Logique et Raisonnement Scientifique A. Lecomte Gödel et l’incomplétude

Gödel et l’incomplétude de l’arithmétique formelle Kurt Gödel : 1906 - 1978 1931 : « Sur les propositions formellement indécidables des Principia Mathematica et des systèmes apparentés ». (Kurt Gödel et Albert Einstein à Princeton)

« Le développement des mathématiques vers plus de précision a conduit à la formalisation de vastes domaines de telle sorte que les démonstrations puissent être développées en suivant un petit nombre de règles mécaniques. Les systèmes formels les plus étendus à ce jour sont, d’une part les Principia Mathematica de Whitehead et Russell et, d’autre part, le système de Zermelo-Fraenkel de la théorie axiomatique des ensembles. Ces deux systèmes sont si vastes que toutes les méthodes de démonstration utilisées aujourd’hui en mathématiques peuvent y être formalisées, c’est-à-dire peuvent être réduites à un petit nombre d’axiomes et de règles de déduction. Il semblerait donc raisonnable de conjecturer que ces axiomes et ces règles de déduction suffisent pour décider de toutes les questions mathématiques qui peuvent être formulées dans le système concerné. Dans ce qui suit, il sera montré qu’il n’en est pas ainsi, mais plutôt, que dans les deux systèmes cités, il existe des problèmes relativement simples de la théorie des nombres entiers ordinaires dont on ne peut décider sur la base des axiomes ».

Le théorème de Gödel Idée centrale: à partir du moment où nous avons un système formel incluant la possibilité d’exprimer des relations arithmétiques (les nombres entiers et leurs propriétés élémentaires), alors ce système est capable d’exprimer des propriétés sur lui-même, et si nous sommes capables de construire rigoureusement dans un tel système une formule analogue à celle du Menteur, alors de deux choses l’une : ou nous acceptons qu’il y ait une contradiction dans le système ou nous acceptons qu’il y ait des formules vraies qui ne puissent pas être démontrées et c’est bien sûr la deuxième possibilité que nous choisirons.

Quelques précisions 1- la numérotation de Gödel  : 1  : 2  : 3  : 4  : 5 0 : 6 s : 7 ( : 8 ) : 9 , :10 x : 11 y : 13 z : 17 p : 112 q : 132 r : 172 P : 113 Q : 133 R : 173 var. numériques var. propositionnelles var. prédicatives

Quelques précisions 1- la numérotation de Gödel (  x ) ( x = s y ) 8 4 11 9 8 11 5 7 13 9  28.34. 511.79.118.1311.175.197.2313.299

Etendre la numérotation de Gödel aux déductions Exemple : 1 2 deux lignes possibles d’une déduction (substitution de 0 à y dans la ligne 1)

Etendre la numérotation de Gödel aux déductions Exemple : 1  m 2  n k = 2m3n « la déduction de nombre de Gödel k est une démonstration de la formule de nombre de Gödel n »

Etendre la numérotation de Gödel aux déductions Plus généralement : L’assertion « la suite de formules de nombre de Gödel x est une démonstration de la formule de nombre de Gödel z  » se trouve reflétée dans le système par une relation arithmétique Dem(x, z) Mais cette relation possède elle-même un nombre de Gödel!

Construction de «la formule G » La formule possède un nombre de Gödel Elle signifie : « il n’existe pas de démonstration (représentée par un nombre de Gödel x) de la formule de nombre de Gödel z » Soit sub(m, p, q) le ndG obtenu en substituant dans la formule de ndG m, à la variable de ndG p, le chiffre q

Construction de «la formule G » Soit la formule : elle dit: « la formule obtenue en substituant dans la formule de ndG y, à la variable de ndG p, le chiffre y, n’est pas démontrable » elle possède un nombre de Gödel n, qu’on peut substituer à y, on obtient: G =

Etude de la formule G Quel est son nombre de Gödel? On l’a obtenue en substituant au sein de la formule de ndG n, à la variable de ndG p, le chiffre n, ce qui est la définition de sub(n, p, n) donc son ndG est sub(n, p, n) d’autre part elle dit que « la formule qui possède le ndG sub(n, p, b) n’est pas démontrable » Donc elle dit d’elle-même qu’elle n’est pas démontrable

Le cœur de la démonstration Si G est démontrable, G est démontrable Supposons G démontrable, il existe une suite de formules de ndG k telle que Dem(k, sub(n, p, n)), Donc Dem(k, sub(n, p, n)) est démontrable, Donc (x) Dem(x, sub(n, p, n)) = G est démontrable si G est démontrable, G aussi! Donc ni G ni G ne sont démontrables (si l’arithmétique est consistante!)

… mais G est vraie! G n’est pas démontrable Mais c’est justement ce que dit G!!!! Donc G est vraie! D’où l’existence d’une formule vraie non démontrable

2ème théorème de Gödel L’arithmétique est-elle consistante? La consistance s’exprime par la formule : A = (il y a au moins une thèse non démontrable) La formule « A  G » est démontrable Si A était démontrable… G le serait donc aussi! Donc A n’est pas démontrable

Conséquence fondamentale La consistance de l’arithmétique formelle ne peut pas être démontrée dans la théorie de l’arithmétique formelle On ne peut pas prouver au moyen de méthodes finitistes à la Hilbert la non-contradiction d’une théorie incluant au minimum l’arithmétique formelle Échec du programme de Hilbert