Autres exemples de modèles

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1 Autres exemples de modèles
Guy Gauthier Juin 2010

2 Dynamique de la population
Si une population possède un potentiel biotique définit par r, alors la population N obéit à cette loi: r est la fécondité maximale dont une espèce peut faire preuve en l’absence de facteurs limitant.

3 Dynamique de la population
La solution de cette équation est: Il n’y a pas de mortalité, seulement des naissances. Pas vraiment réaliste…

4 Dynamique de la population
Redéfinissons r: b = taux de naissance; m = taux de mortalité. Reste que le résultat est une exponentielle. Modèle de Malthus (1798).

5 Facteur limitant En présence d’un facteur limitant (ex.: ressources alimentaires), le taux de mortalité augmente et le taux de natalité diminue. K = capacité limite du milieu. Verhulst (1838).

6 Modèle de Verhulst Équation de la courbe logistique:
Points d’équilibre N = 0 N = K r=2 K=1000

7 Ajout de prédateurs Modèle de Lotka-Volterra.
En l’absence d’interaction: Croissance exponentielle des proies (N) et extinction des prédateurs (P).

8 Modèle de Lotka-Volterra
Si les proies interagissent avec les prédateurs: Habileté des proies à échapper aux prédateurs Habileté des prédateurs à attraper les proies

9 Modèle de Lotka-Volterra
Points d’équilibres: Solution évidente, avec populations égales à 0. Autre solution:

10 Modèle de Lotka-Volterra
Exemples: r1 = 3; r2 = 5; k1 = 1/100; k2 = 1/100;

11 Modèle de Lotka-Volterra
Comparaison avec ce qui est observé dans la nature.

12 Dans l’espace d’état Point d’équilibre

13 Variantes du modèle de Lotka-Volterra
Introduction de la limite du milieu: Points d’équilibre: 1) N = P = 0; 2) N = r2/k2; P = (r1/k1)(1-r2/(Kk2))

14 Variantes du modèle de Lotka-Volterra
Stabilisation des populations:

15 Variantes du modèle de Lotka-Volterra
Réponse fonctionnelle du prédateur:

16 Variantes du modèle de Lotka-Volterra
Introduction du taux de prédation:

17 Variantes du modèle de Lotka-Volterra
Effet de ce taux de prédation:

18 Variantes du modèle de Lotka-Volterra
Introduction d’une réponse fonctionnelle du coté des proies:

19 Variantes du modèle de Lotka-Volterra
Effet de cette fonction:

20 Équation de Lorentz Soit le système suivant:
Modèle de convection atmosphérique.

21 Équation de Lorentz Simulation:

22 Comportement chaotique
Simulation:

23 Deux conditions initiales proches
…mènent à deux évolutions très différentes après quelques moments

24 Équation de Lorentz Modèle météorologique.
A cette époque, on envisageait pouvoir faire des prévisions météorologiques à long terme.

25 Équation de Lorentz Cette équation montre l’aspect chaotique de l’évolution de la météo. Donc, prévisions à long terme impossibles. A court terme… Il suffit de regarder Météomédia et de voir que les prévisions ne sont pas très justes…

26 Double pendule inversé
Position des masses

27 Double pendule inversé
Énergie potentielle Énergie cinétique

28 Double pendule inversé
Lagrangien

29 Double pendule inversé
Ainsi, pour le premier angle D’où

30 Double pendule inversé
Et, pour le deuxième angle D’où

31 Double pendule inversé
Simulation

32 Double pendule inversé
Ce système est sujet aussi à un phénomène chaotique.