PROBABILITÉS en 3ème  

Pourquoi l’aléatoire au collège ? Le programme de troisième et un bref historique de l’enseignement des probabilités depuis 1970 L’approche fréquentiste des probabilités et quelques notions de probabilités Un aperçu des programmes de lycée Introduction : il y sera question du hasard Pourquoi l’aléatoire au collège ? En France, il est introduit en 3e à la rentrée prochaine, mais dans beaucoup de pays européens, un enseignement de l’aléatoire a été mis en place au niveau du collège, voire avant, depuis plus de 10 ans. Textes officiels : il s’agit des nouveaux programmes de 3e et des programmes actuels de lycée, plus particulièrement de Seconde concernant les probabilités. Expériences aléatoires : qu’est-ce qu’on entend par expérience aléatoire ? Pourquoi et comment en fait-on ? Notions élémentaires de probabilités : on y parlera de probabilité obtenue par des considérations de symétrie ou de comparaison et aussi de probabilité approchée par l’expérience, approche « fréquentiste ». Un exemple d’expérience : c’est une expérience que nous avons menée dans nos classes et qui concerne la somme de deux dés. Conclusion.

1. Pourquoi l’aléatoire au collège ?

Initier une réflexion sur la modélisation et la simulation. « Pour permettre au citoyen d’aborder l’incertitude et le hasard dans une perspective rationnelle » Objectifs : Familiariser plus tôt les élèves avec cette branche des mathématiques, très utilisée dans de nombreux secteurs professionnels. Initier une réflexion sur la modélisation et la simulation. L’objectif principal des probabilités est l’étude des phénomènes aléatoires. On peut trouver une réponse à la question « Pourquoi l’aléatoire au collège ? » dans le programme, plus précisément dans le paragraphe placé en tête de la partie « Organisation et gestion de données, fonctions » : pour permettre au citoyen .... « L’incertitude et le hasard », les élèves les côtoient tous les jours, mais pas forcément dans une perspective rationnelle (croyances, bonne étoile, chiffre porte bonheur, jour de chance, ... ). L’idée que l’incertain peut être, dans certaines conditions, quantifié n’est pas forcément présente dans leur esprit. Dans le monde où nous vivons, les évènements certains ou impossibles sont des cas extrêmes ; en fait ils sont relativement rares. Il est important que l’élève se familiarise très tôt avec l’idée qu’un évènement peut être possible mais non certain, notion intermédiaire entre le certain et l’impossible. Privés des notions probabilistes, les élèves ont une vision déformée des mathématiques : ils pensent qu’entre le « vrai » et le « faux », il n’y a rien d’autre ! Si ces idées devaient rester trop longtemps implicites, les élèves auraient une idée étroite et déformée de l’ensemble des mathématiques, de leur puissance et de leurs possibilités. (Extrait de « Les probabilités à l’école »). Les probabilités constituent une branche qui diffère fondamentalement des autres. D’ailleurs certains élèves qui ne réussissent pas particulièrement en maths prennent goût à cette partie du programme qui est nouvelle pour eux. Aborder les probabilités dès le collège permet quasiment à tous les élèves d’avoir quelques notions sur le sujet, alors que, jusqu’à présent, seuls les élèves de lycée et pas de toutes les sections, y avaient accès. Associé à la statistique, le calcul des probabilités est une clé primordiale pour l’analyse et la compréhension de phénomènes incertains. Il est utilisé dans de nombreux domaines : les tests de médicaments, de durée de vie (piles, ampoules, ...), de qualité, dans les protocoles d’essais…. La physique de haut niveau utilise aussi les statistiques et les probabilités.

Un enjeu de société : être en cohérence avec nos voisins européens. Car c’est : Une clé essentielle pour l’analyse et la compréhension des phénomènes incertains. Un enjeu de citoyenneté : être capable d’avoir un esprit critique face à certaines affirmations des médias. Un enjeu de société : être en cohérence avec nos voisins européens. L’objectif principal des probabilités est l’étude des phénomènes aléatoires. On peut trouver une réponse à la question « Pourquoi l’aléatoire au collège ? » dans le programme, plus précisément dans le paragraphe placé en tête de la partie « Organisation et gestion de données, fonctions » : pour permettre au citoyen .... « L’incertitude et le hasard », les élèves les côtoient tous les jours, mais pas forcément dans une perspective rationnelle (croyances, bonne étoile, chiffre porte bonheur, jour de chance, ... ). L’idée que l’incertain peut être, dans certaines conditions, quantifié n’est pas forcément présente dans leur esprit. Dans le monde où nous vivons, les évènements certains ou impossibles sont des cas extrêmes ; en fait ils sont relativement rares. Il est important que l’élève se familiarise très tôt avec l’idée qu’un évènement peut être possible mais non certain, notion intermédiaire entre le certain et l’impossible. Privés des notions probabilistes, les élèves ont une vision déformée des mathématiques : ils pensent qu’entre le « vrai » et le « faux », il n’y a rien d’autre ! Si ces idées devaient rester trop longtemps implicites, les élèves auraient une idée étroite et déformée de l’ensemble des mathématiques, de leur puissance et de leurs possibilités. (Extrait de « Les probabilités à l’école »). Les probabilités constituent une branche qui diffère fondamentalement des autres. D’ailleurs certains élèves qui ne réussissent pas particulièrement en maths prennent goût à cette partie du programme qui est nouvelle pour eux. Aborder les probabilités dès le collège permet quasiment à tous les élèves d’avoir quelques notions sur le sujet, alors que, jusqu’à présent, seuls les élèves de lycée et pas de toutes les sections, y avaient accès. Associé à la statistique, le calcul des probabilités est une clé primordiale pour l’analyse et la compréhension de phénomènes incertains. Il est utilisé dans de nombreux domaines : les tests de médicaments, de durée de vie (piles, ampoules, ...), de qualité, dans les protocoles d’essais…. La physique de haut niveau utilise aussi les statistiques et les probabilités.

2. Le programme de troisième et un bref historique de l’enseignement des probabilités au lycée

Les textes officiels Le programme de 3ème a pour objectifs : de poursuivre la mise en place de paramètres (de position et de dispersion) d'une série statistique et d’envisager ainsi la notion de résumé statistique ; de mettre en pratique sur des exemples simples la notion de probabilité. Introduction des programmes de troisième, dans la partie « organisation et gestion de données, fonctions ». Les études des parties statistiques et probabilités sont étroitement liées.

Connaissances Capacités 1.4. Notion de probabilité   [ Thèmes de convergence] - Comprendre et utiliser des notions élémentaires de probabilité. - Calculer des probabilités dans des contextes familiers.

Exemples d’activités, commentaires Commentaires spécifiques pour le socle La notion de probabilité est abordée à partir de situations familières (pièces de monnaie, dés, roues de loteries, urnes). Certaines de ces situations permettent de rencontrer des cas pour lesquels les probabilités ne sont pas définies à partir de considérations intuitives de symétrie ou de comparaison mais sont approximativement évaluées par les fréquences observées expérimentalement (approche fréquentiste des probabilités). La notion de probabilité est utilisée pour traiter des situations de la vie courante pouvant être modélisées simplement à partir des situations précédentes. Les situations étudiées concernent les expériences aléatoires à une ou à deux épreuves. Dans le cadre du socle, aucune compétence n’est exigible dans le cas des expériences à deux épreuves. Les activités portent sur des situations où les probabilités peuvent être définies à partir de considérations intuitives de symétrie ou de comparaison, Et aussi sur des situations où cette démarche n’est pas possible. Après cet aperçu du programme de collège, regardons (dans les cinq prochaines diapos) ce qui se fait actuellement en lycée (sera certainement amené à évoluer suite aux changement de programme de troisième)‏

L’évolution de l’enseignement des probabilités depuis 1970 1970 -> 1990 : les probabilités sont présentées sous forme axiomatique. Le modèle étudié est fondé sur l’équiprobabilité des événements élémentaires. Cela nécessite l’étude préalable des dénombrements. En 1986 , la statistique descriptive arrive au collège. Une démarche de mathématisation du réel est initiée : observation  schématisation  modèle

En 1990, l’approche fréquentiste de la notion de probabilité apparaît dans les programmes de première. Pour introduire la notion de probabilité, on s’appuiera sur l’étude de séries statistiques obtenues par répétition d’une expérience aléatoire. Pour passer de l’observation de fréquences à la notion de probabilité, il y a nécessité de modéliser. (La probabilité d’un événement est définie par addition de probabilités d’événements élémentaires.) Le choix du modèle peut être légitimé par des raisons de symétrie. Mais des situations ne relevant pas de l’équiprobabilité peuvent aussi être étudiées et le dénombrement n’est plus forcément nécessaire.

3. Quelques notions de probabilités

Expériences aléatoires Une expérience aléatoire - est une expérience - elle peut être décrite par un protocole et peut être répétée dans les mêmes conditions - on peut déterminer à l’avance la liste des issues - on ne peut pas prévoir quelle en sera l’issue au moment où on la réalise. Qu’est-ce qu’on entend par « expérience aléatoire » ? C’est d’abord une expérience : on lance effectivement un dé, on manipule du matériel. Cette manipulation se fait dans des conditions clairement spécifiées pour qu’on puisse la répéter « à l’identique ». On écarte ainsi tout le hasard qui relève de la coïncidence fortuite ou de l’accidentel. Le mot « protocole » peut être utilisé en classe. Les profs de SVT l’utilisent déjà pour décrire les conditions de leurs expériences. On peut déterminer à l’avance la liste des issues (ou résultats). Mais, au moment où on réalise l’expérience, on ne sait pas ce qui va sortir. Ces conditions doivent être bien présentes dans notre esprit, à nous les profs, mais il faut aussi les expliciter le moment venu aux élèves, sinon ils risquent de ne pas savoir à quoi on joue. Par exemple, l’élève qui pense qu’il y a une certaine façon de lancer le dé ou la pièce pour obtenir à coup sûr un 6 ou Pile, n’est pas dans le champ de l’expérience aléatoire comme nous l’entendons et ne va pas comprendre quand on dit que Pile et Face ont la même chance de sortir. Ne pas confondre « aléatoire » et « équiprobable » : lancer un dé truqué, c’est réaliser une expérience aléatoire, on peut lui associer une loi de probabilité qui n’est pas l’équiprobabilité.

Probabilité d’une issue obtenue par des considérations de symétrie ou de comparaison La proportion de boules jaunes dans l’urne est 2/5. Lorsqu’on tire une boule au hasard dans l’urne, on a 2 chances sur 5 d’obtenir une boule jaune. La probabilité d’obtenir une boule jaune est 2/5. Trois phrases pour dire « la même chose ». On pourra parler d’autres exemples, comme la roue de loterie ou roue de Laplace. Dans le lancer d’un dé, probabilité : d’obtenir un chiffre pair : 3 chances sur 6, la probabilité est ½ d’obtenir un nombre supérieur ou égal à 3 : 4 chances sur 6, la probabilité est 2/3 L’étude de cette partie sera donc étroitement liée à la notion de proportionnalité, les élèves assimilant les « chances » de tirer une boule d’une certaine couleur au pourcentage de boules de cette couleur. Ce pourcentage représente le « rapport du nombre des issues favorables à celui des issues possibles ». Cette approche peut donner lieu à une définition et ainsi introduire un nouveau concept. Elle fait le lien entre une perception sensible, voire naïve (les chances d’obtenir une boule rouge…) et un concept théorique (une fraction plus petite que 1 égale au rapport du nombre des boules de la couleur donnée au nombre des boules dans l’urne, équiprobables dans l’urne parfaite de Bernoulli). La réalisation d’expériences permet de donner du sens et de « casser » les fausses représentations.

Probabilité obtenue par une approche fréquentiste Exemple du lancer de punaise La fréquence de chacune des issues « Tête » ou « Côté » tend à se stabiliser pour un grand nombre de lancers. On ne peut approcher la probabilité de « Tête » ou celle de « Côté » que par l’expérimentation. Stabilisation de la fréquence de « Tête » autour d’une valeur p. La probabilité de « Tête », par exemple, ne peut être approchée que par l’expérience. On pourra dire qu’elle est proche de p. Le modèle n’est pas connu. La probabilité d’un événement apparaît comme une sorte de « limite » de fréquences sur un grand nombre d’expériences.

L’approche fréquentiste des probabilités Lorsqu’on répète n fois une expérience aléatoire, la série des résultats obtenus est appelée échantillon de taille n. Les distributions des fréquences obtenues varient d’un échantillon à l’autre; c’est ce qu’on appelle la fluctuation d’échantillonnage. L’esprit statistique naît lorsqu’on prend conscience de cette fluctuation

La fluctuation d’échantillonnage Formules utilisées : ENT(ALEA()*6)+1 et =NB.SI(A8:A57;"1")

On observe que la fréquence se stabilise lorsque la taille des échantillons augmente.

La loi des grands nombres Énoncé vulgarisé . Pour une expérience donnée, dans le modèle défini par une loi de probabilité p, les distributions des fréquences calculées sur des séries de taille n se rapprochent de p quand n devient grand.

Modélisation et simulation Simuler une expérience, c'est choisir un modèle de cette expérience (c'est-à-dire lui associer une loi de probabilité), puis effectuer une autre expérience suivant la même loi (et plus facile à réaliser). Simulation Statistique Probabilité Modélisation

Exemple de simulation Pour chacun des jeux, chacun des deux résultats possibles a une chance sur 2 de se produire. Ils ont la même probabilité : 1/2 Ici,on peut obtenir la probabilité d’un résultat (d’une issue) par des raisonnements utilisant des symétries « géométriques » ou des régularités d’objets dés) et des dénombrements très simples. Il n’y a pas plus de « chance » que pile « sorte » plus que face (pour une pièce bien équilibrée….)‏ Savoir qu’il y a « égale probabilité» (dite en termes de « chances») dans un certain nombre de cas : lancer d’une pièce, lancer d’un dé, tirages de boules au loto, roulette à secteurs égaux, etc. Le mot « équiprobabilité » n’est pas forcément employé devant les élèves (le programme ne le mentionne pas, mais voir les futurs documents d’accompagnement), par contre le prof doit savoir que la loi de probabilité qui correspond à ces situations est bien l’équiprobabilité des événements élémentaires. Savoir que ce n’est pas parce qu’il y a k possibilités qu’il y a « une chance sur k » que l’événement se produise. Exemple : une urne contenant des boules de couleurs en proportions différentes. On peut simuler l’une des expériences à l’aide de l’autre, ou à l’aide d’un tableur en utilisant la formule : =SI(ALEA()<0.5,”P”,”F”).

Un exemple d’expérience à deux épreuves On dispose : d’une part, d’un dé ayant une face rouge, deux faces noires et trois faces vertes d’autre part, d’une pièce de monnaie. Les deux sont bien équilibrés. On lance le dé puis la pièce. Écrire tous les résultats possibles. Déterminer la probabilité d’obtenir Vert et Pile. Un résultat possible est donc (Rouge, Pile). Il y a six résultats possibles, mais ils n’ont pas tous la même « chance » de sortir. Comment amener les élèves à déterminer la probabilité de chaque issue ?

Présentation des résultats à l’aide d’un arbre (R;P)‏ R F (R;F)‏ P (N1;P)‏ N1 F (N1;F)‏ P (N2;P)‏ N2 F (N2;F)‏ P (V1;P)‏ V1 F (V1;F)‏ P (V2;P)‏ V2 On peut aussi présenter les résultats sous la forme d’un arbre. On dessine toutes les branches possibles, il y en a 12. On cherche celles qui donnent le résultat étudié, ici (V;P)‏ Dans cette représentation, l’implicite est que, pour les branches partant d’un même nœud, il y a la même probabilité et que ces branches recouvrent tous les cas possibles. Pour le dé, il y a équiprobabilité des faces. Pour la pièce, il y a équiprobabilité pour PILE et FACE. F (V2;F)‏ P (V3;P)‏ V3 F (V3;F)‏ La probabilité d’obtenir (V;P) est 3/12 soit 1/4

On peut également présenter les résultats sous forme d’arbre pondéré. 1/2 P Au premier niveau, chaque branche est pondérée par la probabilité de l'événement correspondant. R 1/2 F 1/6 Un chemin représente l'intersection des événements qui le composent. 1/2 P 2/6 N Le poids d'une branche secondaire est la probabilité conditionnelle de l'événement qui se trouve à son extrémité sachant que l'événement situé à son origine est réalisé. F 1/2 On affecte à chaque branche, la probabilité de passer du 1er nœud au 2e nœud. Comment obtenir la probabilité de l’issue (V;P), sans « parachuter » une règle que les élèves risquent d’appliquer sans comprendre. On peut faire le raisonnement suivant : (diapo suivante)‏ Pour vérifier, on calcule la somme des probabilités des branches issues d’un même noeud : elle doit être égale à 1. Ceci doit être compris et explicité aux élèves : par exemple, il est certain d’obtenir V, N ou R au premier lancer, c’est pourquoi la somme des probabilités des branches correspondantes est égale à 1. 3/6 1/2 P V Ainsi, la probabilité d'un chemin est le produit des probabilités figurant sur ses branches. F 1/2

4. Les programmes actuels au lycée

Le programme actuel en seconde Dans les programmes de seconde de 2000, la statistique descriptive opère une synthèse de ce qui a été étudié en collège (représentations, médiane, étendue), en approfondissant les propriétés de la moyenne. En statistique inférentielle, la population n’est plus étudiée pour elle-même, mais considérée comme un échantillon d’une population plus grande. Les séries statistiques étudiées sont obtenues par répétition d’une expérience aléatoire. On travaille sur la distribution des fréquences, simulation et fluctuation d’échantillonnage. Les probabilités n’apparaissent qu’en première dans les programmes actuels. .

Un exemple de travail sur la simulation

Les programmes en première En statistique, les paramètres de dispersion (écart type et écart interquartile) sont introduits. L’étude de séries de données (en particulier chronologiques) est approfondie en ES. Le lien entre arbre et tableau à double entrée y est effectué. La notion de probabilité est introduite ; le lien avec la distribution des fréquences est éclairé par un énoncé vulgarisé de la loi des grands nombres. En S, des expériences aléatoires de référence étant modélisées, on peut simuler des lois de probabilités simples.

La probabilité d’un événement est égale à la somme des probabilités des issues qui les composent, de la même manière que pour la fréquence.

Les programmes en terminale En ES, l’ajustement affine de séries statistiques à deux variables est effectué. Le problème de l’adéquation à une loi équirépartie est posé. La définition de la probabilité conditionnelle de B sachant A est justifiée par des calculs fréquentiels. La notion d’indépendance permet de modéliser des expériences indépendantes, en particulier la répétition des expériences de référence vues en première. Des exemples de lois discrètes (en S et ES) et continues (en S) sont abordés.

Lien entre fréquences et probabilités conditionnelles Une enquête de marketing portant sur le choix entre deux abonnements A et B lors de l’achat d’un téléphone portable et le statut de l’acheteur (salarié ou non salarié) a conduit au recueil des données de 9321 nouveaux acheteurs, consignées dans le tableau suivant: Effectifs A B Total Salarié 4 956 1 835 6 791 Non salarié 1 862 668 2 530 6 818 2 503 9 321

Fréquences conditionnelles A B Total Salarié 0,727 0,733 0,729 Non salarié 0,273 0,267 0,271 1 Notation : f A (S) = 0,727 NS A B S f (A) f (B) fA(NS) fA(S) fB(NS) fB(S)

Conclusion Nouvelle forme de pensée à acquérir. Favoriser la démarche par l’expérience, laisser du temps, effectuer des allers-retours entre expérience et modèle. Fil rouge tout au long de l’année, qui permet de réinvestir d’autres notions, en particulier de statistique. Comme c’est déjà fait dans de nombreux pays depuis des années, cela doit nous encourager De nombreuses personnes ignorent que les mathématiques touchent des domaines bien plus proches de la vie courante que ceux qui sont traditionnellement enseignés. Ainsi, plus nous introduirons tôt les notions de probabilités et moindre sera le risque de croire que les mathématiques sont coupées de la vie de tous les jours. Importance des expérimentations. On constate l’intérêt des élèves Cela ne pose pas de difficultés particulières d’organisation. Les lancers peuvent être faits à la maison lorsqu’on a bien précisé le protocole. Un devoir sur feuille pour lequel il faut jouer, cela n’arrive pas souvent !!!