Probabilités et statistiques en première S, ES, L Comment introduire les notions nouvelles en faisant des simulations avec le logiciel Scilab. Par Christine Gomez

La notion d’espérance La loi binomiale Les intervalles de confiance Thèmes abordés La notion d’espérance La loi binomiale Les intervalles de confiance

La notion d’espérance (1) 1° ES, S : « À l’aide de simulations et d’une approche heuristique de la loi des grands nombres, on fait le lien avec la moyenne d’une série de données. » Nous allons jouer au 421 On lance 3 dés équilibrés. Si on sort 421, on gagne 10 € Si on sort 2 des 3 chiffres, on gagne 2€ Combien peut-on espérer gagner en moyenne sur 1000 parties ?

La notion d’espérance (2) Algorithme à mettre en œuvre : Initialiser la somme gagnée S à 0 Définir les ensembles gagnants Pour k allant de 1 à 1000 Simuler le lancer de 3 dés et définir l’ensemble obtenu Si cet ensemble contient les 3 chiffres gagnants, alors S augmente de 10 ou si cet ensemble contient 2 des chiffres gagnants, alors S augmente de 2 Fin de si Fin de pour Afficher S/1000 421

La notion d’espérance (3) Dans la simulation nous avons utilisé les ensembles, qui facilitent les tests. Le calcul théorique se fait en comptant ordre et remise, il n’est pas très simple : Il y a 6^3 = 216 issues dont 6 pour avoir 421 (3! ordres possibles) 72 pour avoir 2 des 3 chiffres (3 × 24) en effet pour les 2 chiffres 1 et 2 corrects, on a 6 issues avec 2 chiffres égaux, type 112 ou 122 18 issues avec 3 chiffres différents, type 123 (on exclut 124) L’espérance est donc égale à (6 × 10 + 72 × 2) / 216 = 0,94

La loi binomiale (1) 1°ES, S : « On peut simuler la loi binomiale avec un algorithme. » Jean Claude Dusse s’inscrit pour 6 jours de cours de ski. On lui annonce qu’il ne peut pas choisir son moniteur, mais que celui-ci sera tiré au hasard chaque matin parmi l’équipe, qui comprend autant d’hommes que de femmes. Inquiet, Jean Claude se demande quelles sont ses chances…

La loi binomiale (2) On commencera par simuler une semaine; L’algorithme à mettre en œuvre est : Simuler 6 fois le choix du moniteur (femme = 1, homme = 0) Compter le nombre de 1 et le nommer N Afficher N Soit en Scilab : t=tirage_entier(6,0,1); N=taille(find(t==1)); afficher(N) jcduss1

La loi binomiale (3) On fera ensuite un grand nombre de simulations (ici 100 000), et on affichera les fréquences correspondant aux nombres de jours de la semaine où le moniteur était une femme. L’algorithme à mettre en œuvre est : Initialiser une liste N qui au départ contient 100 000 zéros et ensuite contiendra les résultats des 100 000 simulations. Pour k allant de 1 à 100 000 Simuler 6 choix Compter le nombre de 1, le mettre dans N(k) Fin de boucle pour Pour k allant de 0 à 6 Calculer la fréquence de k dans N Afficher k et sa fréquence Fin de boucle pour jcduss2

La loi binomiale (4) Variante : JC Dusse cherche seulement à approcher la probabilité d’avoir un moniteur femme au moins trois jours dans la semaine. L’algorithme à mettre en œuvre est : Initialiser à 0 la fréquence de l’évènement « J C Dusse a eu une femme pour moniteur au moins trois fois » Pour k allant de 1 à 100 000 Simuler 6 tirages aléatoires équiprobables (Homme = 0, Femme = 1) Si le nombre de femmes est supérieur ou égal à 3, alors Augmenter la fréquence de 1/100 000 Fin de boucle si Fin de boucle pour Afficher la fréquence jcduss3

Les intervalles de confiance (1) 1°S et ES : «  L’intervalle de fluctuation peut être déterminé à l’aide d’un tableur ou d’un algorithme. » La méchante reine aimerait bien savoir si elle est plus belle que Blanche Neige. N’ayant pas confiance en son miroir, elle a fait interroger 100 sujets, et 52 ont voté pour Blanche Neige. Elle a fait ses calculs, et conclu qu’au risque de 5%, Blanche Neige n’était pas sûre de l’emporter. Quels calculs a-t-elle fait ? A-t-elle eu raison ? Combien aurait-elle dû interroger de sujets pour s’inquiéter vraiment ?

Les intervalles de confiance (2) Quels calculs a-t-elle fait ? Elle s’est dit qu’elle pouvait considérer que le nombre B de sujets préférant Blanche Neige suivait une loi binomiale de paramètres 100 et 0,52. Qu’au risque de 5%, elle allait chercher l’intervalle contenant les 95% restants, en éliminant 2,5% de chaque côté. Elle a donc ouvert Scilab, et fait établir la fonction de répartition FB correspondant à B. Puis elle a recherché le plus petit entier m1 tel que p( B <= m) > 0,025 Reine 1 et le plus petit entier M1 tel que p(B<= M) >= 0,975 Son intervalle de confiance était [m1/100 ; M1/100]

Les intervalles de confiance (3) A-t-elle eu raison ? Oui : elle a trouvé m1 = 42, et M1 = 62, donc I = [0,42 ; 0,62 ] Donc I contient des valeurs inférieures à 50%, il n’est pas dit que Blanche Neige l’emporte au risque de 5%. La sorcière a bien conclu, sachant qu’elle ait fait deux approximations : Elle a considéré qu’il y avait remise des sujets interrogés Elle a fait une hypothèse de symétrie qui n’est totalement vraie que si p = 0,5. Elle a vérifié si cela correspondait à ce qu’on lui avait appris en 2° année Reine 1 d’école des sorcières : I = [0,52 – 1/10 ; 0,52 + 1/10]

Les intervalles de confiance (4) Combien aurait-elle dû interroger de sujets pour s’inquiéter vraiment ? Elle se rend bien compte que son intervalle est trop grand pour être vraiment significatif. Elle retourne à ses calculs, et reprend son programme en faisant varier la valeur N du nombre de sujets interrogés. Elle se dit ensuite qu’elle va faire un test pour savoir si la borne m1/N peut devenir supérieure à 0,5, et quand. Elle a trouvé 2350. Si elle avait fait le calcul avec 0,52 – 1/racine(N) > 0,5, elle aurait trouvé N >(1/0,02)^2, soit N > 2500 Reine 2

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