Modèles Compartimentaux G.Sallet & Université de METZ

Un exemple: Tuberculose 2 souches Susceptibles Latents 1 Latents 2 Infectieux 1 Infectieux 2 Traités

Un exemple: Tuberculose 2 souches

Le principe Compartiments Une quantité de matières cinétiquement homogène. En particulier toute quantité entrante est instantanément mélangée avec le reste Un compartiment peut-être abstrait Les matières d ’un compartiment ne se transforment pas.

Analyse compartimentale n compartiments qi quantité dans le compartiment i fij, fji, Ii Oi fonctions de q Quantités toutes ≥ 0 L ’extérieur est noté compartiment 0

Équations

Équations Cela traduit qu ’il ne peut rien sortir si le compartiment est vide !

Un théorème bien utile Théorème Si une fonction f est telle que f(0)=0 Alors Où A(x) est la matrice preuve :

Équations on définit d ’où

Équations on définit Puis la matrice et le vecteur On a alors

Propriétés On notera la flèche qui apporte dans i venant de j, la quantité de matières

Propriétés de la matrice 1 2 3 Un telle matrice s ’appellera matrice compartimentale

Propriétés du système Une matrice telle que s ’appelle une matrice de Metzler Lemme 1 : toute matrice de Metzler laisse invariant l ’orthant Lemme 2 : toute matrice compartimentale laisse invariant pour tout M le simplexe

Modèles Mathématiques en Epidémiologie G.Sallet & Université de METZ

Historique 1760 Daniel Bernoulli 1906 W.H. Hamer 1908 R. Ross 1927 W.O Kermack et A.G McKendrick

D. Bernoulli Méthode mathématique pour évaluer l’efficacité des techniques de variolation D. Bernoulli Essai d’une nouvelle analyse de la mortalité causée par la petite vérole et des avantages de l’inoculation pour la prévenir Mémoire mathématiques Académie royale des sciences Paris 1760

W.H. Hamer 1906 Hamer postule : The course of an epidemics depends on the rate of contact between susceptibles and infectious individuals i.e. « principe d’action de masse »

R. Ross 1911 ‘ As a matter of fact all epidemiology, concerned as it is with variation of disease from time to time or from place to place, must be considered mathematically, however many variables are implicated, if it is to be considered at all…and the mathematical method of treatment is really nothing but the application of careful reasoning to the problem at hand’

R. Ross prix Nobel en 1902 pour avoir prouvé que les anophèles transmettent les parasites du paludisme 1908 modèle continu pour la transmission du paludisme, avec action de masse. Fondateur de l’épidémiologie mathématique Dans sa quête pour établir qu’il n’était pas nécessaire d’éradiquer complètement les moustiques pour supprimer le paludisme Notion de seuil !

R. Ross Modèle de Ross (1911) Lotka-Volterra (1924)

W.O Kermack A.G. McKendrick 1927 Contribution à la théorie mathématique des épidémies Notion de «threshold» seuil

Maladies Infectieuses Microparasites virus Bacteries Protozoaires Macroparasites Nématodes Intestinales Schistosomiasis (Bilharziose) Filarioses Onchocercose

Microparasites Measles Rougeole petite taille Reproduction dans l’hôte Mumps Oreillons Whooping cough Coqueluche Rubella Rubéole Diphtheria Diphtérie Chicken pox Varicelle Gonorrhoea Gonorhée AIDS SIDA Malaria Paludisme Trypanosomiasis …... petite taille Reproduction dans l’hôte durée de l’infection courte relativement à la durée de vie de l’hôte une certaine immunité

Infection microparasitique Cours d’une maladie Infection microparasitique

Infections Microparisitiques modèles Compartimentaux population divisés en parties homogènes Susceptibles Infecté Latents Infectieux Recovered et immuns

Infections Microparisitiques on ne distingue pas le degré de l’infection au contraire la densité parasitique est essentielle dans les infections macroparatiques Infectionpar les protozoaires sont entre les deux e.g Malaria, Trypanosomiasis

Modèles Compartimentaux Susceptibles capable de contracter la maladie et de devenir infectés Exposed individus latent qui ayany contracté la maladie ne la transmette pas encore Infectives transmette la maladie aux susceptibles Removed ne transmettent pas la maladie ( guéris, morts, quarantaine…)

Modèles Compartimentaux Modèle SIR S

Modèles Compartimentaux SIRS avec dynamique vitale

Le modèle Kermack-McKendrick classique

Le modèle Kermack-McKendrick avec dynamique vitale

Le modèle Kermack-McKendrick SIRS dynamique vitale, immunité temporaire

Modélisation du contact Représentation mathématique du mécanisme de la transmission Qu’est ce que S(t), I(t), R(t) ? La taille de la population ? Une densité ?

Modélisation du contact S(t), I(t), R(t) ? Originellement Kermack-McKendrick S,I,R étaient une densité de population par unité de surface (Ile de Bombay) vraie loi d ’action de masse. Si b le nombre de contacts adéquats (contact suffisant pour la transmission)

Modélisation du contact S(t) nombre de susceptibles I(t) le nombre d ’infectieux N(t) la population totale b le nombre de contacts adéquats (contact suffisant pour la transmission) d ’une personne par unité de temps le nombre de moyen de contacts par unité de temps d ’un susceptible D ’où est le nombre de nouveaux cas par unité de temps dus à S susceptibles.

Modélisation du contact Si on utilise une forme d ’incidence du type pour 5 maladies, (rougeole, coqueluche, varicelle, diphtérie, scarlatine) avec des populations variant entre 1000 et 400 000 on trouve que La vraie action de masse est aussi plus réaliste pour les populations animales.

Modélisation du contact vraie action de masse pseudo action de masse

The reproduction number R0 R0 est le nombre de cas secondaire qu’un seul cas engendre dans une période infectieuse. Introduite par Macdonald dans le contexte du paludisme. (1952) Diekmann, Dietz, Heesterbeek, Metz :cadre rigoureux 1990-1991

R0 et la notion de seuil Modèle SIRS

deux équilibres :

Comme N=S+I+R est constant on peut réécrire le système avec équilibres :

Il y a un équilibre faisable dans le simplexe si : with

Il y a deux équilibres si : if

deux équilibres : si l’équilibre est stable Jacobien en

R0 R0 est le nombre de cas secondaire qu’un seul cas engendre dans une période infectieuse. l’équilibre endémique est stable :

R0 valeur moyenne de la durée infectieuse : durant cette période une force d’infection s’applique sur la population des susceptibles N, le nombre de cas secondaires est donc

Les infectieux quittent le compartiment à la vitesse d’où

Résultats Classiques (SIRS)

Résultats Classiques (SIRS)

Résultats Classiques (SIRS)

Résultats Classiques (SIRS) Morts de la peste dans l’île de Bombay : 17.12.1905 to 21.061906

Exemples : MSEIR

MSEIR

meir La seule entrée du système peut s ’écrire :

meir (stabilité de l ’équilibre non endémique)

meir 1 infectieux : vie moyenne cela crée des latents à la vitesse soit (s=1) latents multiplié par la durée de vie moyenne d ’un latent et la vitesse e

Preuve :meir L ’équilibre non endémique (0,0,0,0) est GAS ssi

Exemples : SEIRS exemples

SEIRS

Le modèle de Ross (1911)

Le modèle de Ross (1911)

Modèle de Ross (1911) nombre de piqûres par moustique par unité de temps proportion de piqûres infectieuses qui donnent une infection proportion de piqûres par les moustiques sains sur un infecté qui donneront une infection pour le moustique densité anophélienne,

Paludisme : Modèle de Ross (1911)

Paludisme : Modèle de Ross (1911) Plus simplement

Modèle de Ross (1911) Plus simplement

Paludisme : Modèle de Ross (1911) Lotka 1923 Macdonald 1957 Dietz 1975

modèle de Ross R0 Equilibre

Si R0 ≤ 1 alors le DFE est GAS Si R0 > 1 il existe alors un unique équilibre endémique : Remarque :

Que montre ce modèle ? Si Le paludisme disparaît Si Le paludisme s’installe de façon endémique

Que montre ce modèle ? C’était l’idée de Ross : il n’est pas nécessaire d’éliminer totalement la population anophélienne pour éradiquer le paludisme. Il suffit de réduire cette population en dessous d’un certain seuil : nombre de piqûres par moustique par unité de temps proportion de piqûres infectieuses qui donnent une infection proportion de piqûres par les moustiques sains sur un infecté qui donneront une infection pour le moustique

Un modèle simple de la transmission de la Dengue Aedes Aegypti 1