Probabilités au collège Versailles Mercredi 14 Janvier 2009 1

Statistique et probabilités Deux grands domaines en statistique : Statistique descriptive : analyse des propriétés des données observées Statistique inférentielle : recherche d’un modèle théorique compatible avec les données observées Les probabilités ou la théorie mathématique de la mesure de l’incertitude La statistique ou la théorie mathématique de la prise de décision face à l’incertitude 2

Des séries statistiques aux probabilités : la progression dans les programmes du collège 6ème : Organisation et représentation de données (tableaux, repérage sur un axe, diagrammes, graphiques) 5ème : Représentation et traitement de données (classes, effectifs, fréquences, tableau de données, représentations graphiques de données) 4ème : Traitement de données (moyennes pondérées) 3ème : Statistique (caractéristiques de position ou de dispersion) Notion de probabilité programmes 3

Programme en vigueur en 2008 - 2009 Connaissances Notion de probabilité Probabilités Programme en vigueur en 2008 - 2009 Capacités Comprendre et utiliser des notions élémentaires de probabilité. Calculer des probabilités dans des contextes familiers. Commentaires La notion de probabilité est abordée à partir de situations familières ( pièces de monnaie, dés, roues de loterie, urnes). Certaines de ces situations permettent de rencontrer des cas pour lesquels les probabilités ne sont pas définies à partir de considérations intuitives de symétrie ou de comparaison mais sont approximativement évaluées par les fréquences observées expérimentalement (approche fréquentiste des probabilités) La notion de probabilité est utilisée pour traiter des situations de la vie courante pouvant être modélisées simplement à partir des situations précédentes. Les situations étudiées concernent les expériences aléatoires à une ou deux épreuves. Dans le cadre du socle, aucune connaissance n’est exigible dans le cas des expériences à deux épreuves. 4

Programme en vigueur à la rentrée 2009 Connaissances Notion de probabilité Capacités Comprendre et utiliser des notions élémentaires de probabilité. Calculer des probabilités dans des contextes familiers. Exemples d’activités, commentaires La notion de probabilité est abordée à partir d’expérimentations qui permettent d’observer les fréquences des issues dans des situations familières (pièces de monnaie, dés, roues de loterie, urnes, etc. ). La notion de probabilité est utilisée pour modéliser des situations simples de la vie courante. Les situations étudiées concernent les expériences aléatoires à une ou deux épreuves. Les connaissances relatives aux expériences aléatoires à deux épreuves ne sont pas exigibles dans le cadre du socle. 5

Démarche Etude de situations familières (lancer de pièces, de dés, roue d’une loterie, urne) Institutionnalisation (définitions, propriétés) Traitement de situations diverses (expériences aléatoires à une ou deux épreuves) 6

I. Premières situations d’apprentissage 1. a) Probabilités définies à partir de considérations de symétrie ou de comparaison Lancer une pièce équilibrée Tirage dans une urne Roue de loterie P F Dans une expérience aléatoire, on ne peut pas prévoir le résultat. Les exemples proposés permettent de dégager la notion d’expérience aléatoire et celle d’issue. On modifie les conditions pour préciser la notion de probabilité et introduire l’idée du modèle probabiliste On admet qu’à chaque issue on peut faire correspondre un nombre qui « caractérise » les chances d’obtenir cette issue». Ce nombre s’appelle la probabilité d’obtenir cette issue.

b) Approche expérimentale Lancer une pièce Quand on répète N fois l’expérience aléatoire, on observe que lorsque N devient de plus en plus grand, la fréquence de réalisation d’une des deux issues tend à se stabiliser vers une valeur proche de 1/2. Réaliser des échantillons de grande taille. Reproduire la même expérience aléatoire. c) Simulation à l’aide de nombres pseudo-aléatoires On admet que si la pièce est bien équilibrée, les deux issues ont la même probabilité. Le tableur ou la calculatrice permettent de générer des nombres pseudo- aléatoires pour simuler ce modèle d’équiprobabilité. Lancer d’une pièce équilibrée Lancer une pièce à la main 8

I. Premières situations d’apprentissage Lorsqu’on répète N fois de suite une expérience aléatoire, on observe que lorsque N devient de plus en plus grand, la fréquence de réalisation d’une issue donnée tend à se stabiliser autour d’un nombre et on admet que ce nombre est la probabilité d’obtenir cette issue. 2. Approche fréquentiste de la probabilité lancer d’une punaise 9

Probabilités géométriques Franc Carreau (document ressource) deux points sur un segment On considère un segment OS de longueur égale à 1. On choisit au hasard deux points A et B sur ce segment. On cherche à déterminer la probabilité que la longueur de ce segment soit supérieure ou égale à 0,5. On définit un modèle puis on le simule Comment évaluer l’intervention du hasard dans la réalisation d’une expérience aléatoire 2ème Exemple Sondage d’opinion, analyses sociologiques, contrôle de fabrication, ... Statistique inférentielle Comment définir un bon échantillon ? Intervalle de confiance ? 10

II. Représentation et traitement L’arbre de probabilité Situation Arbre des possibles Arbre pondéré avec les probabilités Tirage d’une boule dans l’urne Les exemples d’expériences à une seule épreuve, évoqués ci-dessus, sont mis à profit pour mettre en place un moyen de représentation et de traitement qui sera réutilisé dans les expériences à deux épreuves, qui sont évoquées dans le paragraphe 5 : l’arbre. Ce dernier permet de représenter les différentes issues d’une expérience aléatoire, puis en le pondérant de faire apparaître les probabilités de chacune d’elles. Il permet de calculer la probabilité d’autres événements (non élémentaires) 11 11

II. Représentation et traitement Non 1 12 12

III. Énoncés de définitions, de propriétés Définir : Expérience aléatoire, issue, univers Des événements incompatibles, l’événement contraire d’un événement, un événement certain, un événement impossible. La probabilité d’un événement qui se produit nécessairement (événement certain) est égale à 1. Si deux événements sont incompatibles, la probabilité que l’un ou l’autre se réalise est égale à la somme de leurs probabilités. Plus généralement, on peut additionner les probabilités d’événements deux à deux incompatibles. Equiprobabilité À partir des exemples traités, quelques éléments de langage et propriétés sont institutionnalisés, en employant le langage des événements. Pour faciliter les échanges, les événements (obtenir « Face », obtenir un nombre impair, …) peuvent être désignés par des lettres ou des symboles (ici, par exemple, la lettre F, la lettre I). La probabilité d’obtenir « Face » peut alors être notée p(obtenir « Face ») ou p(Face) ou p(F). 13 13 13

III. Énoncés de définitions, de propriétés La probabilité d’un événement est comprise entre 0 et 1. La somme des probabilités d’un événement et de son contraire est égale à 1. La probabilité d’un événement qui ne peut pas se produire (événement impossible) est égale à 0. À partir des exemples traités, quelques éléments de langage et propriétés sont institutionnalisés, en employant le langage des événements. Pour faciliter les échanges, les événements (obtenir « Face », obtenir un nombre impair, …) peuvent être désignés par des lettres ou des symboles (ici, par exemple, la lettre F, la lettre I). La probabilité d’obtenir « Face » peut alors être notée p(obtenir « Face ») ou p(Face) ou p(F). 14 14

Site Euler Une expérience est dite aléatoire lorsqu'on ne peut pas en prévoir avec certitude le résultat. On appelle issue d'une expérience aléatoire tout résultat de cette expérience. L'ensemble des issues est appelé univers. Tout ensemble d'issues est appelé événement. Un événement élémentaire contient une seule issue. L'événement certain contient toutes les issues. L'événement impossible ne contient aucune issue. 15

Site Euler On considère une expérience aléatoire. À chaque événement élémentaire, on associe un nombre compris entre 0 et 1. Lorsque la somme de tous ces nombres est égale à 1, on dit que l'on a défini une probabilité. La probabilité d'un événement (autre que l'événement impossible) est égale à la somme des probabilités des événements élémentaires qui le composent. La probabilité de l'événement impossible est égale à 0. 16

Attention aux énoncés proposés dans certains manuels ! Définition : Quand une expérience est répétée un grand nombre de fois, la fréquence relative de réalisation d’un événement élémentaire se rapproche d’une valeur particulière : la probabilité de cet événement élémentaire » Définition :   La probabilité d’un événement est un nombre compris entre 0 et 1.  Propriété : Lorsqu’on ne peut pas déterminer le nombre de cas possibles, on répète un grand nombre de fois l’expérience. On peut alors approcher la vraie valeur de la probabilité d’un événement. On observe en effet que la fréquence d’apparition de l’événement a tendance à se stabiliser lorsqu’on augmente le nombre d’expériences. La probabilité d’obtenir « pile » lors du jet d’une pièce est égale à 0,5. 17

Introduire des notations Les événements obtenir « Face », obtenir « une boule rouge » peuvent être désignés par des lettres, par exemple F ou R. La probabilité d’obtenir « Face » peut être notée p(obtenir « Face ») ou plus simplement p(Face) ou p(F). Pour faciliter les échanges, les événements (obtenir « Face », obtenir un nombre impair, …) peuvent être désignés par des lettres ou des symboles (ici, par exemple, la lettre F, la lettre I). La probabilité d’obtenir « Face » peut alors être notée p(obtenir « Face ») ou p(Face) ou p(F). 18

U = {(R,1) ; (R, 2) ; (R, 3) ; (B, 1) ; (B, 2) ; (B, 3)} IV. Des expériences à deux épreuves On considère l’expérience suivante, qui se déroule en deux étapes : d’abord, on fait tourner une roue de loterie (on obtient la couleur « Rouge » avec une probabilité de 0,25 et la couleur « Bleu » avec une probabilité de 0,75). Ensuite, on fait tourner une deuxième roue de loterie (on obtient le numéro 1 avec la probabilité 1/6, le numéro 2 avec la probabilité 1/2 et le numéro 3 avec la probabilité 1/3). Arbre des possibles R B 1 2 3 Une première étape consiste à dresser un arbre pour décrire l’ensemble des issues. Dresser la liste des issues, définir l’univers : U = {(R,1) ; (R, 2) ; (R, 3) ; (B, 1) ; (B, 2) ; (B, 3)} 19 19

IV. Des expériences à deux épreuves Arbre pondéré (R, 1) (R, 2) (B, 1) (R, 3) (B, 2) (B, 3) 1/41/6 1/41/2 1/41/3 3/41/6 3/41/2 3/41/3 R B 1/4 3/4 1 2 3 1/6 1/3 1/2 L’arbre peut être pondéré? Sachant que la roue amène R ou B, les probabilités d’obtenir ensuite 1, 2 ou 3 sont respectivement 1/6, 1/2 et 1/3. On peut ensuite justifier la loi de probabilité par une approche fréquentiste. Pour 120 000 répétitions de l’expérience : Environ 30 000 fois R dont environ 5 000 fois « 1 », environ 15 000 fois « 2 » et environ 10 000 fois « 3 », C’est à dire environ 1/4 ×1/6 × 120 000 fois (R,1). 20 20 20

Modélisation et représentation Reconnaissances des issues Tableaux, arbres, ... Fréquences et probabilités Raisonner de façon certaine sur l’incertain une fois le modèle choisi, les raisonnements qu’on fait ne souffrent pas de contestation. À partir des exemples traités, quelques éléments de langage et propriétés sont institutionnalisés, en employant le langage des événements. Pour faciliter les échanges, les événements (obtenir « Face », obtenir un nombre impair, …) peuvent être désignés par des lettres ou des symboles (ici, par exemple, la lettre F, la lettre I). La probabilité d’obtenir « Face » peut alors être notée p(obtenir « Face ») ou p(Face) ou p(F). 21 21

Le diagramme en bâtons ci-dessous donne la répartition des âges des jeunes adhérents d’un club de théâtre. 1. Quelle est la population étudiée ? Quel est le caractère étudié ? 2. Y a-t-il un mode ? 3. Donner une valeur médiane. Donner sa signification. 4. On tire au sort un des jeunes adhérents de ce club de théâtre. Quelle est la probabilité que le jeune choisi ait 12 ans ?

Une enquête sur le temps d’appel de 100 collégiens à l’aide de leur téléphone portable, au cours d’une journée a donné les résultats représentés par polygone des effectifs cumulés croissants suivant. 1) Présenter un tableau donnant les classes et les fréquences. 2) Construire un histogramme de la série. Graphique temps d'appel.xls 3) On choisit au hasard un des collégens concernés par l’enquête. Quelle est la probabilité que le temps d’appel de ce lycéen soit a) compris entre 10 et 15 mn ? b) supérieur ou égal à 5 mn ?