3. Logique et mathématiques Les paradoxes

Le paradoxe de Burali-Forti l’ensemble de tous les ordinaux est muni d’un bon ordre, donc est un ordinal, cet ordinal est ainsi à la fois un élément de l’ensemble des ordinaux et strictement plus grand que tous les ordinaux contenus dans cet ensemble 

Le paradoxe de Russell La fonction (le concept)  pourrait très bien s’appliquer à elle-même comme objet, on peut envisager un concept nouveau qui serait le concept « ne pas s’appliquer à soi-même » l’extension de ce nouveau concept serait ^ = { ; ()} = { ;  ()} NB : Russell : 1872 – 1970 

Le paradoxe Est-ce que ce concept s’applique à lui-même?

oui? Alors (), donc   ^, donc :  (), Donc NON!

non? Alors (), donc   ^, donc : (), Donc OUI!

Comment s’en sortir? ? ….faut-il s’en sortir?

L’autoréférence En biologie : Maturana (1970), Varéla (années 1980-90) Un système autopoiétique est organisé comme un réseau de processus de production de composants qui: Régénèrent continuellement par leurs transformations et leurs interactions le réseau qui les a produits, et qui Constituent le système en tant qu’unité concrète dans l’espace où il existe, en spécifiant le domaine topologique où il se réalise comme réseau (Maturana, Varéla, 1980)

Exemple de la cellule « la cellule vivante émerge de son environnement moléculaire en spécifiant une membrane qui la distingue de son milieu, mais pour ce faire, elle doit produire des molécules dont la fabrication nécessite l’existence d’une membrane ou d’une frontière »

Exemple de la cellule les membranes définissent la frontière qui produit les molécules constitutives de la… notion de « clôture opérationnelle »: Les processus dépendent récursivement les uns des autres pour leur propre génération et définissent ainsi l’individualité du système au sein duquel ils se déroulent. (J. P. Rennard, « Vie Artificielle », p.14)

auto référence

La théorie des types de Russell « Il est admis que les paradoxes à éviter résultent tous d’un certain genre de cercle vicieux. Les cercles vicieux en question proviennent de ce que l’on suppose qu’une collection d’objets peut contenir des membres qui ne peuvent justement être définis qu’au moyen de la collection, prise dans sa totalité ».

La théorie des types de Russell « Plus généralement, donnons-nous un groupe d’objets tels que ce groupe, étant capable par hypothèse d’être totalisé, doive d’autre part contenir des membres qui présupposent cette totalité, alors, ce groupe ne peut pas être totalisé. En disant qu’un groupe ne peut être totalisé, nous voulons dire surtout qu’aucune affirmation ayant un sens ne peut être faite concernant « tous ses membres ». […] Dans de tels cas, il est nécessaire de décomposer notre groupe en groupes plus petits dont chacun soit capable d’être totalisé. C’est ce que la théorie des types s’efforce d’effectuer ».

Exemple des fonctions x est une forme ambiguë ^x n’est pas ambiguë : c’est la fonction en elle-même cf. notation -calcul : x. (x) quid de (x. (x))? Soit f telle que: f(x. (x)) = 1 ssi (x. (x)) = 0 quid de f(x. f(x)) ? On ne peut pas appliquer une fonction à une valeur qui suppose la fonction connue On ne peut pas appliquer une fonction à elle-même

Autre exemple bien connu quid de .  ?

Autre exemple bien connu quid de .  ? Réponse : c’est la fonction « Identité » Ex : [. ](x)  x

Autre exemple bien connu quid de . () ?

Autre exemple bien connu quid de . () ? Réponse : c’est la fonction « application à soi-même » (la fonction « réflexive ») Ex : [. ()](x)  x(x) Que se passe-t-il si on l’applique à elle-même?

Autre exemple bien connu Réponse: [. ()]([. ()]) 

Autre exemple bien connu Réponse: [. ()]([. ()]) 

Autre exemple bien connu Réponse: [. ()]([. ()]) 

Autre exemple bien connu Réponse: [. ()]([. ()])  … [. ()]([. ()])  etc. Un « processus divergent »

Quantifier sur les propositions Toute proposition est vraie ou fausse (p) p  p Mais cette proposition elle-même peut-elle être une valeur possible de p? Non (pour la raison que donne Russell)

Hiérarchie des types Des lettres pour des individus : a, b, c, x, y, z, w Des fonctions qui s’appliquent à ces objets et à eux seulement : fonctions du premier ordre x. (x) : fonction du premier ordre (si x un individu) dépend de  qui n’est pas un individu! donc . x. (x) n’est pas une fonction de premier ordre fonction de second ordre … et ainsi de suite

Une difficulté: le principe d’identité, ou « principe des indiscernables » (Leibniz) si toutes les propriétés possédées par x sont également possédées par y et réciproquement, alors x et y sont identiques  À remplacer par: les prédicats du premier ordre possédées par x sont également possédées par y et réciproquement Est-ce suffisant?

Napoléon et les grands généraux Napoléon avait toutes les propriétés d’un grand général « avoir toutes les propriétés d’un grand général » est une propriété de Napoléon, mais ce n’est pas une propriété du premier ordre!  x (x est général  (x))  (N

L’influence de la théorie des types au XXème siècle Une théorie « des catégories » Notion « d’erreur de catégorie » Philosophie analytique G. Ryle : The Concept of Mind, 1949 L. Wittgenstein : vers une grammaire de la pensée

Retour à Wittgenstein… pourquoi un chien ne peut-il simuler la douleur ? est-il trop honnête ? pourquoi ma main droite ne peut-elle donner de l’argent à ma main gauche ? est-elle trop avare ? (Recherches philosophiques, §268) puis-je avoir le mal de dent d’autrui ? puis-je avoir mal à la dent d’autrui ? (Puis-je avoir mal à ma dent en or ?) puis-je observer ce qui se passe dans l’esprit d’autrui ? puis-je observer ce qui se passe dans l’estomac d’autrui ? pourquoi une machine ne peut-elle calculer de tête ? Est-ce parce qu’elle n’a pas de tête ?

Le programme de Hilbert les problèmes viennent de l’infini

Le programme de Hilbert « Certes Weierstrass a éliminé de l’Analyse l’infiniment petit et l’infiniment grand puisque les propositions portant sur ces objets ont été réduites par lui à l’énoncé de rapports entre des grandeurs finies. Mais l’infini continue d’être présent : il prend la forme de suites infinies de nombres qui définissent les nombres réels, ou bien il est sous-jacent à la notion de système des nombres réels conçue comme une totalité achevée et fermée.

Le programme de Hilbert Or dans la reconstruction même de l’analyse de Weierstrass, on se donne le droit d’utiliser à fond et d’itérer à volonté les formes d’inférence logique dans lesquelles s’exprime cette conception des totalités : c’est le cas, par exemple, lorsqu’on parle de tous les nombres réels qui ont une certaine propriété, ou bien encore lorsqu’on dit qu’il existe des nombres réels ayant une certaine propriété.

Le programme de Hilbert Dans les processus de passage à la limité du calcul infinitésimal, l’infini au sens de l’infiniment grand ou de l’infiniment petit s’est révélé constituer une simple manière de parler : de même nous devrons reconnaître dans l’infini au sens de totalité infinie, partout où il joue encore un rôle dans les inférences, quelque chose de purement fictif. De même que les opérations portant sur l’infiniment petit ont été remplacées par des processus qui accomplissent la même fin et conduisent à des rapports formels aussi élégants tout en se situant à l’intérieur de la sphère du fini, les inférences qui utilisent l’infini sont à remplacer par des processus finis qui accompliront exactement la même fin c’est-à-dire permettront les mêmes démarches dans les démonstrations et les mêmes méthodes d’obtention des formules et des théorèmes.

Le programme de Hilbert Tel est l’objet de ma théorie. Elle a pour dessein d’assurer la sécurité définitive de la méthode mathématique, sécurité à laquelle n’a pas atteint la période de la critique du calcul infinitésimal. » (« Über das Unendliche », 1925, Math. Annal. 95, 1926, trad. J. Largeault, 1972)

Le programme de Hilbert la condition préalable de l’application des inférences logiques et de l’effectuation d’opérations logiques est l’existence d’un donné dans la perception : à savoir l’existence de certains objets concrets extra-logiques qui en tant que sensations immédiates précèdent toute pensée. Pour les mathématiques, selon Hilbert, ces objets sont les signes concrets, ceux dont nous savons « distinguer et reconnaître la forme  les objets mathématiques, en particulier les nombres, sont des signes vides de sens, et les formules sont également des suites de signes vides de sens

Le programme de Hilbert Des propositions « concrètes » (finitistes) : avec des objets « réels »: |, ||, |||, ||||, …. d’autres symboles « pour la communication » : 1, 2, 3, …, a, b, c, … et des « propositions idéales »… comme les nombres imaginaires vis-à-vis des nombres réels!

Le programme de Hilbert Encore faut-il savoir maîtriser des « objets idéaux »

Le programme de Hilbert Règle : le modus ponens    + axiomes

Le programme de Hilbert Axiomes de l’implication  : adjonction d’une prémisse   : élimination d’une proposition Axiomes de la négation : principe de contradiction   : principe de la double négation

Le programme de Hilbert Axiomes « transfinis »  : inférence du général au particulier (axiome d’Aristote)  : si un prédicat n’est pas vrai de tous, alors il a un contre-exemple  : s’il n’existe pas d’exemple pour une proposition, alors cette proposition est fausse pour tous les a

Le programme de Hilbert Axiomes de l’égalité

Le programme de Hilbert Axiomes du nombre Axiome de l’induction mathématique :

Le programme de Hilbert Une démonstration formelle constitue un objet concret et visualisable, exactement comme un chiffre. C’est quelque chose de communicable du début à la fin Rôle des démonstrations de non-contradiction Hypothèse de la récursivité des mathématiques

objections Une objection majeure et définitive : Gödel