Le comportement optimal de l'investisseur

D é fini de fa ç on rigoureuse le comportement de l'agent investisseur dans un univers incertain Son d é veloppement aboutit à la d é termination d'un portefeuille optimal pour chaque degr é de risque L'ensemble de ces portefeuilles forme la fronti è re efficiente Ce mod è le sera enrichi pour aboutir au MEDAF (Mod è le d É valuation des March é Financiers)

Le taux de rentabilité dun actif est : Rt = [(Pt - Pt-1) + Ct]/Pt-1 (P = Prix; C=Coupon). H1 : Tout investissement est une décision prise dans une situation de risque. Le return d'un actif est donc une variable aléatoire dont ont fait l'hypothèse qu'elle suit une loi Normale : H2 : Les returns des actifs financiers ne fluctuent pas indépendamment les uns des autres. Ils sont corrélés : est le coefficient de corrélation. H3 : Le comportement de tous les investisseurs est caractérisé par un degré plus ou moins prononcé d'aversion vis à vis du risque. Celui-ci est mesuré par : H4 : Les investisseurs sont rationnels : bien que leur fonction de préférence soit purement subjective, ils opèrent des choix strictement transitifs. H5 : Tous les investisseurs ont le même horizon de décision qui comporte une seule période.

Le problème consiste à maximiser l'espérance du return du portefeuille composé de n valeurs et à minimiser la variance du portefeuille qui représente le risque. Soit ai la part du budget consacré à l'actif i i = 1,..., n Avec et Le return du portefeuille est donc : et l'espérance de ce return est : La variance du portefeuille est :

Le programme d'optimisation peut ainsi s' é crire : sous contrainte Ainsi, cette fonction é conomique Z satisfait aux principes de : - rationalit é, puisqu'il y a maximisation du return - aversion pour le risque, puisque la mesure du risque y est affect é e d'un signe n é gatif, ce qui implique la minimisation du risque. est un param è tre qui repr é sente les pr é f é rences de l'investisseur pour le return en relation avec le risque qu'il doit courir pour obtenir ce return. Il s'agit du taux marginal de substitution de ces deux grandeurs, c'est à dire la mesure dans laquelle l'investisseur est d'accord de courir un risque accru d'une unit é pour obtenir un incr é ment donn é de l'esp é rance du return du portefeuille.

La solution du programme revient à maximiser le Lagrangien z = Φ · ai.E (Ri) - ai. aj.σij - λ(1 - ai) Les conditions de premier ordre nous donnent δZ/a1= ΦE(R1) - 2a1. σ11 - 2ai. σ1i - 2an.σ1n - λ = 0 ( … ) δZ/an = ΦE(Rn) - 2a1.σn1 - 2ai. σni - 2an. σnn – λ = 0 δz/λ = 1 - a1 - ai - an = 0 Sous forme matricielle, ce syst è me peut s' é crire :

A chaque valeur de correspond donc un vecteur A c'est à dire un portefeuille optimal. L'ensemble de tous ces portefeuilles optimaux, compte tenu de toutes les valeurs de, forme une enveloppe optimale que l'on peut représenter ainsi :