Perspective en classes de première et terminale littéraire Pierre MICHALAK Richard BREHERET

Les connaissances des élèves Au collège, la géométrie de l’espace repose sur la fréquentation directe d’objets usuels En seconde : l’objectif annoncé est de développer la vision dans l’espace les capacités attendues : « manipuler, construire, représenter des solides » et « effectuer des calculs simples de longueurs, aires ou volumes » se prêtent mal, compte tenu du passé des élèves, à une reconstruction théorique

Deux exemples Si deux plans distincts sont sécants en un point A, alors leur intersection est une droite passant par A Théorème du toit : si trois plans distincts sont sécants deux à deux, alors les trois droites d’intersection sont parallèles ou concourantes Le statut de ces propriétés n’est pas clairement établi au début de la classe de première…

Perspective cavalière ou parallèle

Perspective cavalière ou parallèle

Principes pour voir en perspective Il y a un œil qui voit On connaît la distance qui sépare l’œil de l’objet On voit toute chose au moyen de lignes droites (plus court trajet)

Représenter un cube en perspective « La perspective n’est rien d’autre que la vision d’une scène derrière une vitre plane et bien transparente, sur laquelle on marque tous les objets qui sont de l’autre côté de la vitre ; ils peuvent être reliés par des pyramides avec le centre de l’œil ; et ces pyramides sont interceptées par ledit verre. » Leonard de Vinci (1452 –1519), Traité de la peinture

La construction légitime (1) 3 7 A 1 5 B 2 6 D 4 8 C B1 B5 D2 D6 A3 A7 C4 C8

Les mathématiques de la perspective

Représenter un carré en perspective D’ C’ O’ O2 O3 O O1 Ligne d’horizon A” B” B1 A B Ligne de base O” Commentaire audio : Un individu observe un cube posé sur le sol. Comment la face du cube située sur ce sol est-elle vue par notre observateur ? Pour répondre à cette question, traçons la ligne d’horizon, et plaçons notre individu à une distance O’O3 du cube. L’œil O’ voit cette face suivant le carré ABCD en vue de dessus. En vue de face, A est vu en A, B en A”, C en B” et D en B. En vue de profil, l’observateur voit C en B. La droite (O’B) est sécante au plan de projection (ADD’) en B1 et la droite parallèle à la ligne d’horizon passant par B1 permet de tracer le contour AA”B”B du carré ABCD vu en perspective. Les diagonales (AB”) et (A”B) sont sécantes à la ligne d’horizon respectivement en O1 et O2. Montrons maintenant qu’en notant O le point de fuite, nous avons OO1=OO2=OO3… D C Démonstration

La construction légitime (2)

Construction du dallage perspectif