Autour des nombres en première L(option) et en terminale L (spécialité) Marie-Françoise BOURDEAU Jeanne-Marie DUMAS

Écritures des nombres Arithmétique Dénombrement

Écritures des nombres Écritures des entiers naturels Écriture décimale des réels

Écritures des entiers naturels ( en 1ère L)

Repères chronologiques de 3000 à 2900 av. J-C. Apparition de la numération hiéroglyphique en Egypte 1900 à 1600 av. J-C. Premier système de numération de position chez les babyloniens (base 60 ) IIIe siècle av. J-C. Invention du zéro par les Babyloniens IVe/Ve siècle. Numération de position à base dix et apparition du zéro en Inde IXe siècle. Introduction du zéro en Espagne par les arabes XIIe siècle. Introduction du zéro en Europe occidentale. Les chiffres arabes s’y stabilisent graphiquement pour donner naissance à la forme qu'ils ont actuellement

Les deux grands types de numération La numération de type additif (numération égyptienne, romaine...) La numération de position

La numération égyptienne Le système hiéroglyphique. Système additif non positionnel de base 10

Multiplication égyptienne Le principe de base est la duplication 19 X 23 = (1 + 2 +16) X 23 1 (1) 23 2 (1) 46 + 46 4 (0) 92 8 (0) 184 16 (1) 368 + 368 = 437

Multiplication égyptienne variante 12  12 12 1 6 2 24 3  4 48 1  8 96 144 12  12 = 6  24 = 3  48 = (2 + 1)  48 = 96 + 48

Numération romaine 7 symboles une barre pour multiplier par mille Formation des nombres Par addition III VI XXVIIII Par soustraction IV IX CM

720  62

Système décimal et autres bases Le système décimal fait appel à deux principes fondamentaux que l'on retrouve dans toutes les bases de calcul. Le premier principe fondamental est le principe de position Le deuxième principe fondamental est le principe du zéro.

Numération à base quelconque

Pour écrire un nombre N en base b, on calcule le quotient q et le reste r de la division euclidienne de N par b puis le quotient et le reste de la division euclidienne de q par b, etc Disposition pratique (475)base10 s’écrit (1246)base 7

Algorithme du passage de la base 10 à la base b (b < 10)

Pour une base b inférieure à 10 et N entier compris entre 0 et 2 ^41 Avec un tableur Pour une base b inférieure à 10 et N entier compris entre 0 et 2 ^41

La base 10 a été adoptée quasi universellement. Mais il reste néanmoins des exemples historiques et des traces d'utilisation d'autres bases.... base 5 base 12 base 20 base 60 Les bases 2, 8, 16 sont utilisées en informatique

Écriture décimale des nombres réels (en Terminale) Écriture décimale d’un quotient d’entiers Caractérisation d’un nombre rationnel

Écriture décimale d’un réel positif

Écriture décimale d’un quotient d’entiers naturels Elle est obtenue à l’aide d’un algorithme utilisant des divisions euclidiennes successives (voir fichier quotient.doc) Un tableur apporte ensuite le calcul des décimales successives (voir fichier decimales.xls)

Périodicité de l’écriture décimale d’un quotient d’entiers

Réciproquement : Un nombre dont le développement décimal est périodique à partir d’un certain rang est celui d’un quotient de deux entiers (voir fichier fraction.doc)

Les nombres rationnels sont les nombres dont le développement décimal est périodique à partir d’un certain rang Les nombres irrationnels sont les nombres dont le développement décimal n’est pas périodique à partir d’un certain rang

Arithmétique en première Nombres premiers Recherche des diviseurs d’un naturel Diviseurs communs à deux naturels

Application : Crible d’Ératosthène THEOREMES Tout entier naturel supérieur ou égal à 2 admet au moins un diviseur premier. Tout entier naturel composé admet au moins un diviseur premier inférieur ou égal à sa racine carrée. Tout nombre naturel qui n’admet pas de diviseur premier inférieur ou égal à sa racine carrée est un nombre premier Application : Crible d’Ératosthène

PGDD(a;b) C’est le dernier reste non nul dans (voir fichier euclide.xls)

Arithmétique en terminale Initiation au raisonnement par récurrence Division euclidienne dans N Multiples d’un naturel dans Z Congruence dans Z compatibilité avec les opérations applications aux clés de contrôle critères de divisibilité par 3, 4, 9, 11.

Le raisonnement par récurrence

Congruence et division euclidienne Soient a et b deux relatifs et n un naturel. Il est équivalent de dire: a est congru à b modulo n a et b ont le même reste dans la division euclidienne par n

Dénombrement Le triangle de Pascal. Une approche possible : 1 2 3 K L 4 6 10 Une approche possible : Les chemins sur quadrillage.

Triangle de Pascal 1 2 3 4 6 5 10 1 2 3 6 10 4 5

Lien entre le nombre de parties d’un ensemble et le nombre de chemins sur un quadrillage E = {a ; b ; c ; d ; e} Le chemin jaune allant de O à R est associé au sous-ensemble {a ; c ; d}. O R A chaque chemin composé de 5 déplacements, dont trois horizontaux, on associe un unique sous-ensemble de E à trois éléments et réciproquement.

On note le nombre de parties à p éléments d’un ensemble à n éléments. C’est aussi le nombre de chemins allant de O à M(p; n – p)

Propriétés des combinaisons et chemins sur quadrillage V T p n - p Pour arriver en V en partant de O, il faut être en U ou en T à l’étape précédente. Le nombre de chemins allant de O à V est donc la somme des chemins allant de O à T et des chemins allant de O à U

Propriétés des combinaisons et chemins sur quadrillage Il y a autant de chemins allant de O vers A’ que de chemins allant de O vers B’ donc O A’ B’ On peut étendre cette propriété à un trajet composé de n déplacements dont p déplacements vers le haut

Formule du binôme et chemins sur quadrillage 3ab² b² ab + ba b  b a a²  a O (a + b)3 = aaa+aab+aba+baa+bba+bab+abb+bbb

Calcul des Seule l’utilisation de la formule pour des valeurs numériques données de p est exigible, l’expression à l’aide des factorielles ne l’est pas. Cette formule peut résulter de la relation

Nombre de sous-ensembles d’un ensemble Outre l’utilisation de la formule du binôme, on peut également exploiter le texte de Pascal sur le triangle arithmétique. Le raisonnement de Pascal est le suivant Partant de la propriété Il en déduit que la somme des coefficients d’une même ligne est le double de la somme des coefficients de la ligne précédente et achève sa démonstration par un raisonnement par récurrence.