Scénario Mathématiques – Technologie autour de la démarche d’investigation 2ème partie Abdelkébir Assrir Francis Bernard Académie de Rouen Deuxième partie : L’élaboration de la séquence repose à nouveau sur des échanges entre les mathématiques et la technologie autour des structures en voûte. Université d’été de mathématiques « Mathématiques et technologies » 25 août 2011 abdelkebir.assrir@ac-rouen.fr / francis.bernard@univ-rouen.fr

Technologie Observation d’un objet technique construit en voûte. 2

Technologie Pourquoi les éléments d'une structure en voûte réussissent-ils à tenir ensemble ? 3

Mathématiques Étude des différentes formes de voûtes. 4

Construction de voûtes. Fabrication d’une voûte. Mathématiques Construction de voûtes. Fabrication d’une voûte. 5

Technologie Pourquoi la découverte du principe des voûtes en ogive a-t-elle révolutionné l'architecture au XIIIè siècle ? 6

Programme 2ème partie T T M T M M Observation d’un objet technique construit en voûte. T Pourquoi les éléments d'une structure en voûte réussissent-ils à tenir ensemble ? T M Étude des différentes formes de voûtes. Eléments mathématiques constitutifs d’une voûte. Pourquoi la découverte du principe des voûtes en ogive a-t-elle révolutionné l'architecture au XIIIè siècle ? T M Principe de construction d’une voûte. M Fabriquer une voûte à la taille réelle. Calculer son aire et son périmètre. 7

Technologie Observation d’un objet technique construit en voûte. 8 Les élèves découvrent un nouvel objet technique et c’est à nouveau l’occasion de se poser de nombreuses questions et en particulier pour cette entrée voûtée : Quelle est l'utilité de cette entrée ? Qu’est ce qui définit sa hauteur ? Pourquoi avoir choisi ces matériaux ?  L’esthétique a-t-il de l'importance dans cette construction ? L'intention pédagogique est de sensibiliser les élèves au fait qu'un objet technique répond à des fonctions bien précises et ici la fonction d'estime a une grande importance. Voici le travail de recherche qui peut être demandé aux élèves : Travail à effectuer : (Regroupez l'ensemble de vos réponses dans un document numérisé) Analyse de l'objet technique : Quelle est la fonction de cet objet technique ? Quels sont les usagers qui peuvent l’utiliser ? Quelle est la solution technique qui a été retenue pour construire cet objet technique.? Quelles ont été les contraintes à respecter pour la construction de cet objet technique ? (conditions d'utilisation, climat, style régional, durée de vie, conditions de sécurité, nature du terrain, esthétique, développement durable...) Les matériaux : Avec quels matériaux est-il construit ? Quelles raisons ont pu influencer le choix de ces matériaux ? Aurait-il été possible de construire cet objet technique avec d'autres matériaux ? L'évolution : S'agit-il d'une construction récente ? Trouve-t-on d'autres ouvrages construits sur le même principe technique ? Citez–en quelques-uns et indiquez leur époque de construction. Conseils, consignes : Pour illustrer les réponses, vous pouvez insérer des photos et éventuellement des liens vers des sites intéressants. 8

Technologie Ici, pour les élèves, il ne s’agit plus d’un problème technique à résoudre, comme pour le cadre qu’il fallait rendre indéformable. Il n’y a pas de problème, les élèves voient la photographie d’une construction en voûte et le professeur leur pose simplement une question : « pourquoi les pierres ne tombent-elles pas ? » La démarche d’investigation est mise en œuvre en commençant par recueillir les conceptions initiales des élèves et leur hypothèses. L’élaboration de protocoles est induite ensuite par le fait que le professeur propose 2 séries différentes de voussoirs que les élèves vont essayer d’assembler pour monter une voûte. Pourquoi les éléments d'une structure en voûte réussissent-ils à tenir ensemble ? 9

Pourquoi les éléments d'une structure en voûte réussissent-ils à tenir ensemble ? OBJECTIFS Auto évaluation Socle commun Identifier les caractéristiques d'une structure en voûte - Dessins précis - Photo avec détails - La voûte tombe/la voûte tient : pourquoi ? Commentaires clairs et précis III-4 Présenter votre compte-rendu - Dessins visibles du fond de la classe - Explications orales claires - Répartition des tâches dans l'équipe Comme précédemment la séance repose sur une approche « contrat ». Les élèves peuvent participer à l’élaboration des critères d’évaluation. Le lien objectifs opérationnels de la séance/item du socle commun est précisé aux élèves. 10

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Le professeur distribue les 11 voussoirs d’une voûte de type plein cintre et les élèves doivent trouver une solution pour monter cette voûte. La voûte plein cintre qui tient posée sur le sol s’effondre dès qu’on la positionne sur 2 poteaux ! Pourquoi ? Les élèves découvrent ensuite un autre type de voûte (type arc de cercle). Les forces internes présentes dans les 2 structures sont identifiées. Les élèves découvrent que la voûte arc de cercle ne peut pas tenir sans la présence de 2 culées à la base. 12

Mathématiques Étude des différentes formes de voûtes. On demande aux élèves de chercher de la documentation sur les différentes formes de voûtes. Il peut s’agir de recherches dans leur environnement ou sur des supports divers (revues, livres, internet…) Ce travail peut bien sûr se faire en lien avec le professeur d’Histoire et Géographie dans le cadre de l’histoire des arts. Étude des différentes formes de voûtes. 13

En observant les voûtes sur les documents à ta disposition que peux-tu dire de leurs formes ? OBJECTIFS Auto évaluation Socle commun Repérer les différentes formes de voûtes. - Distinguer les voûtes entre elles. - Repérer les éléments qui constituent une voûte. III-1 III-2 Réaliser une représentation de différentes voûtes. - Dessins représentant les situations. - Explication de la construction. - Codages (ou légendes). A partir des documents récoltés par les élèves, on leur demande de repérer dans ces voûtes les éléments mathématiques qui les constituent. Les objectifs de ce travail doivent être de préférence élaborés avec les élèves et explicités par eux. Cela permet au professeur de s’assurer de la bonne compréhension du problème posé, afin que les élèves se l’approprient et s’engagent dans la tâche demandée. L’explicitation des indicateurs de réussites : donne au professeur l’occasion « d’être au clair » avec ses attentes, permet plus de transparences au regard de ce que l’on attend des élèves, aide l’élève à s’auto-évaluer. On s’attend à ce que les élèves distinguent les arcs de cercles, leurs formes plus ou moins « pointues » et recherchent leurs centres .. 14

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Différentes voûtes ► La voûte de plein cintre : un demi-cercle. ► La voûte d’ogive (deux arcs de cercle) : obtenue en enlevant la partie centrale de la voûte plein cintre, et en rapprochant les deux parties restantes. ► La voûte égyptienne : un tracé comportant trois arcs de cercle. Voici une proposition de conclusion avec les principales voûtes parmi celles qui ont été observées. 16

Différentes voûtes Les principales voûtes observées. 17

Technologie Pourquoi la découverte du principe des voûtes en ogive a-t-elle révolutionné l'architecture au XIIIè siècle ? 18

Photo en bas et à gauche : En utilisant les voussoirs de la voûte « arc de cercle », les élèves essaient de concevoir une voûte en ogive. (Il doivent trouver qu’il faut se séparer d’un voussoir pour en conserver un nombre pair ! Il n’y a plus ici de clé d’arc ou de clé de voûte). Les forces ne se répartissent pas de la même façon. Photo en haut à gauche : Comme pour la voûte en plein cintre, la voûte en ogive tient bien directement sur un plan. Photo en bas et à gauche : La voûte en ogive est encore stable, même positionnée sur 2 piliers ! (ce n’était pas le cas avec la voûte plein cintre : art Roman) Photo de droite : Positionnée sur de très hauts piliers, il faut à nouveau consolider la structure. Les élèves réussissent à substituer des arcs boutants aux butées constituées par les aimants. Ils arrivent ensuite logiquement, via leurs essais et manipulations, à la coupe d’une construction en style gothique ! 19

Construction de voûtes. Fabrication d’une voûte. Mathématiques Construction de voûtes. Fabrication d’une voûte. 20

Enoncé élève: 1°Pour chacune de ces 3 voûtes ogives, écris un programme de construction qui permet de la tracer. On se propose de construire certaines voûtes remarquables en forme d’ogive. On observe les positions des centres des arcs de cercles ainsi que leurs rayons.

Enoncé élève: 2°On veut construire une voûte égyptienne. Voici le début d’un programme de construction: On trace l’arc de centre A et de rayon AB. On trace ensuite l’arc de centre C et de rayon CO. …. Le début du programme de construction a été proposé. Les élèves doivent terminer le figure. On peut faire la construction à la main avec les instruments de géométrie, ou bien avec un logiciel de géométrie dynamique. Le choix de cet outil dynamique peut être intéressent car il permet de faire varier les situations pour voir ainsi l’évolution de la voûte en fonction de certains paramètres.

Pré-requis ● Cercle et arc de cercle. ● Symétrie axiale. ● Demi-droite. Pour la fabrication d’une voûte : ● Proportionnalité. ● Périmètre et aire d’un disque. 23

Conclusions   ♦ une voûte est constituée d’un ou plusieurs arcs de cercle. ♦ une voûte a un axe de symétrie. 24

Exemple de construction d’une voûte à taille réelle On demande aux élèves de fabriquer une voûte romane et une voûte gothique à tailles réelles (exemple 40 cm de base et 30 cm de haut, avec du béton cellulaire). Le matériau proposé ici pour la construction est le béton cellulaire. Il peut être remplacé par des plaques en bois, par exemple … Plusieurs connaissances, capacités et attitudes sont sollicitées dans cette tâche complexe: Utiliser la proportionnalité. Déterminer le rayon et le périmètre d’un cercle. Effecteur des mesures. Construire des arcs de cercles, des segments et des quadrilatères en respectant des mesures. Calculer des longueurs. Etre précis. Prendre des initiatives. Mener à bien une tâche. Travailler en groupe. 25