Théorème du cercle circonscrit au triangle rectangle. Type d ’activité : leçon illustrée Bruno DELACOTE

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Sommaire Théorème direct : Si le point I est situé sur le cercle de diamètre [ AB], alors le triangle ABI est rectangle en I. Réciproque: Si le triangle ABI est rectangle en I, alors le point I est situé sur le cercle de diamètre [ AB] Exercice 1 Exercice 2

Théorème direct I Si le point I est situé sur un cercle de diamètre [AB], Alors le triangle ABI est rectangle en I. A O B Cherchons à prouver ce théorème

Trace le symétrique J de I par rapport au milieu O du segment [ AB]. Dessine un demi cercle de diamètre [AB] et un point I sur le demi cercle : Trace le symétrique J de I par rapport au milieu O du segment [ AB]. I A O B Par définition de la symétrie centrale, O est le milieu du segment [ IJ ]. J De plus IJ = 2 OI = 2 OA = AB

I Nous avons prouvé que : O est le milieu du segment [ AB]. O est le milieu du segment [ IJ ]. IJ = AB A O B J Or si les diagonales d ’un quadrilatère se coupent en leur milieu et sont isométriques, alors c ’est un rectangle. Donc l ’angle AÎB est droit.

Examinons le théorème réciproque Si le triangle ABI est rectangle en I, I alors le point I est situé sur le cercle de diamètre [ AB]. Prouvons ce théorème ! A O B

I Traçons le symétrique J de I par rapport à O A O B Le quadrilatère AIBJ est un parallélogramme car ses diagonales ont même milieu. J Or un parallélogramme qui possède un angle droit est un rectangle. Donc AIBJ est un rectangle. Or les diagonales d ’un rectangle sont isométriques donc IJ = AB. Alors OI = IJ/2 = AB/2 = OA et I est situé sur le cercle de diamètre [AB].

Il semble que ABCD soit un parallélogramme ! 1°) Dessiner un cercle C de diamètre [AB]. Marquer un point M sur ce cercle. Construire le symétrique de A par rapport à M; L'appeler C. Construire le symétrique de B par rapport à M;D'appeler D. 2°)Quelle semble être la nature du quadrilatère ABCD ? Expliquer pourquoi. D C Il semble que ABCD soit un parallélogramme ! et même un….? Saurais-tu le prouver ? M A B

D C M M est situé sur le cercle de diamètre [AB], donc d’après le théorème du cercle circonscrit au triangle rectangle, le triangle ABM est rectangle en M. A B Or si les diagonales d ’un quadrilatère se coupent en leur milieu et sont perpendiculaires alors c ’est un losange. Par définition de la symétrie centrale M est le milieu des segments [AC] et [BD] Or si les diagonales d ’un quadrilatère ont même milieu alors c ’est un parallélogramme. Donc ABCD est un losange.

Soient A et B deux points distants de 15 cm fixés Soient A et B deux points distants de 15 cm fixés. Etudier la position du point G, centre de gravité du triangle AMB rectangle en M lorsque le point M varie. Le centre de gravité est le point de concours des trois médianes d'un triangle. Deux médianes permettent de déterminer sa position. M Remarque : la droite (BG) coupe [AM] en son milieu. J milieu de [MB] G A I milieu de [AB] B

Construisons une série de points dans quelques triangles rectangles ayant [AB] pour hypoténuse... Les centres de gravité semblent situés sur un cercle....

d'un triangle d'hypoténuse [AB] ? M2 M1 M3 A B I Le centre de gravité G d'un triangle, est situé aux deux tiers de chaque médiane en partant du sommet. Donc IG = 1/3 IM Or les triangles ABM sont rectangles en M, donc les points M sont situés sur le cercle de diamètre [AB], et les médianes [IM] mesurent la moitié de l'hypoténuse soit 7,5cm. Finalement IG = IM/3 = AB/ 6 = 2,5cm. Les points G sont situés sur le cercle de centre I et de rayon AB/ 6. Tous les points de ce cercles sont-ils centre de gravité d'un triangle d'hypoténuse [AB] ?

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