Logique et raisonnement scientifique cours transversal Collège Doctoral Pr. Alain Lecomte

3. Logique et mathématiques De Frege à Gödel-2

Les ordinaux un ensemble est un ordinal sil a les deux propriétés suivantes : La relation est sur une relation dordre total strict qui est un bon ordre ; Si alors, { }, {, { }}, {, { }, {, { }}}, {, { }, {, { }}, {, { }, {, { }}}} etc.

Loi dengendrement

Loi dengendrement { }

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ordinaux si est un ordinal, alors { } est un ordinal. On note alors ce nouvel ordinal : +, cest le successeur de. Un ordinal est dit fini si lui-même et chacun de ses éléments est successeur dun ordinal. Dans le cas contraire, on parle dordinal limite

Ordinaux limites lensemble de tous les ordinaux finis est un ordinal on ne peut pas trouver dordinal dont il soit le successeur ! autrement dit cest un ordinal limite. notons- le : cest le plus petit ordinal infini

ordinaux Mais + 1 = { } est aussi un ordinal limite, + 1, + 2, + 3, …. + = 2, puis 3, 4 … = 2, puis 3, …,

Les ordinaux et les cardinaux = ( est le plus petit ordinal équipotent à N) On pose: ( est un ordinal, le successeur dun cardinal k est le plus petit cardinal qui lui est supérieur) Card(R) = Card (N) = Question: est-ce que = ?

Le paradoxe de Burali-Forti lensemble de tous les ordinaux est muni dun bon ordre, donc est un ordinal, cet ordinal est ainsi à la fois un élément de lensemble des ordinaux et strictement plus grand que tous les ordinaux contenus dans cet ensemble

Le paradoxe de Russell La fonction (le concept) pourrait très bien sappliquer à elle-même comme objet, on peut envisager un concept nouveau qui serait le concept « ne pas sappliquer à soi- même » lextension de ce nouveau concept serait ^ = { ; ( )} = { ; ( )} NB : Russell : 1872 – 1970

Le paradoxe Est-ce que ce concept sapplique à lui- même?

oui? Alors ( ), donc ^, donc : ( ), Donc NON!

non? Alors ( ), donc ^, donc : ( ), Donc OUI!

Comment sen sortir? ? ….faut-il sen sortir?

Lautoréférence En biologie : Maturana (1970), Varéla (années ) Un système autopoiétique est organisé comme un réseau de processus de production de composants qui: a) Régénèrent continuellement par leurs transformations et leurs interactions le réseau qui les a produits, et qui b) Constituent le système en tant quunité concrète dans lespace où il existe, en spécifiant le domaine topologique où il se réalise comme réseau (Maturana, Varéla, 1980)

Exemple de la cellule « la cellule vivante émerge de son environnement moléculaire en spécifiant une membrane qui la distingue de son milieu, mais pour ce faire, elle doit produire des molécules dont la fabrication nécessite lexistence dune membrane ou dune frontière »

Exemple de la cellule les membranes définissent la frontière qui produit les molécules constitutives de la… notion de « clôture opérationnelle »: Les processus dépendent récursivement les uns des autres pour leur propre génération et définissent ainsi lindividualité du système au sein duquel ils se déroulent. (J. P. Rennard, « Vie Artificielle », p.14)

auto référence

La théorie des types de Russell « Il est admis que les paradoxes à éviter résultent tous dun certain genre de cercle vicieux. Les cercles vicieux en question proviennent de ce que lon suppose quune collection dobjets peut contenir des membres qui ne peuvent justement être définis quau moyen de la collection, prise dans sa totalité ».

La théorie des types de Russell « Plus généralement, donnons-nous un groupe dobjets tels que ce groupe, étant capable par hypothèse dêtre totalisé, doive dautre part contenir des membres qui présupposent cette totalité, alors, ce groupe ne peut pas être totalisé. En disant quun groupe ne peut être totalisé, nous voulons dire surtout quaucune affirmation ayant un sens ne peut être faite concernant « tous ses membres ». […] Dans de tels cas, il est nécessaire de décomposer notre groupe en groupes plus petits dont chacun soit capable dêtre totalisé. Cest ce que la théorie des types sefforce deffectuer ».

Hiérarchie des types Des lettres pour des individus : a, b, c, x, y, z, w Des fonctions qui sappliquent à ces objets et à eux seulement : fonctions du premier ordre x. (x) : fonction du premier ordre (si x un individu) dépend de qui nest pas un individu! donc. x. (x) nest pas une fonction de premier ordre fonction de second ordre … et ainsi de suite

Linfluence de la théorie des types au XXème siècle Une théorie « des catégories » Notion « derreur de catégorie » Philosophie analytique – G. Ryle : The Concept of Mind, 1949 L. Wittgenstein : vers une grammaire de la pensée

Retour à Wittgenstein… pourquoi un chien ne peut-il simuler la douleur ? est-il trop honnête ? pourquoi ma main droite ne peut-elle donner de largent à ma main gauche ? est-elle trop avare ? (Recherches philosophiques, §268) puis-je avoir le mal de dent dautrui ? puis-je avoir mal à la dent dautrui ? (Puis-je avoir mal à ma dent en or ?) puis-je observer ce qui se passe dans lesprit dautrui ? puis-je observer ce qui se passe dans lestomac dautrui ? pourquoi une machine ne peut-elle calculer de tête ? Est-ce parce quelle na pas de tête ?

Retour à Wittgenstein… J. Bouveresse (« la parole malheureuse »): « lhumour inconscient de la première question réside à chaque fois dans le fait, brutalement mis en évidence dans la seconde, quelle a revêtu lapparence trompeuse dune question factuelle ordinaire. Il en est ainsi, pour Wittgenstein, dun grand nombre de questions métaphysiques : elles donnent limpression davoir un sens et une importance parce quelles sont formulées comme des questions dexpérience ; de sorte que nous nous imaginons que nous aurions appris quelque chose de nouveau si nous savions y répondre, alors quelles peuvent seulement dans le meilleur des cas nous faire prendre conscience de lexistence dune règle grammaticale implicite ».

Le « tournant linguistique » – […] La plupart des propositions et questions de la philosophie reposent sur ceci que nous ne comprenons pas la logique de notre langage. (Ce sont des questions du type : est-ce que le Bien est plus ou moins identique que le Beau ?). Rien détonnant à ce que les plus profonds problèmes ne soient pas à proprement parler des problèmes.