Un parcours possible autour du calcul littéral Calcul Mental Un parcours possible autour du calcul littéral Power point présenté dans le cadre d’un stage académique du PAF intitulé : Résoudre des problèmes pour développer des compétences et construire des connaissances collège et lycée Dans cet exposé nous utilisons le terme calcul mental dans sa forme actuelle. Les questions posées peuvent être très variées et pas seulement calculatoires. Certains auteurs parlent aussi d’activités mentales ou de questions rapides. Pascale Boulais et Maxime Cambon Stage 2013

Pour commencer, quelques erreurs d’élèves (métaphore et analogie) ne peut pas être réduit

Constat et conséquence Constat : « Les élèves sont dans un brouillard algébrique » (Jean Pierre Richeton) Un choix assumé pour l’enseignement du calcul littéral : Les élèves doivent pouvoir contrôler leur activité en se référant à des règles/théorèmes en algèbre comme en géométrie

Quel rôle peut jouer le calcul mental ? Extrait des programmes de l’école primaire : «L’entraînement quotidien au calcul mental permet une appropriation des nombres et de leurs propriétés.» Les travaux de Denis Butlen et Monique Pezard montrent que le calcul mental est un moment privilégié pour développer les connaissances sur les nombres et leurs propriétés.

Du calcul mental pour : Remobiliser des connaissances : Distributivité, commutativité, associativité Priorités opératoires, utilisation des parenthèses Consolider et entretenir des connaissances nouvelles : Calculs avec des nombres relatifs, avec des fractions Travailler des techniques, automatiser certaines procédures: Réduire , développer, factoriser une expression Extrait du document ressource « le calcul sous toutes ses formes au collège et au lycée » La pratique régulière du calcul mental favorise la progressivité des apprentissages. Avant l’apprentissage, elle permet d’anticiper, de préparer l’étude d’un savoir. Pendant la phase d’apprentissage, elle facilite l’appropriation des notions ou propriétés travaillées. Après l’apprentissage, elle permet un réinvestissement régulier, et à long terme, de l’appropriation des savoirs et leur mobilisation dans des situations inédites. Préparer le terrain pour les enseignements futurs Ecrire une formule correspondant à un problème numérique ou géométrique Sens du signe = Equations, fonctions…

Propriétés des opérations Calculer : Ou encore Dans chacun des cas suivants, peut-on utiliser l’égalité suivante : ? Si oui, écrire l’égalité obtenue. Il nous semble indispensable de diversifier les situations/questions proposées autour d’un même thème d’étude pour plusieurs raisons : Permettre l’appropriation des concepts en favorisant les liens entre les différents registres (numérique, géométrique, langue vernaculaire…) Permettre la création d’automatismes (connaissances maitrisées permettant une meilleure adaptation dans les calculs) plutôt que de mécanismes (procédures qui écrasent les autres et nuisent à l’adaptabilité). Pour plus de détails nous vous renvoyons aux travaux déjà cités de Denis Butlen et Monique Pézard et notamment sur ce qu’ils nomment le paradoxe de l’automatisme.

Propriétés des opérations Calculer : Ajouter 17 et soustraire 24 revient à… Quelle est la somme de 8 et de -11 ? Ecrire trois calculs différents dont le résultat est -5

Sens du signe = et rôle des parenthèses «Ecrire une égalité avec une opération de chaque côté» «Ecrire une égalité avec une opération différente de chaque côté ?» «Ecrire une égalité avec plus d'une opération de chaque côté ?» «Ecrire une égalité utilisant des parenthèses ?» Traduis ces étapes de calcul en une seule chaîne d'opérations : c) étape 1 :     42 - 15 = 27 étape 2 :    2 7 x 2 = 54 étape 3 :     54 - 16 = 38 a) étape 1 :  72 : 8 = 9 étape 2 :     9 + 11 = 20 étape 3 :     20 : 2 = 10 b) étape 1 :     3 x 4 + 2x8 = 28 étape 2 :     28 x 2 = 56 Le signe égal occupe différents statuts. Il peut être : Annonce d’un résultat, déclencheur d’opérations. (EXE) Égalité sous conditions : équations. Égalité toujours vraie : identité. Un adressage, une affectation dans le cadre fonctionnel. Le premier statut (annonce d’un résultat) est le statut dominant chez les élèves. Le calcul mental est un outil performant pour faire évoluer cette conception. Quel est le nombre manquant dans l’égalité ?

Calcul mental et calculatrice Utiliser la calculatrice pour : Apprendre à s’en servir Travailler le sens des opérations notamment les opérations à trou pour préparer la résolution d’équations Travailler la substitution et savoir utiliser des formules. Calculer le volume du tonneau lorsque h=1,6m ; d=0,86m et D=1,34m.

Calcul mental et calculatrice Calculer : Lorsque x=-13,57 Lorsque x= On peut introduire des QCM

Des programmes de calculs Programme de calcul : Choisir un nombre, Ajouter 3, multiplier le résultat par 5 Effectuer ce programme de calcul avec le nombre 23 Quel nombre faut-il choisir pour obtenir 50 ? Ecrire la formule correspondant à ce programme Les programmes de calculs peuvent jouer des rôles importants et variés dans l’apprentissage du calcul littéral et préparer l’apprentissage de la notion de fonction Ecrire le programme de calcul correspondant à la formule

Des programmes de calculs Une proposition de l’IREM de Lyon en deux phases : Phase 1 : Recherche individuelle puis mise en commun On a obtenu les nombres de droite à partir des nombres de gauche en appliquant un programme de calcul. Trouver ce programme.

Des programmes de calculs Phase 2 : Utilisation de la relation Suite du travail précédent

Ecrire une formule On appelle N un nombre. Ecrire en fonction de N : Le nombre suivant, le précédent, écrire que N est un nombre est pair, qu’il est impair, qu’il est un multiple de 7… Pour chacune des figures, écrire une formule qui permette de calculer son périmètre Varier les registres (description d’une propriété numérique, géométrique, programme de calculs…) Exprimer l’aire d’un carré de côté x+3 en fonction de x

Ecrire une formule Il est possible de faire des liens avec le tableur si celui-ci a été utilisé auparavant (Demander l’écriture d’une formule, donner la formule et demander le résultat obtenu…)

Travailler et automatiser des techniques Réduire des expressions (exercice classique) Ecrire sous la forme d’une somme puis sous la forme d’un produit 24 Autre exemple de variation dans les formulations autour d’un travail technique (réduire une expression littérale) Compléter  l’égalité : 2k+3=k+3+… 2k+3=k-7+… Trouver cinq formules différentes qui donneront 2x-7 une fois réduite

En conclusion : Le calcul mental existe sous des formes très variées (calculs numériques classiques, avec calculatrice, registre géométrique, QCM, Vrai ou faux…) Le calcul mental est un outil pour travailler dans la durée ce qui est plus efficace que l’entrainement mécanique ponctuel (qui prouve chaque année son inefficacité) Le calcul mental peut répondre à de nombreux objectifs (Travailler une technique, construire une connaissance nouvelle, remobiliser des connaissances anciennes, préparer le terrain pour des enseignements futurs)