Faut-il brûler la logique classique? Les logiques modales

C. I. Lewis, 1918 : les « paradoxes » de l’implication matérielle (1) (2) ad impossibile sequitur quodlibet Ex: si « l’eau bout à 100° » est vraie, alors il est vrai que « si Charlemagne fut empereur, alors l’eau bout à 100° » Distinguer une « implication stricte » d’une implication matérielle?

Implication stricte P implique strictement Q si et seulement s’il est impossible que P soit vrai sans que Q le soit Fait intervenir la notion de modalité

… une idée pas neuve Aristote, Premiers Analytiques cf. discussion sur l’aporie de Diodore Kronos (J. Vuillemin, 1984)

Aporie de Diodore - 1 A – le passé est irrévocable, B – si q suit nécessairement de p, alors s’il n’est pas possible que q, il n’est pas possible que p C – il y a des possibles qui ne se réaliseront jamais, D – de ce qui se réalise il n’a jamais été vrai qu’il ne se réalisera pas, E – de ce qui ne se réalise pas et ne se réalisera jamais, il a été vrai (à quelque moment) qu’il ne se réalisera jamais

Aporie de Diodore - 1 Pp  MPp L(p  q)(Mq  Mp) (Mp  p  Fp) A – le passé est irrévocable, B – si q suit nécessairement de p, alors s’il n’est pas possible que q, il n’est pas possible que p C – il y a des possibles qui ne se réaliseront jamais, D – de ce qui se réalise il n’a jamais été vrai qu’il ne se réalisera pas, E – de ce qui ne se réalise pas et ne se réalisera jamais, il a été vrai (à quelque moment) qu’il ne se réalisera jamais Pp  MPp L(p  q)(Mq  Mp) (Mp  p  Fp) p  PFp p  Fp  PFp

Intérêt des logiques modales Introduire : le temps dans la logique (logique temporelle) sous l’aspect d’opérateurs tels que P et F (passé et futur), les considérations de contingence et de nécessité (logique aléthique), celles de permission et d’obligation (logique déontique) les notions de savoir et de croyance (logiques épistémiques et doxastiques).

opérateurs logique aléthique : le nécessaire est le dual du possible logique déontique : l’obligatoire est le dual du permis logique de la prouvabilité : le prouvable est le dual du « consistant avec » ◊p  □p

Premières approches : Lewis et Langford, 1932 Présentation à la Hilbert

L’approche syntaxique (2) Interprétation « naturelle »: □p = « il est nécessaire que p » La logique modale (propositionnelle) est une extension du calcul propositionnel : Toute logique modale doit contenir comme théorèmes au minimum toutes les tautologies du CP, Comme il existe une procédure pour les déterminer (décidabilité), on peut admettre que chaque tautologie du CP est prise comme axiome

L’approche syntaxique (3) + axiomes « propres », permettant de manipuler « □ » Axiomes CP : toute formule ayant la forme d’une tautologie Axiome K : □()  (□ □) Règles : modus ponens : |—  |—  |—  nécessitation : |—  |— □

Sémantique de la logique modale Sémantique dite « de Kripke » Deux notions-clés : Monde possible Relation d’accessibilité

La théorie des mondes possibles

Semantic frame Un « frame » F est un couple (W, ) où: W : un ensemble non vide (de « mondes possibles »)  une relation binaire sur W Un modèle (de Kripke) sur F est un couple (F, V) où: F est un « frame » V est une application de {p1, p2, …, pn}  W dans {0,1} (à chaque lettre propositionnelle et chaque monde possible: une valeur de vérité)

Sémantique (3) Si dans le modèle M, V(p, w) = 1 (p: une lettre propositionnelle, w: un monde), on écrit: VM,w(p) = 1 ou: |=M,w p ou encore w |=M p On étend V à toute formule au moyen de: VM,w() = 1 ssi VM,w() = VM,w() = 1 VM,w() = 0 ssi VM,w() = VM,w() = 0 VM,w() = 1 ssi VM,w() = 0 VM,w() = 1 ssi pour tout w’ tel que ww’, VM,w’() = 1

Liens entre propriétés de  et formules vraies dans une logique modale Supposons que nous prenions comme axiome supplémentaire, la formule : □   Quelle est sa signification en termes de « frame » ou de « relation d’accessibilité »?

Si  est vraie dans tout monde accessible au monde actuel w0, alors  est vraie dans ce monde actuel Autrement dit: w0 fait partie de ces mondes accessibles à partir de lui-même w0  w0 Autrement dit:  est réflexive

Propriétés de  et formules vraies Idem pour: □  □□ Si  est vraie dans tout monde accessible au monde actuel w0, alors c’est le cas également de □ Pour que □ soit vraie dans tout monde w accessible à w0, il faut que  soit vraie dans tout monde accessible à tout monde w accessible à w0. Donc la formule exprime le fait que si  est vraie dans tout monde accessible à w0, alors elle est encore vraie dans tout monde accessible à tout monde accessible à w0.

ceci est assuré si:  est transitive

Qu’en est-il de: ◊□   ?

S’il existe un monde possible accessible au monde actuel où □ est vraie, alors  est vraie dans le monde actuel Soit w1 ce monde, dire que □ est vraie dans w1, c’est dire que  est vraie dans tout monde possible accessible à w1 Si on veut que toujours en ce cas,  soit vraie dans w0, il suffit que w0 soit toujours accessible à w1 Et ce, quel que soit le monde w1 accessible à w0 Donc que  soit symétrique

Caractérisation (2) □  (axiome T) caractérise les frames réflexifs □  □□ (axiome 4) caractérise les frames transitifs ◊□   (axiome B) caractérise les frames symétriques ◊  □◊ (axiome 5) caractérise les frames euclidiens

Différentes logiques On a vu K (pas de propriété particulière de ) (logique modale minimale) K + □   : logique T T + □  □□ : logique S4 S4 + ◊  □◊ : logique S5 si on ajoute   □ : collapsus (retour à CP)

Logique épistémique (1) |—  |— K toute vérité (logique) est connue…! (omniscience) Axiome K : si x sait que A  B alors s’il sait A, il sait B (« distribution ») Connaissance : x sait que    Modus ponens

Logique épistémique (2) 4 : Ki  Ki Ki  Axiome de l’introspection positive 5 : Ki  Ki Ki Axiome de l’introspection négative B : KiKi   ???

8- La logique et les processus Logique linéaire

Prouver: (A  B)  ((B  C)  (A  C)) Le calcul des séquents (Gentzen, 1934) comme méthode de décision pour la logique classique et la logique intuitionniste Prouver: (A  B)  ((B  C)  (A  C))

| (A  B)  ((B  C)  (A  C)) démonstration A  B, B  C, A, B | B, C A  B, B  C, A, B, C | C A  B, B  C, A | A, C A  B, B  C, A, B | C A  B, B  C, A | C A  B, B  C | A  C A  B | (B  C)  (A  C) | (A  B)  ((B  C)  (A  C))

Règles logiques axiome : coupure : [ D] : A,  |- , B [ G] :  |- , A B,  |-   |- , AB A  B,  |-  [ D] : A,  |-  [ G] :  |- , A  |- ,  A  A,  |-  axiome : A,  |- , A coupure :  |- , A A,  |- ’ ,  |- , ’

Règles structurelles Affaiblissement : à gauche :  |-  à droite :  |-  , A |-   |- A,  Contraction : à gauche : , A, A |-  à droite :  |- A, A,  Permutation à gauche : , A, B,  |-  à droite :  |- ’, A, B,  , B, A,  |-   |- ’, B, A, 

Gentzen - suite Hauptsatz : Le système sans coupure permet de prouver les mêmes séquents que le système avec coupure ! Alors… La règle de coupure ne sert à rien? Si!

Calcul intuitionniste dissymétriser le calcul: les séquents ont au plus une formule en partie droite empêche tiers exclu et double négation Isomorphisme de Curry-Howard types = formules -termes = preuves réduction = élimination de la coupure

Pourquoi casser les symétries? En logique classique,  |- A,  ’|- B, ’ , ’ |- A  B, , ’ et  |- A,  |- B,   |- A  B,  sont équivalentes (à cause des règles de contraction et d’affaiblissement)

Pourquoi casser les symétries? Mais si on supprime ces règles?

Pourquoi casser les symétries? La logique linéaire (1985) : 1- partie conjonctive [ G] , A, B |-  [ D]  |- A,  ’|- B, ’ , A  B |-  , ’ |- A  B, , ’ [& G]1 , A |-  [& D]  |- A,  |- B,  , A & B |-   |- A & B,  [& G]2 , B |-  , A & B |- 

Logique linéaire – 2 partie disjonctive [ G]  |- A, B,  [ D] , A |-  ’, B |- ’  |- A  B,  , ’, A  B |- , ’ [ D]1  |- A,  [ G] , A |-  , B|-   |- A  B,  , A  B |-  [ D]2  |- B,   |- A  B,  [ D] : A,  |-  [ G] :  |- , A  |- , A A,  |-  NB : A –o B  A B

Logique linéaire - 3 Retrouver la logique classique? A  B  !A –o B Le rôle des exponentielles : réintroduire localement les règles structurelles , A |-  [intro !] , !A, !A |-  [contraction] , !A |-  , !A |-   |-  [affaiblissement] , !A |- 

Le menu…. Prix : 16 € Entrée : au choix jambon ou salade Plat de résistance : entrecôte Accompagnement : frites à volonté Déssert : au choix fromage ou fruit de saison selon arrivage (pêche ou pomme)

Le menu…. Prix : 16 € Entrée : au choix jambon ou salade Plat de résistance : entrecôte Accompagnement : frites à volonté Déssert : au choix fromage ou fruit de saison selon arrivage (pêche ou pomme)

La formule… 16 € --o (jambon & salade)  (entrecôte  !frites) (fromage & (pomme  pêche))

Autre exemple Il y a un siège disponible sur Londres – Bruxelles Marie est à Londres John est à Londres En principe: Marie peut prendre l’avion pour Bruxelles John peut prendre l’avion pour Bruxelles Donc : Marie et John peuvent prendre l’avion pour Bruxelles

En réalité… Soit les prémisses : x (Londres(x) –o Brux(x)) pour tout individu x, s’il est à Londres, il peut aller à Bruxelles mais cette formule est utilisable une seule fois Londres(Marie) Londres(John) Elles ne permettent pas de déduire Brux(Marie) et Brux(John)

déduction x (Londres(x) –o Brux(x)) Londres(Marie) –o Brux(Marie) Donc : x (Londres(x) –o Brux(x)), Londres(Marie)  Brux(Marie) Londres(John)  Londres(John) Donc : x (Londres(x) –o Brux(x)), Londres(Marie), Londres(John)  Brux(Marie)  Londres(John) Ou bien : x (Londres(x) –o Brux(x)), Londres(Marie), Londres(John)  Brux(John)  Londres(Marie)

Plus sérieux… !(e (electron(e) –o z position(e, z))) !(e (electron(e) –o z’ vitesse(e, z’))) Impossible de prouver : !(e (electron(e) –o z position(e, z)  z’ vitesse(e, z’)))

déduction !(e (electron(e) –o z position(e, z))) electron(i) electron(i) –o z position(i, z) z position(i, z) Mais electron(i) a été consommé, on ne peut pas le réutiliser pour prouver z’ vitesse(e, z’)

Prouver c’est aussi planifier cf. une action produit un changement dans le monde utilise des ressources se réalise par combinaison d’actions plus élémentaires

poser c sur la table a c

poser c sur la table c a

poser c sur la table c a

poser c sur la table c a

poser c sur la table c a

poser c sur la table a c

Passer de l’état du monde: main vide (V) c en haut de pile (donc accessible) (H(c)) c sur a (S(c, a)) à main vide c en haut de pile c en bas de pile (B(c)) a en haut de pile

décrit par le séquent : V, H(c), S(c, a)  VH(c)B(c)H(a)

Actions élémentaires prendre(x) : V, H(x), B(x)  T(x) poser(x) : T(x)  VH(x)B(x) oter(x, y) : V, H(x), S(x, y)  T(x)H(y) mettre(x, y) : T(x), H(y)  VH(x)S(x, y)

preuve T(c)  V  H(c)  B(c) H(a)  H(a) -------------------------------------------------  - droite T(c), H(a)  V  H(c)  B(c)  H(a) -----------------------------------------------  -gauche V, H(c), S(c, a)  T(c)  H(a) T(c)  H(a)  V  H(c)  B(c)  H(a) -----------------------------------------------------------------------------------coupure V, H(c), S(c, a)  V  H(c)  B(c)  H(a)

preuve poser(c) H(a)  H(a) --------------------------------------  -droite T(c), H(a)  V  H(c)  B(c)  H(a) ------------------------------------  gauche oter(c, a) T(c)  H(a)  V  H(c)  B(c) H(a) -----------------------------------------------------------------------------------coupure V, H(c), S(c, a)  V  H(c)  B(c)  H(a)

preuve  action? On peut extraire une composition d’actions d’une preuve comme on peut extraire un programme d’une preuve (informatique théorique)

interaction & : choix « actif » (vous avez le choix entre … et …)  : choix « passif » (l’un ou l’autre, vous ne décidez pas)  : les deux, dans un ordre séquentiel non déterminé : les deux, en parallèle, par exemple l’échange (l’un contre l’autre)  : le changement de point de vue

interprétation Interaction la logique n’est plus seulement interprétable comme « décrivant un extérieur », elle s’interprète « par rapport à elle-même », autrement dit elle réfère à ses propres procédures : l’interprétation des règles se fait dans un dialogue interne et le système se voit ainsi doté d’une dynamique des preuves

La logique et les processus une science formelle des processus informationnels convergents Applications: Linguistique Biologie Sciences cognitives (Krivine)

biologie Antoine Danchin: « la cellule est un ordinateur vivant » Physique : matière, énergie, temps… Biologie : Physique + information, codage, contrôle… Arithmétique : chaînes d’entiers, récursivité, codage… Informatique : arithmétique + programme + machine… » « comme dans le cas de la construction d’une machine, dans celui de la construction d’une cellule, on a besoin d’un livre de recettes… cela demande ensuite qu’on soit capable de changer le texte de la recette en quelque chose de concret : ceci consiste dans le « transfert d’information ». Dans une cellule, ce transfert d’information est assuré par le programme génétique »

conclusion au cœur d’un processus contemporain de mathématisation à propos d’objets qui n’ont pas pu jusqu’à présent être l’objet d’un tel processus, faute d’outils mathématiques adéquats il était assez imprévisible et il reste curieux que ce soit la logique, dans son propre développement interne, qui donne aujourd’hui de tels outils, via l’intégration qu’elle opère des lois de fonctionnement de machines abstraites.