Equation d’état d’un modèle de transport-diffusion. Applications Gilles Roussel, Eric Ternisien LASL (EA2600) / ULCO Calais

Plan I Contexte II Sans Modèle / Avec Modèle ? III Modélisation IV Discrétisation, codage d’état V Propriétés VI Applications VII Conclusion

I. Contexte Problématique Inverse pour la surveillance de la pollution Mesures aux capteurs de concentration  déterminer : Le flux à la (aux) source(s) (déconvolution, séparation) La position de la source (localisation) les paramètres du modèle (identification) Domaines applicatifs Surveillance de la pollution atmosphérique Développer une aide au diagnostic des pics d’émission canalisée d'origine industrielle en identifiant la cause (flux, position) Surveillance de la pollution fluviale ou phréatique Localiser les sources de pollution liée à des rejets ou fuites Localisation des essais nucléaires (Traité du CTBTO) Détection des explosions  1Ktonne eqTNT à partir des données de concentration en xénon

II. Sans modèle / avec modèle ? Méthodes sans modèle “source - capteurs” : Interpolation spatiale à partir des concentrations observées nb capteurs ? sensibilité aux paramètres ? portabilité du comportement à d’autres sites ?. Prédiction temporelles à partir des séries déconvolution ? localisation ? sensibilité au paramètres ? Conclusion : combinaison espace - temps difficile Méthodes avec modèle “source - capteurs” : Modèle de “comportement” choix ? prise en compte des paramètres physiques ? portabilité ? localisation? Modèle de “connaissances”

II. Avec modèle /sans modèle ? Modèle de “connaissances” : phénomènes physiques caractéristiques précision évolutive prend en compte les variables pertinentes modélisation espace-temps explicite Souhaits pour le modèle directe simplicité, fidélité : choix ? faire apparaitre explicitement la (les) source(s) et les variables observables garder la dimension spatiale et temporelle (mesures spatialement réparties, cas multisources) possibilité de se placer dans un cadre discret (mesures échantillonnées)

III. Modélisation advection diffusion : vent Pourquoi le modèle de transport-diffusion ? Modèle (historique) de dispersion de la pollution dans l’air bonne approximation de la propagation horizontale hypothèses sur la dispersion turbulentes verticales Modèle directe dynamique solution en statique classique : “équation panache” Le modèle de transport-diffusion (2D) il satisfait en tout point la conservation de la masse : advection diffusion  (x,y,t) : concentration au point (x,y) à l ’instant t : vent : diffusion

III. Modélisation Hypothèses Domaine atmosphérique non borné Réduction à un domaine de calcul (de surveillance)  borné de contour artificiel  conditions aux limites Atmosphère Ex. conditions de Neuman : continuité aux limites artificielles   Source ’ Vent Ex. conditions de Dirichlet Vue de dessus Vent  Terre

III. Modélisation Conditions aux limites (locales) Limites artificielles non réfléchissantes continuité (Pearson) x,  y célérité équivalente Limites physiques réfléchissantes exemples =0 sur ’ à une source : au point (xs,ys) Conditions initiales : pollution de fond Modèle elliptique linéaire Sur 

IV. Discrétisation On discrétise les signaux S(xs,ys,t) et  (x,y,t) avec le même pas d'échantillonnage temporel T On discrétise l'espace avec les pas d'échantillonnage directionnels h et k Les méthodes de discrétisation: différences finies, élements finis

IV. Discrétisation Dérivation par les différences finies en un point i: dérivée première temporelle : dérivée première spatiale centrée espace, schéma de Lax : effet de lissage décentré en espace (“upwind”): calcul effectué que pour les points "au vent” tenir compte du sens du vent Cette méthode ajoute un terme de viscosité négligeable si le nombre de Reynolds de maille Rh:    O X i-1n in i+1n

IV. Discrétisation Dérivée spatiale seconde explicite : in+1=f1( in,  vn),  v potentiel au voisinage de i Markovien, implicite :  in+1 =f2( in ,  in+1,  vn+1) schéma stabilisant, résolution numérique supplémentaire à chaque n non Markovien Crank-Nicolson :  in+1 =f1(.) + (1-  )f2(.) idem implicite

IV. Discrétisation Equation d'advection - diffusion (cas 2D, K=cste) conditions limites aux frontières artificielles (condition de continuité) aux sources obstacle (sans turbulence) Paramètres (pour Ux, Uy positifs) Précision e=O(T)+O(h2)+O(k2)+ O(h)+O(k)

IV. Discrétisation Schéma numérique capteurs J=L c1 c2 c3 * i,j i=1 Contour artificiel non réfléchissant  Obstacle ’ source i,j * i,j+1 i,j-1 i-1,j i+1,j J=L i=l capteurs c1 c2 c3 i=1 Schéma numérique en  en 

IV. Discrétisation Modèle d’état Les bruits Wn : bruit d’état vecteur d’état Equation d’état Les bruits Wn : bruit d’état modélise l’incertitude sur l’état (turbulence non prise en compte par le modèle, topographie) moyenne parfois non nulle, trace(E(Wn.WnT)) faible indépendant de Sn et Vn Vn : bruit de mesure moyenne souvent nulle trace(E(Vn.VnT)) faible A caractérise l’évolution libre du système de dispersion B modélise l’implantation des sources dim(B)= lL*ns C modélise l ’implantation des capteurs dim(C)= nc*lL

IV. Discrétisation Stabilité du schéma numérique condition nécessaire de convergence de la solution i,jn. peut s’étudier à partir des valeurs propres de la matrice A rayon spectral (A)=max|k| 1kLl+1 on peut montrer (Gershgörin-Hadamard) comme (A matrice de Markov) alors finalement, on peut montrer d'où la condition sur la période d’échantillonnage T pour un pas spatial (h,k) donné

Simulations sans advection avec advection

V. Propriétés Observabilité Observabilité stricte, c’est la possibilité de résoudre : O doit être de rang = l.L = dimension de  un nombre de mesures égale à : cas monocapteur : dim(Y)  l.L cas nc capteurs : dim(Y)  (l.L/nc) si (rang(O)=r )< l.L seulement (l.L-r) noeuds ne peuvent être estimés. Observabilité théorique: Le rang est meilleur dans le cas multicapteurs numériquement : le rang renseigne sur la qualité de restauration de 

Conclusion : Evolution de rang(O) pour 1 capteur, seuil de rang :1e-25 Evolution de rang(O) pour 2 capteurs, dont1 fixe en (8,8), seuil de rang :1e-25 Conclusion : plus le capteur est éloigné de la source dans la direction du vent, meilleur est l'observabilité plus il y a de capteurs, meilleur est l'observabilité

V. Propriétés Commandabilité (Excitabilité des nœuds) Existe t-il une commande vérifiant : La réponse est oui si rang(C) = l.L, sinon il y a (rang(C)-l.L) nœuds non excités. On peut montrer: De façon logique, le rang(C) augmente avec le nombre de source. Un état X(kf) peut être atteint en n coups (n<l.L), si X(kf) appartient au sous espace engendré par les colonnes de C La représentation des colonnes de C sur le maillage, constitue une base de motifs

Evolution de rang(C) en fonction de la position de S, à seuil fixé V. Propriétés Commandabilité (suite) En pratique, le rang(C) dépend du seuil de sélection des valeurs propres considérées non nulles. Pour un seuil d'excitabilité donné, le rang indique le nombre de nœuds excitables. Evolution de rang(C) en fonction de la position de S, à seuil fixé Conclusion : Pour une direction de vent donnée, plus la source est au vent, plus il y a d'état excités.

V. Propriétés Identifiabilité Ouf !!! C.N. : Commandabilité et Observabilité on augmente la probabilité d'identifier le modèle si : le capteur est placé sous le vent, le plus loin de la source le nombre de capteurs augmente Ouf !!!

VI Applications Principe Majeur : Considérer la relation source-capteur comme un filtre de convolution H1 (z) H2 (z) Source S(n)  v1(n) v2(n) Y1(n) Y2(n) Position  Bruit capteur mesures Hi(z)=C(zI-A)-1B = f [position(S), position(capteursi), K, U]  i

VI Applications Différentes formes du modèle : forme d'état A(1), B ( 2), C réponses impulsionnelles matrice de Hankel matrice de filtrage Différents problèmes inverses : Estimation des paramètres physiques 1 Localisation de source(s) : estimation de 2 (i.e. B) Déconvolution / séparation de sources : estimation de Sn Prédiction temporelle Informations : Mesures capteurs, estimation de bruit, entrées Mesures capteurs, estimation de bruit, info a priori 1 = paramètres physiques 2 = paramètre de localisation M = ordre RIF

VI Applications Exemple : Estimation des réponses impulsionnelles par méthode spectrale paramétrique (séparation des sous-espaces source et bruit)

VII Conclusion Modélisation d'un phénomène de transport-diffusion par une représentation d'état. réutilisabilité de la méthodologie ? Point de départ pour bon nombre de problèmes d'estimation Aspects applicatifs : surveillance de points sources