance que l’on peut accorder aux résultats obtenus sur cette population partielle.

2)définitions

  L’échantillonnage consiste connaissant les propriétés sur la population à déterminer les propriétés sur les échantillons

  Le problème contraire c’est l’estimation

Le problème contraire c’est l’estimation   Le problème contraire c’est l’estimation Remarque :Un tirage non exhaustif c’est un tirage avec remise

3)Échantillonnage 

a)Distribution d’échantillonnage des moyennes Soit une population de moyenne m et d’écart type σ

a)Distribution d’échantillonnage des moyennes Soit une population de moyenne m et d’écart type σ Soit la variable aléatoire d’échantillonnage des moyennes.

a)Distribution d’échantillonnage des moyennes Soit une population de moyenne m et d’écart type σ Soit la variable aléatoire d’échantillonnage des moyennes. est la variable aléatoire qui à chaque échantillon aléatoire prélevé avec remise et d’effectif n fixé ,associe la moyenne de cet échantillon.

Soit la variable aléatoire d’échantillonnage des moyennes. est la variable aléatoire qui à chaque échantillon aléatoire prélevé avec remise et d’effectif n fixé ,associe la moyenne de cet échantillon. Pour n assez grand, suit une loi Normale

b)Distribution d’échantillonnage des proportions: Soit une population dont une proportion p d’éléments vérifie une propriété donnée.

b)Distribution d’échantillonnage des proportions: Soit une population dont une proportion p d’éléments vérifie une propriété donnée. Soit F la variable aléatoire d’échantillonnage des proportions.

b)Distribution d’échantillonnage des proportions: Soit une population dont une proportion p d’éléments vérifie une propriété donnée. Soit F la variable aléatoire d’échantillonnage des proportions. F est la variable aléatoire qui à chaque échantillon aléatoire prélevé avec remise et d’effectif n fixé ,associe la proportion dans cet échantillon.

b)Distribution d’échantillonnage des proportions: Soit F la variable aléatoire d’échantillonnage des proportions. F est la variable aléatoire qui à chaque échantillon aléatoire prélevé avec remise et d’effectif n fixé ,associe la proportion dans cet échantillon. Pour n assez grand, F suit une loi Normale

4)Estimation

a)Estimation ponctuelle Une estimation ponctuelle de m ( moyenne inconnue dans la population )  

a)Estimation ponctuelle Une estimation ponctuelle de m ( moyenne inconnue dans la population ) c’est moyenne de l’échantillon  

a)Estimation ponctuelle Une estimation ponctuelle de p ( proportion inconnue dans la population )  

a)Estimation ponctuelle Une estimation ponctuelle de p ( proportion inconnue dans la population ) c’est f la proportion dans l’échantillon 

a)Estimation ponctuelle Une estimation ponctuelle de σ ( écart type inconnu de la population )

a)Estimation ponctuelle Une estimation ponctuelle de σ ( écart type inconnu de la population ) c’est s = avec n la taille de l’échantillon

b)Estimation par intervalle de confiance principe

b)Estimation par intervalle de confiance principe On cherche un intervalle qui contient la valeur estimée avec une certaine probabilité α (95% , 99% )

cas d’une moyenne dans la population : m est inconnue et σ est supposé connu  

cas d’une moyenne dans la population : m est inconnue et σ est supposé connu dans l’échantillon de taille n, la moyenne est:  

Soit la variable aléatoire d’échantillonnage des moyennes.

Soit la variable aléatoire d’échantillonnage des moyennes. est la variable aléatoire qui à chaque échantillon aléatoire prélevé avec remise et d’effectif n fixé ,associe la moyenne de cet échantillon.

Soit la variable aléatoire d’échantillonnage des moyennes. est la variable aléatoire qui à chaque échantillon aléatoire prélevé avec remise et d’effectif n fixé ,associe la moyenne de cet échantillon. suit une loi Normale

Soit la variable aléatoire d’échantillonnage des moyennes. est la variable aléatoire qui à chaque échantillon aléatoire prélevé avec remise et d’effectif n fixé ,associe la moyenne de cet échantillon. suit une loi Normale Soit T la variable aléatoire centrée réduite associée à

Le coefficient de confiance α étant donné (choisi à l’avance )ou le risque (1-α), on cherche t tel que : P(-t<T<t)=α

Π(t) – Π(-t) = α Π(t) – [(1- Π(t)] = α 2 [Π(t)] – 1 = α Π(t) = (1+α )/2 d’où t  

Π(t) – Π(-t) = α Π(t) – [(1- Π(t)] = α 2 [Π(t)] – 1 = α Π(t) = (1+α )/2 d’où t   Si α =0,95 alors t = 1,96

On en déduit l’intervalle de confiance, centré sur , de la moyenne inconnue m de la population avec un coefficient de confiance α

On en déduit l’intervalle de confiance, centré sur , de la moyenne inconnue m de la population avec un coefficient de confiance α

cas d’une proportion dans la population : la proportion p est inconnue

cas d’une proportion dans la population : la proportion p est inconnue dans l’échantillon de taille n, la proportion est f

cas d’une proportion Soit F la variable aléatoire d’échantillonnage des proportions. F est la variable aléatoire qui à chaque échantillon aléatoire prélevé avec remise et d’effectif n fixé ,associe la proportion dans cet échantillon.

F suit une loi Normale . Soit T la variable aléatoire centrée réduite associée à F

Le coefficient de confiance α étant donné (choisi à l’avance )ou le risque (1-α), on cherche t tel que : P(-t<T<t)=α

On en déduit l’intervalle de confiance, centré sur f, de la proportion inconnue p de la population avec un coefficient de confiance α

On en déduit l’intervalle de confiance, centré sur f, de la proportion inconnue p de la population avec un coefficient de confiance α

FIN