1 – OBJET DE LA CINÉMATIQUE La cinématique est la partie de la mécanique qui étudie : les mouvements sans tenir compte des forces qui les ont provoqués. On étudiera donc : Les vitesses Les trajectoires Les espaces parcourus Les accélérations

LES REFERENCES Mvt 1/0 01 LE SOLIDE DE RÉFÉRENCE Le mouvement d’un solide est défini par rapport à un autre solide pris comme référence. Ce dernier est donc appelé : SOLIDE DE RÉFÉRENCE Notation : le mouvement du cycliste 1 par rapport au sol 0 sera noté : 1 Mvt 1/0

LES REFERENCES t t = 0 avant après L’unité de temps est la seconde LE REPÈRE DE TEMPS En mécanique classique, le temps est considéré comme absolu et uniforme : t t = 0 avant après L’unité de temps est la seconde LE SYSTEME DE RÉFÉRENCE Il se compose de 2 éléments  y x z Repère de temps Repère d'espace

MOUVEMENT ABSOLU OU RELATIF Le mouvement est dit « ABSOLU » s’il est décrit par rapport à un système de référence absolu, c’est-à-dire un référentiel au repos absolu (pour nous : la terre). Le mouvement est dit « RELATIF » s’il est décrit par rapport à un système de référence relatif, c’est-à-dire un référentiel en mouvement. Référentiel relatif X1 Y1 Z1 Référentiel relatif X2 Y2 Z Référentiel absolu Xo Yo Zo

LES TRAJECTOIRES A' B' TA1/2 TA2/0 segment AA’ TB2/0 segment BB’ DÉFINITION : courbe définie par les positions successives d’un point appartenant à un solide en mouvement. NOTATION : la trajectoire du point A appartenant au solide 1 par rapport au solide 2 sera notée  TA1/2 1 2 A B C C' A' B' TA2/0 segment AA’ TB2/0 segment BB’ TC1/2 cercle centre B rayon BC TB1/2 point B TC1/0 cycloïde CC’

Autres exemples de trajectoires : Parabole Lune Terre Ellipse

Mouvement de translation Translation rectiligne MOUVEMENT DES SOLIDES Mouvement de translation Si la trajectoire de chaque point est une droite, on parle de Translation rectiligne

MOUVEMENT DES SOLIDES Translation circulaire Si la trajectoire de chaque point est un cercle mais que le solide ne change pas d’orientation pendant le mouvement, on parle de : Translation circulaire

MOUVEMENT DES SOLIDES Mouvement de rotation Lorsque la trajectoire de chaque point est un cercle et que le solide change d’orientation pendant le mouvement.

Translation rectiligne Translation circulaire MOUVEMENT DES SOLIDES A tracez les trajectoires TA4/0, TB2/0, TC1/0 B E D C Solides Mouvement Caractéristiques 1 / 0 2 / 0 4 / 0 3 / 0 Translation rectiligne Axe du piston complétez le tableau . Rotation Centre D Rotation Centre E Translation circulaire

Lorsque la trajectoire est une courbe quelconque mais dans le plan : MOUVEMENT DES SOLIDES Mouvement plan Lorsque la trajectoire est une courbe quelconque mais dans le plan :

Translation rectiligne MOUVEMENT DES SOLIDES Exemple : Le mouvement du piston rouge est : Translation rectiligne Le mouvement de la biellette bleue est : Rotation Le mouvement de la bielle verte est : Mouvement plan

APPLICATION : BRIDE HYDRAULIQUE 1 2 3 4 5 A B D E F G H Définissez les mouvements entre solides : Définissez les trajectoires et tracez-les Mouvement Caractéristiques 1/0 2/0 3/0 4/0 5/0 4/5 Rotation Centre B TG1/0 Cercle centre B rayon BG Mouvement plan Rotation Centre A TC1/0 Cercle centre B rayon BC Mouvement plan TD3/0 Cercle centre A rayon AD Rotation Centre E Translation rectiligne Axe du vérin TF4/5 Axe du vérin TH5/0 Cercle centre E rayon EH

MOUVEMENT RECTILIGNE UNIFORME 1- DÉFINITION  La trajectoire est une droite La vitesse est constante L’accélération est nulle 2- LOIS DU MOUVEMENT a(t) = 0 Accélération en m.s-2 vo: vitesse initiale vo v(t) = v0 Vitesse en m.s-1  e t e(t) = v0 x t e / t = tan  = v la pente de la droite est proportionnelle à la vitesse v peut être <0 Espace parcouru en m e(t) = e0  (v0 x t) e0 Si un espace e0 a déjà été parcouru au temps t=0 : e0 si v<0 : e=0 quand v0t=e0

APPLICATION e(km) t(mn) 20 12 40 A B C D E diagramme e(t) simplifié du déplacement d’un véhicule : le diagramme v(t) : Temps mis Espace parcouru Vmoy en km.h-1 Vmoy en m.s-1 A B C D E TOTAL v(t) t 40 10 12 72 20 5 5 8 96 26.7 5 15 20 80 22.2 40 40 60 16.7

MOUVEMENT RECTILIGNE UNIFORMEMENT VARIE 2- LOIS DU MOUVEMENT 1- DÉFINITION  a0 La trajectoire est une droite La vitesse est variable L’accélération est constante a(t) = a0 a peut être < 0 v(t) = v0  (a0 x t) v0 v0 v(t) = a0 x t a < 0 e(t) = e0 + (v0xt) + (½a0 x t2) si a < 0 e(t) =½ a0 x t2

APPLICATION : CHARIOT DE DÉCOUPE PLASMA Le chariot de cette machine atteint la vitesse de 10cm.s-1 en 2 secondes (phase 1). Il évolue ensuite à vitesse constante pendant 8 secondes (phase 2), puis s’arrête sur 12,5cm (phase 3). Les accélérations et décélérations sont constantes. Déterminez les équations de mouvement pour les 3 phases, puis tracez les courbes correspondantes a = v / t = 10 / 2 5 a = v²/2e = 100/25 10 5t -4 10t + 10 2.5 t² 90 -4t+V0 10 -2t²+10t + 90 t = -v0 / a = 10 / 4 2.5 102.5

MOUVEMENT CIRCULAIRE UNIFORME 1- DÉFINITION  La trajectoire est un cercle La vitesse est constante L’accélération est nulle 2- LOIS DU MOUVEMENT Grandeur Définition Unité    Accélération angulaire Rad.s-2  Vitesse angulaire Rad.s-1 Angle parcouru rad  = 0 (t) = 0 (t) = 0 x t

MOUVEMENT CIRCULAIRE UNIFORME 3- VITESSE DU POINT Pendant la rotation, le point B passe de B0 à B1. Il parcourt la distance eB. Sa vitesse linéaire (en m.s-1 ) est : £VB O B1 eB B0 R vB = 0 x R L’espace qu’il parcourt (en m) est : eB = 0 x R x t R est la distance du point à l’axe de rotation 4- Fréquence de rotation La fréquence est l’expression d’un nombre d’évènements par unité de temps. Exemple : la rotation d’une broche de perceuse exprimée en tours par minute. Relation entre vitesse angulaire / vitesse linéaire / fréquence de rotation :  =  N /30  N R /30 v =

Rapport Zplateau/Zpignon Développement maxi Développement mini Unité Zplateau Zpignon Rapport Zplateau/Zpignon Npédalier t.mn-1 ωpédalier rad.s-1 Nroue arrière ωroue arrière vcycliste m.s-1 Km.h-1 vchaîne vpédale APPLICATION 52 39 13 22 4 1.77 60 60 Plateaux 52 dents (ø210) et 39 dents (ø160) Pignons 13/14/15/16/17/18/19/20/21/22 Fréquence de pédalage : 1 tour par seconde Roues ø700 Manivelles longueur 175 60/30= 6.28 60/30= 6.28 60x4= 240 60x1.77= 106.2 240/30= 25.13 106.2/30= 11.12 25.13x0.35= 8.79 11.12x0.35= 3.89 8.79x3600/1000= 31.66 3.89x3600/1000= 14 6.28x0.105= 0.65 6.28x0.08= 0.5 6.28x0.175= 1.1 6.28x0.175= 1.1

Le cycliste roule à vitesse constante pendant 30 minutes Développement maxi Développement mini Distance parcourue km Nb de tours de roue Nb de tours pédalier 31.66/2= 15.83 14/2= 7 15830/0.7= 7198 7000/0.7= 3183 7198/4= 1800 3183/1.77= 1800

VECTEURS VITESSE et ACCÉLÉRATION TRANSLATION RECTILIGNE G 1 La vitesse instantanée d’un point peut être modélisée par un vecteur : VG1/0 VG1/0 Caractéristiques de ce vecteur : - point d’application : - direction : - sens : - module  G aG1/0 celle de la translation celui du mouvement v Remarque : tous les points du solide en translation ont des vecteurs vitesse identiques. L’accélération du point peut aussi être modélisée par un vecteur  Caractéristiques de ce vecteur : - point d’application : - direction : - sens : - module  aG1/0 G celle de la translation du mouvt si a>0, sinon sens inverse a Remarque : tous les points du solide en translation ont des vecteurs accélération identiques.

VECTEURS VITESSE et ACCÉLÉRATION ROTATION A 1 La vitesse instantanée d’un point peut être modélisée par un vecteur : VA1/0 Caractéristiques de ce vecteur : - point d’application : - direction : - sens : - module  A tangente en A à la trajectoire VA1/0 de la rotation v =  x R Remarque : les vitesses sont proportionnelles à la distance point / centre de rotation. aTA1/0 Les accélérations : il en existe deux : une normale aN et une tangentielle aT. aT n’existe pas si la rotation est uniforme. Elle peut être modélisée par un vecteur : Caractéristiques de ce vecteur : - point d’application : - direction : - sens : - module  A tangente en A à la trajectoire de la rotation si a>0 sinon inverse a

MOUVEMENT PLAN AH = BK ÉQUIPROJECTIVITÉ Soient deux points A et B appartenant à un même solide S, VB€S/R B K H A VA€S/R Les projections orthogonales sur AB des vecteurs vitesses VA€S/R VB€S/R sont égales : AH = BK Pour pouvoir appliquer cette propriété, il faut connaître : intégralement une des 2 vitesses le support de la seconde

La droite OB est le support de MOUVEMENT PLAN EXEMPLE : système vilebrequin(1)-bielle(2)-piston(3) Connaissant la vitesse en rotation du vilebrequin, déterminer graphiquement la vitesse linéaire du piston. VA1/0 1/0 = 100 rad.s-1 OA=30mm 1 2 3 A B O H VA1/0 = ω.R = 100 × 0.03 = 3 m/s K La bielle 2 et le piston 3 sont articulés au pt B donc : VB2/0 VB3/0 VB2/0 = Le piston 3 est en Mvt de translation rectiligne, donc la trajectoire du pt B est la droite OB La droite OB est le support de VB3/0 VB2/0 et mesurer Bb : mm  VB3/0 = m.s-1 25 2.5

MOUVEMENT PLAN DOUBLE EQUIPROJECTIVITÉ Si l’on connaît intégralement les vitesses de 2 points d’un solide, on peut déterminer la vitesse de tout autre point en appliquant 2 fois l’équiprojectivité  B VB VA B2 A C1 A1 C C2 VC La méthode est impossible de cette façon si les 3 points sont alignés. Il faut alors utiliser la méthode du CIR

La vitesse est proportionnelle au rayon MOUVEMENT PLAN Centre instantané de rotation : CIR Dans tout solide en mouvement plan, il existe un seul point ayant une vitesse nulle à un instant donné. On l’appelle Centre Instantané de Rotation. VC VA VA VC A C VB B VB O A C B OA >OC >OB donc : Le pt O est le CIR O VC VB VA > La vitesse est proportionnelle au rayon

MOUVEMENT PLAN V EXEMPLE 1: V A= 4 m/s V B= 3,6 m/s Vc V C= 5,1 m/s C CIR B

MOUVEMENT PLAN A 2 1 B O 3 1/0 = 100 rad.s-1 EXEMPLE 2: CIR C On reprend le système de la page 12 Déterminez la vitesse du point milieu de la bielle 2. Données : 1/0 = 100 rad.s-1 OA=30mm Échelle 10mm1m.s-1 CIR VA1/0 = ω.R = 100 × 0.03 = 3 m/s VC2/0 = 2.5 m/s VC2/0 VA1/0 VA2/0 1 2 3 A B O C VB2/0

COMPOSITION DES VITESSES Le mouvement de la charge par rapport au sol est le composé de 2 autres mouvements : charge par rapport au portique portique par rapport au sol 1 2 Mvt2/1 A Mvt2/0 Mvt1/0 Mvt2/0 = Mvt2/1 + Mvt1/0

COMPOSITION DES VITESSES relation de composition des vitesses pour un point A de la charge : 1 2 A VA2/1 VA1/0 VA2/1 VA2/0 VA2/0 VA1/0 VA2/0 = VA2/1 + VA1/0

COMPOSITION DES VITESSES le portique se déplace vers la droite à 0,5 m.s-1 - la charge descend à 0,2 m.s-1 Exemple : Tracez les vecteurs-vitesses du point A2/1 puis A1/0 Tracez le vecteur-vitesse du point A2/0 Mesurez sa norme :_______mm et calculez la valeur de la vitesse :__________ m.s-1 54 0.54 1 2 A VA1/0 VA2/1 VA2/0 Par le calcul : VA2/0 = 0.54 m.s-1

B C A  = V/R = 72 / 7200 = 0.01rad/s rotation rotation VB3/0 = Mvt3/0 : _______________ donc le vecteur vitesse de B3/0 est  en B à BC rotation Mvt1/0 : _______________ donc le vecteur vitesse de B1/0 est  en B à AB rotation VB3/0 = VB3/2 + VB2/1 + VB1/0 A C B 3 2 1 Échelle 1 :100 VB3/0 B étant le centre de la rotation 3/2 VB1/0 VB3/2 = 0 VB3/0 = VB2/1 + VB1/0 VB2/1 Mvt2/1 : le mouvement est une translation VB2/1 = 2 cm.s-1 VB3/0 = mm  cm.s-1 72 7.2 VB1/0 = mm  cm.s-1 66 6.6 Calcul de 3/0  = V/R = 72 / 7200 = 0.01rad/s