Optimisation du portefeuille clients d’EDF suivant des modèles de type Markowitz DALLAGI Anes

Problématique Le but de ce stage est de construire différents modèles simples de type Markowitz permettant de sélectionner des portions de chaque secteur de clientèles sous contrainte de volume total du portefeuille (part de marché de l’acteur). Trouver le bon critère de rendement Trouver le bon critère de risque

Problématique : la gestion du portefeuille client Minimisation du risque Maximisation du rendement Un double objectif : Des contraintes de volume sur le marché Un objectif de part de marché cible Une contrainte de marché :

Plan Aperçu théorique sur la gestion de portefeuille selon Markowitz : Un modèle avec une variance ; Un modèle avec une CVaR. Une classification idéale… Application à un portefeuille d’éligibles.

La gestion de portefeuille selon Markowitz Deux problèmes : Variance ; CVaR ; VaR. Trois mesures de risque :

La variance comme mesure de risque pour le portefeuille client La variance mesure l’incertitude placée sur la variable aléatoire en occurrence notre rendement. En essayant de minimiser la variance on essaye de rendre notre portefeuille plus prévisible et donc moins risqué Elle s’écrit : Avec :

La VaR comme mesure de risque pour le portefeuille client La fonction de p&l s’écrit : La probabilité que L ne dépasse pas un seuil est donnée par : La Value at Risk est, étant donné un niveau de confiance à %, définie par : la perte minimale qui peut se réaliser dans les % pires cas.

La CVaR comme mesure de risque pour le portefeuille client La CVaR (Conditional Value at Risk), est, étant donné un niveau de confiance à %, définie par : la moyenne des pertes qui peuvent se réaliser dans les % pires cas.

Rendement et variance d’un portefeuille Taux de rendement d’un portefeuille : Taux de rendement espéré d’un portefeuille : Variance du rendement d’un portefeuille :

Le portefeuille à variance minimale XA XB Les lignes d’isorendement : N Y Les ellipses d’isovariance : Le point de variance minimale : MVP La ligne critique : NY

Modélisation du rendement La demande comme une variable aléatoire : Les prix des contrats : Le terme de recette : Le terme de coût :

Un modèle avec une variance (1) La variance mesure l’incertitude placée sur la variable aléatoire (marge ou chiffre d’affaire) Avec :

Un modèle avec une variance (2) La frontière d’efficience est l’ensemble des portefeuilles tel qu’on ne peut pas diminuer leur risque sans diminuer leur rendement et inversement. Dans le plan Écart type – espérance la frontière d’efficience d’un problème de Markowitz avec une variance est une hyperbole. En faisant varier Rmin ou Vmax sous des contraintes d’égalités on obtient des tranches de la frontière d’efficience :

Un modèle avec une CVaR (1) Soit L la fonction p&l Soit la fonction quantile de L : Une mesure spectrale de risque s’écrit : La CVaR s’écrit alors comme étant une mesure spectrale particulière : Fonction d’aversion au risque

Un modèle avec une CVaR (2) Le problème d’optimisation sans contrainte pourrait s’écrire : Des valeurs ordonnées : problème d’optimisation Le problème d’optimisation avec contraintes du portefeuille s’écrit :

Modèle de Markowitz avec une CVaR (2) Le problème d’optimisation avec contraintes est équivalent à : Avec la fonction objective définie de la façon suivante : La variable auxiliaire indique la position des % plus pires valeurs  L1:N L2:N L3:N LN:N LN:N .......

Un modèle avec une CVaR (2)

Une classification idéale… Volumes comparables Corrélations entre les classes

Résultats VAR / CVaR Critère de CVaR Critère de variance

Résultats VAR / CVaR Profil du rendement : entre variance et CVaR Sensibilité au seuil de rentabilité

Application à un portefeuille d’éligible Portefeuille initial / Portefeuille filtré Problème de normalisation… Les résultats pour une minimisation de variance Les résultats avec une maximisation de rendement Entre marge et chiffre d’affaire, minimisation du risque et maximisation du rendement

Portefeuille initial / Portefeuille filtré Le jeu de données : 1165 clients ; Volumes variants de 160 MWh à 350 GWh ; Courbes de charge prévisionnelle sur l’année 2003. Filtrage

La classification On classifie le jeu de données filtré en tenant compte de la forme (profil) des courbes de charges : Initialiser par une (ACP) ; Projeter les courbes de charges sur le premier plan factoriel  ; Quadriller le plan factoriel ; Repérer les centres des classes et rapprocher les plus similaires en utilisant les cartes de Kohonen Les données disponibles ne représentent que la consommation sur une année d’un client Pas d’information sur la variance Deux solutions : Calcul des meures de risque sur la consommation instantanée Assimiler les clients d’une même classe à un seul client

Les classes de clients obtenues Proportions en volume des classes obtenues Répartition en volume à l’intérieur de chaque classe

Markowitz et comparaison des classes On suit un double objectif : minimisation du risque et maximisation du rendement Résoudre un problème de type Markowitz revient à trouver une relation d’ordre sur IR²

Minimisation de la variance sous contrainte de chiffre d’affaire (1) Le problème à résoudre se présente comme suit : Avec : . . Le nombre total de clients dans une classe . Pourcentage de part de marché cible

Minimisation de la variance sous contrainte de chiffre d’affaire (2)

Maximisation du chiffre d’affaire sous contrainte de variance

Minimisation de la variance sous contrainte de marge (1) Le problème à résoudre est identique au précédant sauf que : La disposition des classes sur le plan risque rendement change :

Minimisation de la variance sous contrainte de marge (2)

Maximisation de la marge sous contrainte de variance

Marge et chiffre d’affaire Minimisation du risque et maximisation du rendement : une différence de points de vues Un critère de rendement avec un chiffre d’affaire correspond au point de vue commercial ; Un critère de rendement avec une marge correspond à une vue global d’EDF ; Même si les résultats en terme de portefeuilles optimaux sont assez différents, les deux problèmes restes équivalents aux coefficients Rmin et Vmax près.

Conclusions Le choix de la mesure de risque L’utilisation d’une CVaR pourrait être plus appropriée… Le choix de la modélisation du rendement Inclure des pénalités et des coûts de dépassement… Entre marge et chiffre d’affaire… Stabilité des coûts marginaux… La classification des clients Homogénéisation des volumes… Nombre de classes… Adéquation entre critères d’optimalité et critères commerciaux… Envisager une réparation dynamique intra et inter classes… Envisager l’utilisation des prix des contrats comme levier…

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