Introduction à la logique 26/03/2017 Introduction à la logique Cours #2: GPA-140 Hiver 2005

Introduction aux fonctions logiques 26/03/2017 Systèmes binaires Deux états fondamentaux et distincts; Vrai/Faux, Marche/Arrêt, Oui/Non. Par convention: Un état est représenté par « 1 »; L’autre est représenté par « 0 ».

La logique Booléenne 26/03/2017 En 1847, George Boole invente une algèbre pour traiter les variables binaires. Il écrira « The Mathematical Analysis of Logic », Cambridge, Il définit 3 opérateurs de base, ainsi qu’une foule de règles et de postulats.

Types de représentation 26/03/2017 Les fonctions logiques peuvent être représentées de plusieurs façons: Tables de vérités Diagrammes échelle (Ladder) Équations logiques

Types de représentation 26/03/2017 Tables de vérités Tables qui énumèrent toutes les combinaisons possibles d'entrées, et les sorties correspondantes. Le nombre de colonnes est la sommes du nombre d'entrée et de sortie Pour "N" entrées, le nombre de lignes est 2N Exemple: 3 entrées et 1 sorties 4 colonnes et 8 lignes

Types de représentation 26/03/2017 Tables de vérités 3 entrées et 1 sorties 4 colonnes et 8 lignes Chaque ligne est une équation logique

Types de représentation 26/03/2017 Diagrammes échelle (Ladder)

Types de représentation 26/03/2017 Équations logiques Reposent sur 3 opérateurs de base: ET, OU, NON Toutes les équations logiques sont formées de ces 3 opérateurs

Fonction logique NON En anglais: NOT Représentation: F = A ou F = /A 26/03/2017 En anglais: NOT Représentation: F = A ou F = /A

Fonction logique ET En anglais: AND Représentation: 26/03/2017 En anglais: AND Représentation: F = A * B ou A • B ou AB

Fonction logique OU En anglais: OR Représentation: F = A + B 26/03/2017 En anglais: OR Représentation: F = A + B

Fonction logique NON-ET 26/03/2017 En anglais: NAND Représentation: F = A * B

Fonction logique NON-OU 26/03/2017 En anglais: NOR Représentation: F = A + B

Fonction OU-EXCLUSIF En anglais: XOR Représentation: F = A B /B*A+B*/A 26/03/2017 En anglais: XOR Représentation: F = A B /B*A B*/A /B*A+B*/A

Fonction NON OU-EXCLUSIF 26/03/2017 En anglais: XNOR Représentation: F = A B /B*/A B*A /B*/A+B*A

Fonctions à 2 variables 26/03/2017 Il existe 16 fonctions logiques possibles avec 2 variables. Deux variables permettent 4 combinaisons (22) 00, 01, 10, 11 Ces 4 combinaisons donnent 16 fonctions (24) F0, F1, … F15

Fonctions à 2 variables 16 fonctions logiques avec 2 variables. 26/03/2017 16 fonctions logiques avec 2 variables.

Fonctions à 2 variables 26/03/2017

Fonctions à 3 variables 26/03/2017 Il existe 256 fonctions logiques possibles avec 3 variables. Trois variables permettent 8 combinaisons (23) 000, 001, 010, 011, 100, 101, 110, 111 Ces 8 combinaisons donnent 256 fonctions (28) F0, F1, … F255 Pas très convivial !

Fonctions logiques utilisant des interrupteurs 26/03/2017 En électronique, on représente les fonctions logiques avec des diagrammes d'échelle. En automatisation, on utilise des interrupteurs et des relais pour représenter les fonctions logiques.

Fonction logique NON 26/03/2017 Interrupteur normalement fermé

Fonction logique ET 26/03/2017 Utilise deux interrupteurs normalement ouvert en série.

Fonction logique OU 26/03/2017 Utilise deux interrupteurs normalement ouvert en parallèle.

Fonction logique NON-ET 26/03/2017 Utilise deux interrupteurs normalement fermés en parallèle.

Fonction logique NON-OU 26/03/2017 Utilise deux interrupteurs normalement fermés en série.

Fonction OU-EXCLUSIF Utilise deux interrupteurs à deux contacts 26/03/2017 Utilise deux interrupteurs à deux contacts

Fonction NON OU-EXCLUSIF 26/03/2017 Utilise deux interrupteurs à deux contacts

Fonctions logiques utilisant des relais 26/03/2017 En automatisation, on utilise les relais pour réaliser des fonctions logiques. Le relais est une composante électromécanique.

Fonction logique NON 26/03/2017 Relais avec un contact normalement fermé

Fonction logique ET 2 relais avec des contacts N.O. en série. 26/03/2017 2 relais avec des contacts N.O. en série.

Fonction logique OU 2 relais avec des contacts N.O. en parallèle. 26/03/2017 2 relais avec des contacts N.O. en parallèle.

Fonction logique NON-ET 26/03/2017 2 relais avec des contacts N.F. en parallèle.

Fonction logique NON-OU 26/03/2017 2 relais avec des contacts N.F. en série.

Fonction OU-EXCLUSIF 26/03/2017 Lampe = K L = /K.L + K./L

Fonction NON OU-EXCLUSIF 26/03/2017 Lampe = M N = M.N + /M./N

L’algèbre Booléenne Règles, postulats et théorèmes 26/03/2017 Règles, postulats et théorèmes Utiles pour la simplification des équations logiques !

L’algèbre Booléenne Règles, postulats et théorèmes Fermeture: 26/03/2017 Règles, postulats et théorèmes Fermeture: Si A et B sont des variables Booléennes, alors A+B, A*B sont aussi des variables Booléennes. Commutativité A + B = B + A A * B = B * A

L’algèbre Booléenne Règles, postulats et théorèmes Associativité 26/03/2017 Règles, postulats et théorèmes Associativité A + (B + C) = (A + B) + C A * (B * C) = (A * B) * C Distributivité ET/OU: A(B + C) = AB + AC OU/ET: A+(B*C) = (A+B)*(A+C)

L’algèbre Booléenne Règles, postulats et théorèmes Idempotence 26/03/2017 Règles, postulats et théorèmes Idempotence A + A = A A * A = A Complémentarité A + A = 1 A * A = 0

L’algèbre Booléenne Règles, postulats et théorèmes 26/03/2017 Règles, postulats et théorèmes Identités remarquables 1 + A = 1 et 1 * A = A 0 + A = A et 0 * A = 0 Distributivité interne A + (B + C) = (A + B) + (A + C) A * (B * C) = (A * B) * (A * C)

L’algèbre Booléenne 26/03/2017 Règles et postulats

L’algèbre Booléenne 26/03/2017 Règles, postulats et théorèmes

L’algèbre Booléenne 26/03/2017 Règles, postulats et théorèmes

Table de vérité versus diagramme échelle 26/03/2017 Pour une table de vérité donnée, nous pouvons trouver l’équation logique et le diagramme échelle correspondant Il faut utiliser l’algèbre de Boole pour simplifier.

Exemple 26/03/2017 Trouver l’équation de S.

Exemple 26/03/2017 Solution: On construit l’équation de S en écrivant tous les termes donnant S=1. Ainsi, S = 1: si C=0 et B=1 et A=0; ou si C=0 et B=1 et A=1; ou si C=1 et B=0 et A=1; ou si C=1 et B=1 et A=0.

Exemple Solution pour S=1. On peut donc écrire: 26/03/2017 Solution pour S=1. si C=0 et B=1 et A=0; ou si C=0 et B=1 et A=1; ou si C=1 et B=0 et A=1; ou si C=1 et B=1 et A=0. On peut donc écrire: S = /C.B./A + /C.B.A + C./B.A + C.B./A

Exemple S = /C.B./A + /C.B.A + C./B.A + C.B./A On peut simplifier: 26/03/2017 S = /C.B./A + /C.B.A + C./B.A + C.B./A On peut simplifier: S = /C.B.(/A+A) + C./B.A + C.B./A S = /C.B.(1) + C./B.A + C.B./A S = /C.B + C./B.A + C.B./A S = /C.B + C.(A B) "ou-exclusif"

Exemple S = /C.B./A + /C.B.A + C./B.A + C.B./A On peut simplifier: 26/03/2017 S = /C.B./A + /C.B.A + C./B.A + C.B./A On peut simplifier: S = /C.B./A + C.B./A + /C.B.A + C./B.A S = B./A.(/C+C) + /C.B.A + C./B.A S = B./A.(1) + /C.B.A + C./B.A S = B./A + /C.B.A + C./B.A S = B./A + A.(C B) "ou-exclusif"

Exemple Inspection visuelle ? 26/03/2017 Inspection visuelle ? S = /C.B + C./B.A + C.B./A S = /C.B + C.(A B) S = B./A + /C.B.A + C./B.A S = B./A + A.(C B)

Si nous utilisions des relais... 26/03/2017 S = /C.B + C./B.A + C.B./A = C.(/B.A + B./A) + /C.B

La simplification des équations 26/03/2017 La simplification est essentielle. On veut avoir le circuit le plus simple possible... La simplification peut être un processus long si le système est complexe. Heureusement, il existe des techniques simples pour simplifier.

Méthodes de simplification 26/03/2017 Il est possible d ’obtenir directement une équation sous sa forme simplifiée en utilisant une méthode de simplification graphique. Méthodes de simplification graphique: Tables de Karnaugh Tables de Mahoney

Table de Karnaugh 26/03/2017 Représentation de la table de vérité sous forme graphique. Nombre de cases = nombre de lignes de la table de vérité. Multiple de 2n (1, 2, 4, 8, 16, ...) n = Nombre d ’entrées

Table de Karnaugh 26/03/2017 Avec n = 2: Entrées B et A 4 cases

Table de Karnaugh 26/03/2017 Avec n = 3: Entrées C, B et A 8 cases

Table de Karnaugh 26/03/2017 Avec n = 4: Entrées D, C, B et A 16 cases

Exemple (Karnaugh) 26/03/2017 TABLE DE KARNAUGH TABLE DE VÉRITÉ

Table de Karnaugh 26/03/2017 À partir de la table, on simplifie en groupant les 1 adjacents. Les 1 adjacents sont mis en évidence par l'ordre utilisé pour former la table La taille d’un groupe est un multiple de 2k (1, 2, 4, 8, ...). Le groupe est soit rectangulaire ou carré.

Exemple (Karnaugh) Simplification: S = /C.B + B./A + C./B.A 26/03/2017 Simplification: S = /C.B + B./A + C./B.A /C.B.A+/C.B./A = /C.B C./B.A /C.B./A+C.B./A=B./A

Table de Karnaugh Former les plus gros groupes possibles. 26/03/2017 Former les plus gros groupes possibles. Termes plus simples. Un 1 peut faire partie de plusieurs groupes.

Exemple (Karnaugh) Les 1 des bords extrêmes sont adjacents. /C./A 1 1 26/03/2017 Les 1 des bords extrêmes sont adjacents. La table se referme sur elle même. /C./A 1 1 1 1 /D.C./B.A /C.B 1 1 1

Table de Mahoney 26/03/2017 La table de Mahoney est semblable à celle de Karnaugh pour 2 variables

Table de Mahoney 26/03/2017 Pour 3 variables, la table est composée de celle pour 2 variables et de son miroir Charnière

Exemple (Mahoney) 26/03/2017 TABLE DE VÉRITÉ TABLE DE MAHONEY

Exemple (Mahoney) Rappel: S = /C.B + B./A + C./B.A C./B.A 26/03/2017 Rappel: S = /C.B + B./A + C./B.A C./B.A /C.B.A+/C.B./A = /C.B /C.B./A+C.B./A=B./A

Exemples de table de Mahoney 26/03/2017 Avec n = 3: Entrées C, B et A 8 cases

Exemples de table de Mahoney 26/03/2017 Avec n = 4: Entrées D, C, B et A 16 cases

Exemples de table de Mahoney 26/03/2017 Avec n = 5: Entrées E, D, C, B et A 32 cases

Exemples de table de Mahoney 26/03/2017 Avec n = 6: 64 cases

Les états indifférents (don’t care) 26/03/2017 Ils sont représentés par des X En sortie, ils correspondent à des combinaisons d’entrées pour lesquelles la sortie n’a pas été définie. Ex.: Un réservoir ne peut être à la fois vide et plein.

Contrôle de niveau d’un réservoir 26/03/2017 Capteur de niveau haut h = 1 -> plein Capteur de niveau bas b = 0 -> vide Sélecteur de pompe s = 0 -> Pompe 1 s = 1 -> Pompe 2

Contrôle de niveau ... Si réservoir plein: Aucune pompe en marche; 26/03/2017 Si réservoir plein: Aucune pompe en marche; Si réservoir vide: Les 2 pompes en marche; Si réservoir ni vide, ni plein: Faire fonctionner la pompe sélectionnée par le sélecteur « s ».