Christine Garcia, Jean-Marc Fedou I3S (Nice, Sophia-Antipolis) ECO Systèmes Christine Garcia, Jean-Marc Fedou I3S (Nice, Sophia-Antipolis)

PLAN Permutations à motif exclu ECO systèmes et règles de succession Systèmes algébriques Règles de succession signées

Permutation Let be the set of permutations on For example

Arbre de génération 1234 1243 1423 4123 1324 1342 1432 4132 3124 3142 3412 4312 2134 2143 2413 4213 2314 2341 2431 4231 123 12 132 312 1 213 21 231 312

Pattern For a permutation  of k positive integers, the pattern of  is defined as a permutation on Sk obtained from  by substituting the minimum element by 1, the second minimum element by 2, ..., and the maximum element by k .

Restricted Permutation For a permutation and a permutation , we say that is -avoiding if and only if there is no subsequence whose pattern is . We write for the set of -avoiding permutations of .

For example 512673849 avoids 321 pattern. But 512673849 contains 3412 pattern, since 512673849; 512673849; 512673849.

For example

Stack Sorting Problem (Knuth, 1960’s) 312-avoiding 8 7 6 5 4 3 2 1

Arbre de génération 1234 1243 1423 4123 1324 1342 1432 4132 3124 3142 3412 4312 2134 2143 2413 4213 2314 2341 2431 4231 3214 3241 3421 4321 123 12 132 312 1 213 21 231 321

1 132 21 213 231 12 312 123 2341 1234 1342 3142 1324 1243 2143 2314 2413 2134 3412 3124 1423 4123

Question (Herbert Wilf, 1990’s) How many permutations of length do avoid a given subsequence of length k ?

For k=3 In 1972, Hammersley gave the first explicit enumeration for In 1973, Knuth first proved that is enumerated by Catalan numbers.

For k=4 J. West (1990), Z. Stankova (1990’s) classified the permutations with forbidden patterns of length 4, i.e. 1234, 1243, 2143, 1432 1342, 2413 1324

For k=4 1234, 1243, 2143, 1432 In 1990, Ira M. Gessel gave the generating function by using symmetric functions. 1342, 2413 In 1997, M. Bόna gave the exactly formula. 1324 D. Marinov & R. Radoicic (2003) gave the first few numbers.

Open Problems

Conjecture ( Stanley and Wilf, 1990’s) For each pattern , there is an absolute constant so that holds.

2 (3n)! /(n+1)!/(2n+1)! Cartes planaires pointées non séparables Tutte (1963) Permutations triables par deux piles et Sn(2341,35241) Zeilberger West Dulucq, Gire, Guibert, West

Cartes planaires pointées non séparables

PLAN Permutations à motif exclu ECO systèmes et règles de succession Systèmes algébriques Règles de succession signées

ECO Systèmes Enumerating Combinatorial Object E. Barcucci, A. Del Lungo, E. Pergola, R. Pinzani (1997) Construction récursive Séries génératrices Bijections Génération aléatoire uniforme

Méthode ECO Pinzani, Barcucci (1997) On={objets de taille n} Opérateurs T : On On+1 Pour chaque Q de On+1, il existe un P de On tel que Q est dans T(P). Si P1 et P2 sont deux objets distincts de On , alors T(P1) T(P2) = Ø U

Arbres binaires complets Définition récursive classique ECO système

2 1 7 3 5 6 4 Sites actifs 7 5 6

ECO système (2) (k) … … k Sites actifs

ECO système … k Sites actifs (k) (k+1)

Arbres binaires complets … … k Sites actifs (k) (2) (3)…(k+1)

2 3 4 5 (2) (k)  (2)(3)…(k)(k+1)

Règle de succession Axiome : un entier a Règle : une fonction successeur de N dans P(N) On s’intéresse à l’ensemble des mots de N* qui commencent par l’axiome où chaque lettre appartient au successeur de la précédente

ECO systèmes et Bijections

1 132 21 213 231 12 312 123 2341 1234 1342 3142 1324 1243 2143 2314 2413 2134 3412 3124 1423 4123

1 132 21 213 231 12 312 123 2341 1234 1342 3142 1324 1243 2143 2314 2413 2134 3412 3124 1423 4123

Règles de succession et Séries génératrices

Séries génératrices Si an désigne le nombre d’objets de « taille » n, la série génératrice des objets selon le paramètre « taille » est la fonction f(x) = n≥0 an xn Pour deux paramètres f(x,s) = n≥0, k≥0 an,k sk xn

ECO et séries génératrices An,k nombre d’arbres à n sommets internes k sites actifs å = k n s x A F , ) ( x ns k x n+1 s 2+ x n+1 s 3+…+ x n+1 s k+1 x n+1 s 2 1-s (1-s k) F ( x , s ) = xs + 2 1 -

x1s2 x2(s2 +s3) x3(2s2 +2s3 +s4)

Catalan x1 2x2 5x3 14x3

? Problème (R.Pinzani) Quels sont les systèmes ECO qui donnent : Séries génératrices Rationnelles Séries génératrices Algébriques Séries génératrices Transcendantes On Generating Functions of Generating Trees C.Banderier, M.Bousquet-Mélou, A. Denise, P. Flajolet, D.Gardy, D.Gouyou-Beauchamps (1999) ?

Séries génératrices Rationnelles Les séries génératrices pour les règles ECO finies sont rationnelles Exemple : (1)(2), (2)(1)(2) Fibonacci

Séries génératrices Algébriques Transformations finies de (k)  (2)(3)…(k)(k+1) (2), (k)(2)(3)…(k)(k+1) Catalan (1), (k)(1)(2)…(k-1)(k+1) Motzkin (3), (k)(3)(4)…(k)(k+1)2 Schröder (3), (k)(3)(4)…(k)(k+1)(k+2) Arbres ternaires

Séries génératrices exponentielles (2), (k)(k-1) k-1 (k+1) Involutions (2), (k)(k)(k+1) k-1 Arrangements (2), (k)(k+1)k Permutations Séries génératrices exponentielles pour les ECO systèmes signés Sylvie Corteel (2000)

Règles de succession et Génération aléatoire uniforme

ECO et Génération aléatoire 1 2 2 3 4 5 (k) (2) (3)…(k+1) (2) , 1 2 2 5 1 3 1 3 1 3 3 5 5 14 1 2 1 2 2 9 1 3 9 3 9 1 3 14 1 3 4 9 1 4 1 4 1 4 1 4

Problèmes ouverts Equivalence de règles de succession Forme normale