Logique et raisonnement scientifique cours transversal Collège Doctoral Pr. Alain Lecomte

8- La logique et les processus Logique linéaire

bilan Hilbert  méthodes finitistes pour fonder la cohérence des mathématiques, vers les théorèmes d’incomplétude (Gödel, 1931) Brouwer  une exigence de constructibilité cf. fameuse question: « existe-t-il deux irrationnels x et y tels que xy soit un rationnel? » Essayons avec x = y = Si xy est un rationnel, on a répondu positivement Sinon (xy)y = 2 et on a répondu positivement mathématisation

La logique et l’informatique Modèles de calcul

Un autre problème posé par Hilbert: l’Entscheidungsproblem Le problème de la décision est résolu si l’on connaît une procédure qui permette de déterminer, en utilisant un nombre fini d’opérations, la validité, respectivement la satisfaisabilité d’une expression logique donnée (1928) mathématisation

Turing (1936) Machines de Turing Machine de Turing universelle Indécidabilité du problème de l’arrêt mathématisation

Tête de lecture/écriture Ruban Tête de lecture/écriture mathématisation

Alphabet :  = {#, a0, a1, a2, …, an} , symboles admis sur le ruban ai1 ai2 ai3 ai4 ai5 ai6 ai7 ai8 … … aik qi Alphabet :  = {#, a0, a1, a2, …, an} , symboles admis sur le ruban # : le blanc,    - {#}, symboles d’entrée Ensemble d’états : Q = {q0, q1, …, qm} q0 : état initial F  Q : ensemble d’états finaux (peut être vide) mathématisation

Règles de transition Une règle de transition est un quintuplet (qi, ai, qj, aj, Dir) où Dir{G, D} écrit aussi: (qi, ai)  (qj, aj, Dir) mathématisation

exemple  = {0, 1, X, Y, #}  = {0, 1} Q = {q0, q1, q2, q3, q4} F = {q4} Transitions (quintuplets) (q0, 0, q1, X, D), (q0, Y, q3, Y, D), (q1, 0, q1, 0, D), (q1, 1, q2, Y, G), (q1, Y, q1, Y, D), (q2, 0, q2, 0, G), (q2, X, q0, X, D), (q2, Y, q2, Y, G), (q3, Y, q3, Y, D), (q3, #, q4, #, D) mathématisation

diagramme mathématisation

(q0, 0, q1, X, D), (q0, Y, q3, Y, D), (q1, 0, q1, 0, D), (q1, 1, q2, Y, G), (q1, Y, q1, Y, D), (q2, 0, q2, 0, G), (q2, X, q0, X, D), (q2, Y, q2, Y, G), (q3, Y, q3, Y, D), (q3, #, q4, #, D) 1 1 1 q0 (q0, 0, q1, X, D) mathématisation

(q0, 0, q1, X, D), (q0, Y, q3, Y, D), (q1, 0, q1, 0, D), (q1, 1, q2, Y, G), (q1, Y, q1, Y, D), (q2, 0, q2, 0, G), (q2, X, q0, X, D), (q2, Y, q2, Y, G), (q3, Y, q3, Y, D), (q3, #, q4, #, D) X 1 1 1 q1 (q1, 0, q1, 0, D) mathématisation

(q0, 0, q1, X, D), (q0, Y, q3, Y, D), (q1, 0, q1, 0, D), (q1, 1, q2, Y, G), (q1, Y, q1, Y, D), (q2, 0, q2, 0, G), (q2, X, q0, X, D), (q2, Y, q2, Y, G), (q3, Y, q3, Y, D), (q3, #, q4, #, D) X 1 1 1 q1 (q1, 0, q1, 0, D) mathématisation

(q0, 0, q1, X, D), (q0, Y, q3, Y, D), (q1, 0, q1, 0, D), (q1, 1, q2, Y, G), (q1, Y, q1, Y, D), (q2, 0, q2, 0, G), (q2, X, q0, X, D), (q2, Y, q2, Y, G), (q3, Y, q3, Y, D), (q3, #, q4, #, D) X 1 1 1 q1 (q1, 1, q2, Y, G) mathématisation

(q0, 0, q1, X, D), (q0, Y, q3, Y, D), (q1, 0, q1, 0, D), (q1, 1, q2, Y, G), (q1, Y, q1, Y, D), (q2, 0, q2, 0, G), (q2, X, q0, X, D), (q2, Y, q2, Y, G), (q3, Y, q3, Y, D), (q3, #, q4, #, D) X Y 1 1 q2 (q2, 0, q2, 0, G) mathématisation

(q0, 0, q1, X, D), (q0, Y, q3, Y, D), (q1, 0, q1, 0, D), (q1, 1, q2, Y, G), (q1, Y, q1, Y, D), (q2, 0, q2, 0, G), (q2, X, q0, X, D), (q2, Y, q2, Y, G), (q3, Y, q3, Y, D), (q3, #, q4, #, D) X Y 1 1 q2 (q2, 0, q2, 0, G) mathématisation

(q0, 0, q1, X, D), (q0, Y, q3, Y, D), (q1, 0, q1, 0, D), (q1, 1, q2, Y, G), (q1, Y, q1, Y, D), (q2, 0, q2, 0, G), (q2, X, q0, X, D), (q2, Y, q2, Y, G), (q3, Y, q3, Y, D), (q3, #, q4, #, D) X Y 1 1 q2 (q2, X, q0, X, D) mathématisation

(q0, 0, q1, X, D), (q0, Y, q3, Y, D), (q1, 0, q1, 0, D), (q1, 1, q2, Y, G), (q1, Y, q1, Y, D), (q2, 0, q2, 0, G), (q2, X, q0, X, D), (q2, Y, q2, Y, G), (q3, Y, q3, Y, D), (q3, #, q4, #, D) X Y 1 1 q0 (q0, 0, q1, X, D) mathématisation

(q0, 0, q1, X, D), (q0, Y, q3, Y, D), (q1, 0, q1, 0, D), (q1, 1, q2, Y, G), (q1, Y, q1, Y, D), (q2, 0, q2, 0, G), (q2, X, q0, X, D), (q2, Y, q2, Y, G), (q3, Y, q3, Y, D), (q3, #, q4, #, D) X X Y 1 1 q1 (q1, 0, q1, 0, D) mathématisation

(q0, 0, q1, X, D), (q0, Y, q3, Y, D), (q1, 0, q1, 0, D), (q1, 1, q2, Y, G), (q1, Y, q1, Y, D), (q2, 0, q2, 0, G), (q2, X, q0, X, D), (q2, Y, q2, Y, G), (q3, Y, q3, Y, D), (q3, #, q4, #, D) X X Y 1 1 q1 (q1, Y, q1, Y, D) mathématisation

(q0, 0, q1, X, D), (q0, Y, q3, Y, D), (q1, 0, q1, 0, D), (q1, 1, q2, Y, G), (q1, Y, q1, Y, D), (q2, 0, q2, 0, G), (q2, X, q0, X, D), (q2, Y, q2, Y, G), (q3, Y, q3, Y, D), (q3, #, q4, #, D) X X Y 1 1 q1 (q1, 1, q2, Y, G) mathématisation

(q0, 0, q1, X, D), (q0, Y, q3, Y, D), (q1, 0, q1, 0, D), (q1, 1, q2, Y, G), (q1, Y, q1, Y, D), (q2, 0, q2, 0, G), (q2, X, q0, X, D), (q2, Y, q2, Y, G), (q3, Y, q3, Y, D), (q3, #, q4, #, D) X X Y Y 1 q2 (q2, Y, q2, Y, G) mathématisation

(q0, 0, q1, X, D), (q0, Y, q3, Y, D), (q1, 0, q1, 0, D), (q1, 1, q2, Y, G), (q1, Y, q1, Y, D), (q2, 0, q2, 0, G), (q2, X, q0, X, D), (q2, Y, q2, Y, G), (q3, Y, q3, Y, D), (q3, #, q4, #, D) X X Y Y 1 q2 (q2, 0, q2, 0, G) mathématisation

(q0, 0, q1, X, D), (q0, Y, q3, Y, D), (q1, 0, q1, 0, D), (q1, 1, q2, Y, G), (q1, Y, q1, Y, D), (q2, 0, q2, 0, G), (q2, X, q0, X, D), (q2, Y, q2, Y, G), (q3, Y, q3, Y, D), (q3, #, q4, #, D) X X Y Y 1 q2 (q2, X, q0, X, D) mathématisation

(q0, 0, q1, X, D), (q0, Y, q3, Y, D), (q1, 0, q1, 0, D), (q1, 1, q2, Y, G), (q1, Y, q1, Y, D), (q2, 0, q2, 0, G), (q2, X, q0, X, D), (q2, Y, q2, Y, G), (q3, Y, q3, Y, D), (q3, #, q4, #, D) X X Y Y 1 q0 (q0, 0, q1, X, D) mathématisation

(q0, 0, q1, X, D), (q0, Y, q3, Y, D), (q1, 0, q1, 0, D), (q1, 1, q2, Y, G), (q1, Y, q1, Y, D), (q2, 0, q2, 0, G), (q2, X, q0, X, D), (q2, Y, q2, Y, G), (q3, Y, q3, Y, D), (q3, #, q4, #, D) X X X Y Y 1 q1 (q1, Y, q1, Y, D) mathématisation

(q0, 0, q1, X, D), (q0, Y, q3, Y, D), (q1, 0, q1, 0, D), (q1, 1, q2, Y, G), (q1, Y, q1, Y, D), (q2, 0, q2, 0, G), (q2, X, q0, X, D), (q2, Y, q2, Y, G), (q3, Y, q3, Y, D), (q3, #, q4, #, D) X X X Y Y 1 q1 (q1, Y, q1, Y, D) mathématisation

(q0, 0, q1, X, D), (q0, Y, q3, Y, D), (q1, 0, q1, 0, D), (q1, 1, q2, Y, G), (q1, Y, q1, Y, D), (q2, 0, q2, 0, G), (q2, X, q0, X, D), (q2, Y, q2, Y, G), (q3, Y, q3, Y, D), (q3, #, q4, #, D) X X X Y Y 1 q1 (q1, 1, q2, Y, G) mathématisation

(q0, 0, q1, X, D), (q0, Y, q3, Y, D), (q1, 0, q1, 0, D), (q1, 1, q2, Y, G), (q1, Y, q1, Y, D), (q2, 0, q2, 0, G), (q2, X, q0, X, D), (q2, Y, q2, Y, G), (q3, Y, q3, Y, D), (q3, #, q4, #, D) X X X Y Y Y q2 (q2, Y, q2, Y, G) mathématisation

(q0, 0, q1, X, D), (q0, Y, q3, Y, D), (q1, 0, q1, 0, D), (q1, 1, q2, Y, G), (q1, Y, q1, Y, D), (q2, 0, q2, 0, G), (q2, X, q0, X, D), (q2, Y, q2, Y, G), (q3, Y, q3, Y, D), (q3, #, q4, #, D) X X X Y Y Y q2 (q2, Y, q2, Y, G) mathématisation

(q0, 0, q1, X, D), (q0, Y, q3, Y, D), (q1, 0, q1, 0, D), (q1, 1, q2, Y, G), (q1, Y, q1, Y, D), (q2, 0, q2, 0, G), (q2, X, q0, X, D), (q2, Y, q2, Y, G), (q3, Y, q3, Y, D), (q3, #, q4, #, D) X X X Y Y Y q2 (q2, X, q0, X, D) mathématisation

(q0, 0, q1, X, D), (q0, Y, q3, Y, D), (q1, 0, q1, 0, D), (q1, 1, q2, Y, G), (q1, Y, q1, Y, D), (q2, 0, q2, 0, G), (q2, X, q0, X, D), (q2, Y, q2, Y, G), (q3, Y, q3, Y, D), (q3, #, q4, #, D) X X X Y Y Y q0 (q0, Y, q3, Y, D) mathématisation

(q0, 0, q1, X, D), (q0, Y, q3, Y, D), (q1, 0, q1, 0, D), (q1, 1, q2, Y, G), (q1, Y, q1, Y, D), (q2, 0, q2, 0, G), (q2, X, q0, X, D), (q2, Y, q2, Y, G), (q3, Y, q3, Y, D), (q3, #, q4, #, D) X X X Y Y Y q3 (q3, Y, q3, Y, D) mathématisation

(q0, 0, q1, X, D), (q0, Y, q3, Y, D), (q1, 0, q1, 0, D), (q1, 1, q2, Y, G), (q1, Y, q1, Y, D), (q2, 0, q2, 0, G), (q2, X, q0, X, D), (q2, Y, q2, Y, G), (q3, Y, q3, Y, D), (q3, #, q4, #, D) X X X Y Y Y q3 (q3, Y, q3, Y, D) mathématisation

(q0, 0, q1, X, D), (q0, Y, q3, Y, D), (q1, 0, q1, 0, D), (q1, 1, q2, Y, G), (q1, Y, q1, Y, D), (q2, 0, q2, 0, G), (q2, X, q0, X, D), (q2, Y, q2, Y, G), (q3, Y, q3, Y, D), (q3, #, q4, #, D) X X X Y Y Y q3 (q3, #, q4, #, D) mathématisation

(q0, 0, q1, X, D), (q0, Y, q3, Y, D), (q1, 0, q1, 0, D), (q1, 1, q2, Y, G), (q1, Y, q1, Y, D), (q2, 0, q2, 0, G), (q2, X, q0, X, D), (q2, Y, q2, Y, G), (q3, Y, q3, Y, D), (q3, #, q4, #, D) X X X Y Y Y q4 (q3, #, q4, #, D) mathématisation

Le -calcul de Church 1934 - 1936 formuler avec précision le problème de la substitution des variables dans une expression qui représente une fonction Application Abstraction Équivalence avec MdT Théorème de Church-Rosser Une condition pour la normalisation : termes « typés » mathématisation

Prouver: (A  B)  ((B  C)  (A  C)) Le calcul des séquents (Gentzen, 1934) comme méthode de décision pour la logique classique et la logique intuitionniste Prouver: (A  B)  ((B  C)  (A  C)) mathématisation

| (A  B)  ((B  C)  (A  C)) démonstration A  B, B  C, A, B | B, C A  B, B  C, A, B, C | C A  B, B  C, A | A, C A  B, B  C, A, B | C A  B, B  C, A | C A  B, B  C | A  C A  B | (B  C)  (A  C) | (A  B)  ((B  C)  (A  C)) mathématisation

Règles logiques axiome : coupure : [ D] : A,  |- , B [ G] :  |- , A B,  |-   |- , AB A  B,  |-  [ D] : A,  |-  [ G] :  |- , A  |- ,  A  A,  |-  axiome : A,  |- , A coupure :  |- , A A,  |- ’ ,  |- , ’ mathématisation

Règles structurelles Affaiblissement : à gauche :  |-  à droite :  |-  , A |-   |- A,  Contraction : à gauche : , A, A |-  à droite :  |- A, A,  Permutation à gauche : , A, B,  |-  à droite :  |- ’, A, B,  , B, A,  |-   |- ’, B, A,  mathématisation

Gentzen - suite Hauptsatz : Le système sans coupure permet de prouver les mêmes séquents que le système avec coupure ! Alors… La règle de coupure ne sert à rien? Si! mathématisation

Calcul intuitionniste dissymétriser le calcul: les séquents ont au plus une formule en partie droite empêche tiers exclu et double négation Isomorphisme de Curry-Howard types = formules -termes = preuves réduction = élimination de la coupure mathématisation

Pourquoi casser les symétries? En logique classique,  |- A,  ’|- B, ’ , ’ |- A  B, , ’ et  |- A,  |- B,   |- A  B,  sont équivalentes (à cause des règles de contraction et d’affaiblissement) mathématisation

Pourquoi casser les symétries? Mais si on supprime ces règles? mathématisation

Pourquoi casser les symétries? La logique linéaire (1985) : 1- partie conjonctive [ G] , A, B |-  [ D]  |- A,  ’|- B, ’ , A  B |-  , ’ |- A  B, , ’ [& G]1 , A |-  [& D]  |- A,  |- B,  , A & B |-   |- A & B,  [& G]2 , B |-  , A & B |-  mathématisation

Logique linéaire – 2 partie disjonctive [ G]  |- A, B,  [ D] , A |-  ’, B |- ’  |- A  B,  , ’, A  B |- , ’ [ D]1  |- A,  [ G] , A |-  , B|-   |- A  B,  , A  B |-  [ D]2  |- B,   |- A  B,  [ D] : A,  |-  [ G] :  |- , A  |- , A A,  |-  NB : A –o B  A B mathématisation

Logique linéaire - 3 Retrouver la logique classique? A  B  !A –o B Le rôle des exponentielles : réintroduire localement les règles structurelles , A |-  [intro !] , !A, !A |-  [contraction] , !A |-  , !A |-   |-  [affaiblissement] , !A |-  mathématisation

Le menu…. Prix : 16 € Entrée : au choix jambon ou salade Plat de résistance : entrecôte Accompagnement : frites à volonté Déssert : au choix fromage ou fruit de saison selon arrivage (pêche ou pomme) mathématisation

Le menu…. Prix : 16 € Entrée : au choix jambon ou salade Plat de résistance : entrecôte Accompagnement : frites à volonté Déssert : au choix fromage ou fruit de saison selon arrivage (pêche ou pomme) mathématisation

La formule… 16 € --o (jambon & salade)  (entrecôte  !frites) (fromage & (pomme  pêche)) mathématisation

Autre exemple Il y a un siège disponible sur Londres – Bruxelles Marie est à Londres John est à Londres En principe: Marie peut prendre l’avion pour Bruxelles John peut prendre l’avion pour Bruxelles Donc : Marie et John peuvent prendre l’avion pour Bruxelles mathématisation

En réalité… Soit les prémisses : x (Londres(x) –o Brux(x)) pour tout individu x, s’il est à Londres, il peut aller à Bruxelles mais cette formule est utilisable une seule fois Londres(Marie) Londres(John) Elles ne permettent pas de déduire Brux(Marie) et Brux(John) mathématisation

déduction x (Londres(x) –o Brux(x)) Londres(Marie) –o Brux(Marie) Donc : x (Londres(x) –o Brux(x)), Londres(Marie)  Brux(Marie) Londres(John)  Londres(John) Donc : x (Londres(x) –o Brux(x)), Londres(Marie), Londres(John)  Brux(Marie)  Londres(John) Ou bien : x (Londres(x) –o Brux(x)), Londres(Marie), Londres(John)  Brux(John)  Londres(Marie) mathématisation

Plus sérieux… !(e (electron(e) –o z position(e, z))) !(e (electron(e) –o z’ vitesse(e, z’))) Impossible de prouver : !(e (electron(e) –o z position(e, z)  z’ vitesse(e, z’))) mathématisation

déduction !(e (electron(e) –o z position(e, z))) electron(i) electron(i) –o z position(i, z) z position(i, z) Mais electron(i) a été consommé, on ne peut pas le réutiliser pour prouver z’ vitesse(e, z’) mathématisation

Réseaux de preuves C’est ce qui remplace les -termes Soit à démontrer le séquent suivant: mathématisation

mathématisation

mathématisation

mathématisation

mathématisation

mathématisation

mais on aurait pu faire autrement mathématisation

mathématisation

mathématisation

mathématisation

mathématisation

i B B C C A A B , C B Ä C A , B , A Þ C B Ä C A Ä B , A Þ C B Ä C A A mathématisation

i B C A C B Ä C A B A Þ C A Ä B A C A Þ C C B A B B Ä C A Ä B mathématisation

i B C A C B Ä C A B A Þ C A Ä B A C A Þ C C B A B B Ä C A Ä B mathématisation

B C A C B Ä C A B A Þ C A Ä B A C A Þ C C B A B B Ä C A Ä B mathématisation

A B A C B C B A Ä C A Þ C B Ä mathématisation

i i o i o o i i o A B A C B C B A Ä C A Þ C B Ä  : a « right » conjunction  : a « left » conjunction : a « left » disjunction A  B  A  B mathématisation

symmetries left conjunction = right disjunction right conjunction = left disjunction right formula = negation of left formula left formula = negation of right formula mathématisation

A B A C B C B A Ä C A Þ C B Ä  : a « right » conjunction  : a « right » disjunction (between neg.) : a « right » conjunction mathématisation

A B A C B C A  B A  C B  C mathématisation

A B A C B C A  B A  C B  C mathématisation

correctness criterion connectivity switches : no cycle in any graph obtained by removing one edge to each par link Une « géométrisation » de la logique mathématisation

Prouver c’est aussi planifier cf. une action produit un changement dans le monde utilise des ressources se réalise par combinaison d’actions plus élémentaires mathématisation

poser c sur la table a c mathématisation

poser c sur la table c a mathématisation

poser c sur la table c a mathématisation

poser c sur la table c a mathématisation

poser c sur la table c a mathématisation

poser c sur la table a c mathématisation

Passer de l’état du monde: main vide (V) c en haut de pile (donc accessible) (H(c)) c sur a (S(c, a)) à main vide c en haut de pile c en bas de pile (B(c)) a en haut de pile mathématisation

décrit par le séquent : V, H(c), S(c, a)  VH(c)B(c)H(a) mathématisation

Actions élémentaires prendre(x) : V, H(x), B(x)  T(x) poser(x) : T(x)  VH(x)B(x) oter(x, y) : V, H(x), S(x, y)  T(x)H(y) mettre(x, y) : T(x), H(y)  VH(x)S(x, y) mathématisation

preuve T(c)  V  H(c)  B(c) H(a)  H(a) -------------------------------------------------  - droite T(c), H(a)  V  H(c)  B(c)  H(a) -----------------------------------------------  - gauche V, H(c), S(c, a)  T(c)  H(a) T(c)  H(a)  V  H(c)  B(c)  H(a) -----------------------------------------------------------------------------------coupure V, H(c), S(c, a)  V  H(c)  B(c)  H(a) mathématisation

preuve poser(c) H(a)  H(a) --------------------------------------  - droite T(c), H(a)  V  H(c)  B(c)  H(a) ------------------------------------  - gauche oter(c, a) T(c)  H(a)  V  H(c)  B(c)  H(a) -----------------------------------------------------------------------------------coupure V, H(c), S(c, a)  V  H(c)  B(c)  H(a) mathématisation

preuve  action? On peut extraire une composition d’actions d’une preuve comme on peut extraire un programme d’une preuve (informatique théorique) mathématisation

interaction & : choix « actif » (vous avez le choix entre … et …)  : choix « passif » (l’un ou l’autre, vous ne décidez pas)  : les deux, dans un ordre séquentiel non déterminé : les deux, en parallèle, par exemple l’échange (l’un contre l’autre)  : le changement de point de vue mathématisation

interprétation Interaction la logique n’est plus seulement interprétable comme « décrivant un extérieur », elle s’interprète « par rapport à elle-même », autrement dit elle réfère à ses propres procédures : l’interprétation des règles se fait dans un dialogue interne et le système se voit ainsi doté d’une dynamique des preuves mathématisation

La logique et les processus une science formelle des processus informationnels convergents Applications: Linguistique Biologie Sciences cognitives (Krivine) mathématisation

biologie Antoine Danchin: « la cellule est un ordinateur vivant » Physique : matière, énergie, temps… Biologie : Physique + information, codage, contrôle… Arithmétique : chaînes d’entiers, récursivité, codage… Informatique : arithmétique + programme + machine… » « comme dans le cas de la construction d’une machine, dans celui de la construction d’une cellule, on a besoin d’un livre de recettes… cela demande ensuite qu’on soit capable de changer le texte de la recette en quelque chose de concret : ceci consiste dans le « transfert d’information ». Dans une cellule, ce transfert d’information est assuré par le programme génétique » mathématisation

conclusion au cœur d’un processus contemporain de mathématisation à propos d’objets qui n’ont pas pu jusqu’à présent être l’objet d’un tel processus, faute d’outils mathématiques adéquats il était assez imprévisible et il reste curieux que ce soit la logique, dans son propre développement interne, qui donne aujourd’hui de tels outils, via l’intégration qu’elle opère des lois de fonctionnement de machines abstraites. mathématisation