Comment compresser avec le CODEC mlaw Jean-Paul Stromboni, mardi 4 mai 2004 ESSI 1, module SSI , 1h, amphi est Objectifs de la séance : Rappeler comment on quantifie un signal audio avec B bits Montrer comment on évalue le bruit de quantification Calculer le rapport signal sur bruit SNRdB(B) Justifier l’emploi d’une loi de quantification non uniforme Evaluer le CODEC mlaw à l’aide d’un exemple

Pour vous tester sur ce cours  On annonce un rapport signal sur bruit de 48dB. Qu’est ce que cela signifie précisément ? Donner l’expression de la loi m inverse : En général, le CODEC mlaw est-il plus performant que le CODEC MPEG audio layer 3 ? Quel est l’effet d’une réduction d’amplitude du signal x sur le SNR ? Un signal aléatoire x présente une répartition uniforme dans [-1,1]. Que peut-on en déduire ? Quand l’erreur de quantification augmente, quel est l’effet sur le rapport signal sur bruit ? Si le nombre de bits utilisés B diminue, quel est l’effet sur le rapport signal sur bruit ? On ramène nombre de bits de 12 à 8 avec le CODEC mlaw. Quel est le taux de compression résultant ?

Comment quantifier le signal issu du micro Quantifier l’échantillon : c’est le contraindre à une valeur parmi 2B possibles. L’intervalle [-1,1[ est dé-coupé en 2B intervalles Ii avec i = 0,1,2,… 2B-1 de la forme Ii = [ai,ai+D[ Si x(nTe) appartient à l’in-tervalle i, on lui associe dans la suite de ce cours : la valeur xi au centre de l’intervalle et le code binaire i sur B bits On définit ainsi l’erreur de quantification e(nTe) : Pour B = 8 bit, que vaut D ? Et dans ce cas que vaut l’intervalle I0 ?

Ce n’est pas la seule façon de quantifier 1. Ici, xi est le centre de l’intervalle (loi rouge). L’erreur est donc tantôt > 0, tantôt < 0, et nulle en moyenne. Elle varie entre ? valeur xi quantifiée -2-B et 2-B 2. on choisit pour xi dans un CAN, la borne inférieure de l’intervalle. L’erreur est donc toujours < 0. Elle varie entre ? 0 et -2-B+1 Amplitude x de l’échantillon à quantifier Préciser i, xi , et l’erreur de quantification avec les deux lois pour les valeurs x= 0.2 , x= -0.2, x= 0.9

On illustre la quantification avec Matlab La fonction numerise quantifie sur 8 bits les échantillons de s(t) et permet d’analyser l’er-reur de quantification : t=[0:1000]/44100; s=sin(880*pi*t); sq=numerise(s,8); %calculons l'erreur eq=sq-s; % étude de l'erreur max(eq) = 0.004 min(eq) = -0.004 mean(eq) = -3.6*10-5 std(eq) = 2.2*10-3 hist(eq, 64) Qu’observe t’on pour l’erreur ?

La qualité de la quantification se mesure en décibel au moyen du rapport signal sur bruit (ou SNR). L’erreur de quantification est centrée (à valeur moyenne nulle) : On en tire la variance de l’erreur et l’expression du rapport signal sur bruit (en décibel) :

On doit gérer l’erreur comme un signal aléatoire L’erreur de quantification e(nTe) est notée e : Elle est traitée comme un signal aléatoire, on dit aussi un bruit. On lui associe donc une densité de probabilité p(e) c’est-à-dire que la probabilité d’avoir est d’où la valeur moyenne de e : et la variance ou l’écart-type qui mesurent l’écart moyen de e à la valeur moyenne E(e) :

Hypothèse d’une erreur uniformément répartie L’hypothèse que p(e) est constante dans [-2-B,2-B] est d’autant plus plausible que : Quelle est la probabilité que ?

Il faut évaluer sx à partir du signal x(nTe) Pour calculer précisément le rapport signal sur bruit, on fera une étude statistique du signal, comme pour l’erreur de quantification. En pratique, x(nTe) n’occupe qu’une partie de l’intervalle [-1,1]. évaluer p(x) et sx si x est centré et uniformément réparti dans [-1,1[

On illustre avec le fichier piano_c3.wav [y,fe,b]=wavread('../Sons/piano_c3.wav'); disp(num2str(fe)) disp(num2str(b)) N=length(y) mean(y) std(y) hist(y,100) Nombre d’échantillons fe = 44100 Hz b = 16 bit N= 77566 max(y)= 0.8533 min(y)= - 0.9999 mean(y) = - 0.0012 std(y) = 0.1528 Valeurs des échantillons entre -1 et 1 Le signal x est il centré et uniformément réparti ? Quel est l’effet sur sx ?

Abaque donnant SNRdB(B) pour sx=1/3 L’écart type sx mesure l’occupation de l’interval-le [–1, 1] par le signal x. Voici le script Matlab qui trace l’abaque ci-contre avec sx=1/3 : sigx=1/3 b=0:16; SNR=6.02*b+4.77+20*log10(sigx); plot(b,SNR) grid xlabel('b=nombre de bits') ylabel('Signal to noise ratio (dB)') title('Tracé pour \sigma_x=1/3') Quel est l’écart de rapport signal sur bruit entre B=8bits et B=12bits ?

mlaw: loi de quantification non uniforme Les niveaux de quantification sont mal utilisés par le signal x(nTe) quand la répartition des échantillons n’est pas uniforme, il en résulte une chute de sx, donc du rapport signal sur bruit. Le CODEC mlaw applique une non linéarité Q[.] (voir ci-dessous) au signal x pour répartir mieux les valeurs des échantillons et donc augmenter le rapport signal sur bruit. Si on quantifie y= Q[x], on peut réduire le nombre de bit B en dégradant un peu le SNR, d’où on tire des taux de compression de l’ordre de C=3/2 (12 bits 8 bits) sur le signal vocal en téléphonie ou C=2 (16 bits 8 bits).

Tracé avec Matlab de y =Q[x] (ici m=28-1) function ymu=mulaw(x) mu=255; N=1+mu; ymu=sign(x).*log(1+mu*abs(x))/log(N); % puis dans l’interpréteur Matlab x=[-1:0.01:1]; plot(x,mulaw(x)) function [y]=invmulaw(xmu) mu=255; N=1+mu; y=sign(xmu).*(exp(log(N)*abs(xmu))-1)/mu; function yn=numerise(y,b) % code y sur b bit, retour dans yd % y est supposé varier entre -1 et 1 N=2^b; yn=(1+2*fix((y+1)*N/2))/N - 1; yn(length(yn))=yn(length(yn)-1);

Comment mlaw transforme piano_c3 b = 8 bit  SNR Quantifier mlaw inverse hist(x,64) hist(y,64) hist(y8,64) hist(xdec,64) 12000 12000 3000 3000 Que démontre cette chaîne ?

On vérifie que mlaw améliore le SNR Klf1.wav 8 bit m-1 snr1 8 bit snr2 [x,f,b]=wavread('../Sons/klf1.wav'); x8=numerise(x,8); std(x) y=mulaw(x); std(y) y8=numerise(y,8); xrec=invmulaw(y8); % calcul du rapport signal sur bruit er=x-x8; snr1=20*log10(std(x)/std(x-xrec)) snr2=20*log10(std(x)/std(er)) Résultats de MATLAB std(x) = 0.0541 std(y) = 0.3567 snr1 = 37.7157 dB snr2 = 27.5937 dB

Comment on utilise mlaw pour compresser piano_c3 m 8 bit m-1 1/8 [x,fs,b]=wavread('../Sons/piano_c3.wav'); xdiv8=x/8; % on divise le signal par 8 pour dégrader SNR x8=numerise(xdiv8,8); % on numérise sur 8 bit % numérise est une fonction à écrire par ailleurs % compression : on applique la loi mu y=sign(xdiv8).*log(1+255*abs(xdiv8))/log(256); y8=numerise(y,8); % décompression : on applique la loi mu inverse xrec=sign(y).*(256.^abs(y8)-1)/255; sound([8*x8;8*xrec],fs) % on joue les deux sons Comparer x8 et y8 et évaluer le taux de compression