Logique et raisonnement scientifique cours transversal Collège Doctoral Pr. Alain Lecomte

3. Logique et mathématiques De Frege à Gödel

Frege (1848 – 1925) Après que la mathématique se fut pour un temps écartée de la rigueur euclidienne, elle y revient, et non sans de vifs efforts pour la dépasser

Manque de rigueur? Newton: les fluxions o : une « particule atomique de temps », un « infiniment petit » mais infiniment petit : terme contradictoire Paradoxes de Zénon Séries infinies

Niels Abel (1826): « [les séries divergentes] sont quelque chose de bien fatal et c’est une honte qu’on ose y fonder aucune démonstration… Ce sont elles qui ont fait tant de malheurs et causé tant de paradoxes »

Niels Abel La vie de Niels Abel, mathématicien norvégien né le 5 août 1802, est marquée par la pauvreté. Son père était pourtant un éminent homme politique norvégien, mais à la fin de sa vie il est tombé en disgrâce, et quand il meurt en 1820, c'est Abel qui doit supporter la charge de la famille. Grâce à l'aide financière de ses professeurs, il parvient cependant à poursuivre ses études et à faire ses premières découvertes. Mais ses mémoires sont perdus par Cauchy, mésestimés par Gauss.   Après son doctorat, Abel ne parvient pas à trouver un poste, ses conditions de vie sont de plus en plus précaires et sa santé se fait fragile : il est atteint de la tuberculose. Malgré des déplacements à Paris et à Berlin, ses travaux ne sont toujours pas perçus à leur juste valeur. Dans ses dernières semaines, il n'a plus assez de force pour quitter son lit. Il décède le 5 avril 1829, à même pas 27 ans, alors qu'un ami venait juste de lui trouver un poste à Berlin.

Cauchy, Weierstrass quand n tend vers si et seulement si :

La Begriffschrift-1 « je n’ai pas voulu faire un simple calculus ratiocinator, mais une lingua characterica au sens de Leibniz »

La Begriffschrift-1 Sujet / Prédicat  Objet / Fonction x2 – 4x _ conquit la Gaule Les objets (expressions saturées) ont une dénotation Donc aussi les propositions La dénotation d’une proposition est soit le vrai, soit le faux

La Begriffschrift-2 Idée de système formel Les déductions obtenues « par le seul moyen des règles données pour l’utilisation de nos signes » Comme chez Euclide : axiomes

axiomes a b a c b a c b

Règle d’inférence  A 

 A 

 A

négation A axiomes b a a a

Exemple de déduction avec les axiomes soit à prouver : a b a c b a c b

dans a b a a c b mettre à la place de a et à la place de b a b

a c b a b a c b

a c b a b a c b a c b

a b c a c b

Fonctions et champ (A) (a) a (a) a (a) a A

Beaucoup de flèches n’ont pas atteint la cible Pas beaucoup de flèches ont atteint la cible la cible n’a pas été atteinte par beaucoup de flèches

assertions et contenus

De la logique aux mathématiques Le nombre de satellites de Jupiter est l’extension du concept « équinumérique au concept « satellite de Jupiter » » Puisque rien ne tombe sous le concept : « non identique à soi-même », je pose par définition : 0 est le nombre cardinal qui appartient au concept « non identique à soi-même. « il existe un concept F et un objet x qui tombe sous ce concept tels que le nombre cardinal qui appartient à ce concept est n et que le nombre cardinal qui appartient au concept 'qui tombe sous F mais n'est pas identique à x' est m ». veut dire la même chose que « n suit immédiatement m dans la suite naturelle des nombres. » Théorie des cardinaux finis

L’infini? le nombre cardinal infini est le nombre qui appartient au concept « nombre cardinal fini » Infini actuel