Vers une interprétation « concrète » Le système formel, que nous appellerons calcul booléen, a reçu une interprétation mathématique rigoureuse au moyen du domaine D = {0, 1} et des opérations + et  définies sur lui, Maintenant, « concrètement » quelle signification donner à des variables qui ne peuvent prendre pour valeurs que 0 ou 1?

Calcul propositionnel Une candidate à la signification qu’on peut accorder à une variable booléenne est la notion logique de proposition, Une proposition est une entité qui est soit vraie (1) soit fausse (0) Le calcul propositionnel est donc une « interprétation concrète » du calcul booléen quand 1 est interprété comme Vrai (v) et 0 comme Faux (f)

Remarque On ne parle pas ici d’ « interprétation » au sens rigoureux du terme, c’est-à-dire au sens où on pourrait calculer ce qui est vrai dans l’interprétation pour connaître par avance ce qu’on peut démontrer comme théorème dans le système, En effet les seules « vérités » de la logique nous sont accessibles par l’intuition… qui n’est pas un calcul à proprement parler, ou alors il faudrait tabler sur une méthode de calcul… que nous ne possédons pas encore (puisque nous sommes en train de l’élaborer!)

suite Le calcul propositionnel est donc une algèbre de Boole où les variables, appelées variables propositionnelles, représentent des propositions, c’est-à-dire des entités ayant pour valeurs possibles: le vrai (v) ou le faux (f) Les opérations booléennes déjà introduites s’interprètent aisément

connecteurs Dans le cas du calcul propositionnel (dorénavant CP), les opérations booléennes sont interprétées comme des connecteurs, Un connecteur binaire est une manière de composer deux propositions pour en obtenir une troisième, Un connecteur unaire est une manière d’obtenir une autre proposition à partir d’une proposition donnée On peut ainsi définir « récursivement » ce qu’on entend par une proposition (au sens général): Une variable propositionnelle est une proposition, Si P et Q sont des propositions et si © est un connecteur binaire, alors P © Q est une proposition Si P est une proposition et si ® est un connecteur unaire, alors ®P est une proposition

Remarque Cette dernière « définition » pourrait laisser croire qu’il n’y a que des connecteur unaires et binaires. Il n’en est rien, on peut concevoir des connecteurs n-aires pour n quelconque: ce sont des manières d’obtenir une proposition à partir de n propositions, Exemple: « si… alors… sinon…» est un connecteur ternaire, Cette définition présuppose en réalité un résultat qui ne peut être établi que plus tardivement, selon lequel toutes les propositions (y compris celles obtenues au moyen de connecteurs n-aires arbitraires) peuvent s’écrire au moyen uniquement de connecteurs unaires et binaires.

Conjonction et disjonction Deux connecteurs évidents correspondent aux opérateurs  et  du calcul booléen, ils permettent de définir les propositions pq et pq, dont les valeurs de vérité sont calculées au moyen des tables: p q pq v f p q pq v f

suite Ainsi, pq est vrai si et seulement si l’un des deux (ou les deux) de p et de q est vrai pq est vrai si et seulement si p et q sont vrais simultanément D’où la lecture qu’on donne à ces symboles pq : p ou q pq : p et q

négation De même, on peut définir la proposition p: Qui, bien sûr, s’interprète comme la négation de p: p : non-p p p v f

extensionnalité Les exemples précédents montrent qu’une nouvelle proposition est construite à partir de deux propositions p et q en déterminant quelle est sa valeur de vérité pour chaque situation concernant les valeurs de vérité de p et q, Il y a 4 situations possibles: (v,v), (v, f), (f, v), (f, f) Il y a donc autant de propositions obtenues à partir de p et q (donc autant de connecteurs binaires) qu’il y a de fonctions associant v ou f à chacune de ces situations Ces fonctions sont appelées fonctions de vérité, elles sont représentées par des tables: tables de vérité. Comme nous n’avons pas de moyens de distinguer deux propositions hormis par les valeurs de vérité qu’elles prennent dans les mêmes situations, nous sommes amenés à identifier une proposition avec sa fonction de vérité: c’est ce qu’on appelle le principe d’extensionnalité.

suite De ce qui précède, on déduit qu’on peut facilement procéder au recensement de toutes les propositions composées à partir de deux propositions, Effectuer ce recensement… Idem pour les propositions obtenues à partir d’une seule proposition

suite Une autre manière de « découvrir » des connecteurs consiste à combiner entre eux ceux que nous connaissons déjà… Ainsi, il est bien connu que… dire « qu’il n’y a pas de fumée sans feu » revient à dire que « s’il y a de la fumée (quelque part) alors il y a du feu (pas loin!) » D’où l’idée de définir un connecteur correspondant à « si… alors… », noté , par: p  q =def (pq)

implication Il est facile d’en déduire la table de vérité de ce connecteur: p q pq v f

suite Bien noter que p  q n’est faux que si p est vrai et que q est faux En particulier, p  q est vrai lorsque p est faux, p  q est vrai également lorsque q est vrai, Vérifier qu’on aurait pu tout aussi bien définir p  q par : pq

Remarque Dans l’expression p  q, on dit souvent que p est la condition suffisante de q, ou que q est la condition nécessaire de p, En français, la condition suffisante s’exprime généralement par un « si », exemple: « si la température dépasse 37°2 (p) alors le patient est malade (q)», La condition nécessaire s’exprime généralement par « seulement si» ou « que si », exemple: « le patient n’est malade (q) que si sa température dépasse 37°2 (p)» Dans le premier cas, la proposition p : « la température dépasse 37°2 » est condition suffisante (de la maladie, c’est-à-dire q), dans le deuxième cas, elle est condition nécessaire, donc dans le premier cas, on a p q, et dans le second, on a q p, Bien sûr, le connecteur  n’est pas symétrique (p q  q p), c’est tout l’intérêt de sa table de vérité!

Autres connecteurs Fabriquer les tables de vérité des connecteurs obtenus des manières suivantes: PQ =def (PQ)(Q P) PWQ =def (PQ) (PQ) P|Q =def P Q Leur donner des interprétations intuitives

Le langage propositionnel Nous avons désormais un stock de symboles utilisés: Les variables propositionnelles, Les connecteurs :, , , , , W Des signes de ponctuation (les parenthèses) Nous pouvons les utiliser pour définir un langage: le langage de la logique propositionnelle LP Définition: Toute variable propositionnelle est une expression de ce langage, Si P est une expression de ce langage, alors P l’est aussi Si P et Q sont deux expressions de ce langage, alors (P Q), (PQ),(P Q), (PQ), (PWQ) le sont aussi, Rien d’autre n’est une expression de ce langage hormis par les trois clauses précédentes.

Remarque Cette définition est sensiblement différente de celle de la diapo n°5 Dans cette dernière, on définissait les propositions, comme entités définissables au moyen d’opérateurs définis en termes de valeurs de vérité, Ici, on définit seulement des expressions linguistiques, indépendamment de leur signification (c’est-à-dire de leur table de vérité), ce qui suppose qu’ensuite, on ait une procédure pour leur donner une signification.

Théorème fondamental Soit P={p1, p2, …, pn} un ensemble de variables propositionnelles et soit L(P) l’ensemble des expressions linguistiques qui ne contiennent que les variables incluses dans P, Pour toute assignation  de valeurs de vérité à p1, p2, …, pn il existe une et une seule fonction val de L(P) dans {0, 1} qui coïncide avec  sur P et qui soit telle que, pour toutes expressions a et b dans L(P) val(ab) = 1 si et seulement si val(a) = val(b) = 1 val (ab) = 0 si et seulement si val(a) = val(b) = 0 val (ab) = 0 si et seulement si val(a) = 1 et val(b) = 0 val (ab) = 1 si et seulement si val(a) = val(b) val (a) = 1 si et seulement si val(a) = 0

Remarque Ce théorème ne fait que dire ce que nous savons déjà intuitivement, à savoir qu’à toute expression linguistique représentant une proposition, on peut associer une (et une seule) table de vérité, Néanmoins, au lieu d’être une simple intuition, c’est un théorème… autrement dit, il se démontre. Pour ce faire, nous avons besoin d’outils qu’on verra plus loin dans la suite du cours (récurrence sur la structure de l’expression).

Cas particuliers, tautologies et contradictions Parmi les expressions de L(P), il en est qui, pour toute assignation de valeurs de vérité aux variables, donnent toujours comme valeur: 1 (ou v). On les appelle: des tautologies Il en est d’autres qui donnent toujours comme valeur: 0 (ou f). On les appelle: des contradictions

Exemples Voici quelques tautologies (les vérifier!)

suite Voici quelques contradictions

constantes Parmi les connecteurs n-aires… il y a aussi le cas où n = 0, donc le cas des connecteurs 0-aires. Une proposition formée au moyen d’un connecteur 0-aire est une proposition qui ne contient aucune variable propositionnelle, donc… ou bien elle est toujours vraie, ou bien elle est toujours fausse . Notons V la première et F la deuxième. Ce sont bien sûr les traductions des constantes booléennes 1 et 0.

Equivalences tautologiques Une expression P est dite tautologiquement équivalente à une expression Q si et seulement si elles ont exactement la même table de vérité, P  Q Attention: le signe «  » n’appartient pas au langage objet, ce n’est pas un connecteur, c’est un méta-symbole car il permet de poser un jugement concernant deux expressions du langage objet (et non de construire une expression du langage objet).

Exemples Vérifier que les expressions suivantes sont tautologiquement équivalentes entre elles:

Remarque Si on s’en tient au principe d’extensionalité, on doit distinguer une proposition (associée à une fonction de vérité) d’une de ses possibles expressions linguistiques, deux expressions distinctes tautologiquement équivalentes sont deux expressions linguistiques différentes de la même proposition.

Remarque Si P est une tautologie, on peut écrire: P  V De même, si P est une contradiction, on peut écrire: P  F Noter que:

un peu de terminologie Comment s’expriment en logique propositionnelle: Les lois de De Morgan? Les lois d’absorption? Les lois de distributivité? Les lois d’associativité et de commutativité? La loi de double négation? Noter que: