Quantificateurs généralisées A. LECOMTE

SNs quantifiés Tous les écrivains ont aimé les œuvres de Stendhal Un romancier russe est passé hier à la télévision Aucun étudiant sérieux ne mange pendant les cours La plupart des linguistes sont bilingues Plus détudiants que de professeurs viennent sur le campus par le tram Il ny a pas autant de garçons que de filles à réussir lexamen de langue Ni Pierre ni Marie ne se sont réveillés

Expressions quantifiantes tous sauf un, tous sauf cinq, quatre (et nimporte quel nombre évidemment), au moins quatre, au plus quatre, exactement un, moins de la moitié de, une quantité finie de, une foule de, quelques, certains, peu, beaucoup, trop, pas assez de…

Les quantificateurs frégéens Begriffschrift, 1879 tous les chats sont gris

Un prédicat du second ordre la propriété « être tel que si on est un chat, alors on est gris » possède la propriété dêtre vraie de tous les individus Interprétation : [[. ]] [[ ]] = – la propriété dêtre une propriété que tous les individus possèdent – La fonction qui associe 1 à toute propriété que tous les individus possèdent, 0 aux autres (fonction caractéristique) – Lensemble de toutes les propriétés que tous les individus possèdent

sémantique [[ ( x. P(x))]] = 1 ssi – [[ x. P(x)]] [[ ]] – [[ x. P(x)]] est une propriété que tous les individus possèdent

propriété = ensemble [[ x. P(x)]] : – La fonction qui à tout x tel que P(x) associe 1 – La fonction caractéristique de lensemble des x tels que P(x) – Lensemble des x tels que P(x)

[[ ]] : une famille densembles [[ ( x. P(x))]] = 1 ssi – Lensemble des x tels que P(x) appartient à [[ ]] [[ ]] est un ensemble densembles E [[ ]] si et seulement si – tous les éléments de lunivers possèdent la propriété qui définit E – Tous les éléments de lunivers sont éléments de E – D E – D = E

[[ ]] = {D} Donc [[ ]] est lensemble des ensembles qui contiennent lunivers D Il ny a quun seul tel ensemble: cest D lui- même Donc [[ ]] est un ensemble densembles qui ne contient quun seul élément: D [[ ]] = {D}

? Quelquun admire Cassiopée est la propriété, pour une propriété, dêtre vraie dau moins un individu de lunivers

[[ ]] [[ ]] est lensemble des ensembles qui ont une intersection non vide avec D [[ ]] = {X D ; X }

évaluation [[ ( x (x admire Cassiopée))]] = 1 ssi – [[( x (x admire Cassiopée))]] [[ ]] – [[( x (x admire Cassiopée))]] {X D ; X } – [[( x (x admire Cassiopée))]]

Typage de, Quantificateur : à une propriété ( ) associe une valeur de vérité, donc de type, t>

Tout, au moins un… Tout homme, chaque homme (au moins) un homme aucun homme au moins trois hommes trois hommes {A D ; HOMME A} {A D ; HOMME A = } {A D ; Card(HOMME A) 3} {A D ; Card(HOMME A) = 3}

Tout homme siffle… [[tout homme siffle]] M = 1 si et seulement si [[siffle]] M [[tout homme]] M si et seulement si [[siffle]] M {A D ; HOMME A} si et seulement si HOMME [[siffle]] M

Au moins trois hommes… [[au moins trois hommes marchent dans la rue]] M = 1 si et seulement si [[marchent dans la rue]] M {A D ; Card(HOMME A) 3} si et seulement si Card(HOMME [[marchent dans la rue]] M ) 3

Les types SN N Vt Vi SV A S Det, t> >, > T,, t>>

Point de vue relationnel TOUT : à deux ensembles associe une valeur de vérité [[TOUT]] = {(A, B) ; A, B D tels que A B} [[AU MOINS UN]] = {(A, B) ; A, B D tels que A B } = un ensemble de couples densembles = une relation binaire sur (D)

Restrictions Toutes les relations sur (D) sont des déterminants?

Extension Définition : Un déterminant représenté par une relation binaire Q sur les parties dun univers D est dit satisfaire la propriété dextension si pour tous A, B E E, Q E (A, B) Q E (A, B), où Q E désigne la restriction de Q aux intersections des parties de D avec E On na besoin de connaître que A B

Conservativité Définition : Un déterminant représenté par une relation binaire Q sur les parties dun univers D est dit satisfaire la propriété de conservativité si pour tous A, B E, Q E (A, B) Q E (A, A B).

Intersectivité Définition : Un déterminant représenté par une relation binaire Q sur les parties dun univers D est dit intersectif ssi pour tous A, B, A, B inclus dans le domaine D, si A B = A B, alors Q(A)(B) = Q(A)(B), autrement dit si et seulement si Q(A)(B) ne dépend que de lintersection de A et de B. n, quelques, au moins n, au plus n, …

Co-Intersectivité Q(A)(B) ne dépend que de la différence A – B tous, tous sauf n, …

Théorème de Keenan Théorème : pour tout domaine D, CONS D est la fermeture booléenne complète de INT D CO-INT D

Monotonie tout Girondin aime les huîtres les Bordelais sont des Girondins donc : tout Bordelais aime les huîtres – TOUT : décroissant à gauche certains Girondins cultivent de la vigne les Bordelais sont des Girondins donc : certains Bordelais cultivent de la vigne – CERTAINS : croissant à gauche

Monotonie tout Bordelais est un Girondin les Girondins sont des amateurs de vin donc : tout Bordelais est amateur de vin – TOUT : croissant à droite certains Girondins sont Bordelais les Bordelais aiment le ski donc : certains Girondins aiment le ski – CERTAINS : croissant à droite

Monotonie TOUT : MON CERTAINS : MON

Monotonie à droite Définition : Un déterminant représenté par une relation binaire Q sur les parties dun univers D est dit monotone croissant à droite (MON ) si pour tous A, B E, Q(A, B) et B B Q(A, B). On dit aussi dans ce cas que le groupe nominal A est MON. Définition : Un déterminant représenté par une relation binaire Q sur les parties dun univers D est dit monotone décroissant à droite (MON ) si pour tous A, B E, Q(A, B) et B B Q(A, B). On dit aussi dans ce cas que le groupe nominal A est MON.

Monotonie à gauche Définition : Un déterminant représenté par une relation binaire Q sur les parties dun univers D est dit monotone croissant à gauche ( MON) si pour tous A, B E, Q(A, B) et A A Q(A, B). Définition : Un déterminant représenté par une relation binaire Q sur les parties dun univers D est dit monotone décroissant à gauche ( MON) si pour tous A, B E, Q(A, B) et A A Q(A, B).

NPI tout pêcheur qui ramène le moindre poisson est acclamé aucun enfant qui fait la moindre faute à sa dictée nest récompensé *certains connaisseurs qui écoutent le moindre disque de cette chanteuse sont éblouis