Théorème de Desargues Enoncé:

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1 Théorème de Desargues Enoncé:
Site du collège Santy thomas Théorème de Desargues Enoncé: Si les deux droites qui contiennent les cotés homologues de deux triangles homologiques sont deux à deux sécantes, les trois points d’intersections sont alignés.

2 thomas santy La propriété est aisée à démontrer si on suppose que les droites a, b et c ne sont pas coplanaires. En effet, les droites AB et A’B’ sont respectivement contenues dans les plans des triangles ABC et A’B’C’; ces droites se coupent en un point C’’ de l’intersection de ces plans. On démontre, de manière analogue, que le point d’intersection de BC et de B’C’ (A’’) et le point d’intersection de AC et de A’C’ (B’’) appartiennent à l’intersection des plans des triangles ABC et A’B’C’.

3 La propriété qui vient d’être énoncée et démontrée reste vraie si les droites concourantes a, b et c sont coplanaires. Démontrons-le! Considérons deux triangles homologiques coplanaires ABC et A’B’C’ tels que les droites qui contiennent les côtés homologues sont sécantes deux à deux en A’’, B’’, et C’’. Démontrons que les points A’’, B’’ et C’’ sont alignés.

4 Désignons pas S1, un point quelconque n’appartenant pas au plan des triangles homologiques.
Les parallèles à SS1, comprenant les points A’, B’ et C’ coupent les droites S1A, S1B et S1C respectivement en A1, B1 et C1 ( à justifier) Le point C’’ appartient au plan du triangle ABC, au plan du triangle S1AB et au plan comprenant A’, B’, A1 et B1. Les intersections de ces plans, pris deux à deux, comprennent donc C’’; les droites AB et A1B1 sont donc sécantes.

5 On démontre, d’une manière analogue, que les droites BC et B1C1 se coupent en A’’ et que les droites AC et A1C1 se coupent en B’’ . Les triangles ABC et A1B1C1 ne sont pas coplanaires; ils sont homologiques et, de plus, les droites qui contiennent leurs côtés homologues sont deux à deux sécantes. Les trois points d’intersections (A’’, B’’ et C’’) sont donc alignés.