Comparaison de plusieurs moyennes Analyse de variance FRT C5

Question posée Etude de la relation entre Une variable qualitative à plus de 2 classes Une variable quantitative X résumée par sa moyenne et sa variance

Question posée Etude de la relation entre Une variable qualitative à plus de 2 classes Une variable quantitative X résumée par sa moyenne et sa variance La variable qualitative qui distingue les populations est le facteur étudié; il peut être aléatoire ou fixe Comparaison du poids moyen de plusieurs portées de souris : facteur « portée » est aléatoire Comparaison d’un dosage biologique chez 3 groupes de malades traités par 3 traitements différents : facteur traitement est fixe Même problème mais 1 groupe recevant un placebo

Hypothèses H0 : 1 = 2 = ……. = k H1 : il existe au moins une différence entre les k moyennes (2 moyennes parmi k sont ≠) On fera l’hypothèse que la variance est la même ² dans les k populations Exemple : k=3, même variance ² Sous H1, 1,2,3 sont différentes en regroupant, la moyenne générale est  et la variance totale T²

Représentation graphique ² T² X 2 ● 1 ●  ● 3● H1 : les moyennes sont différentes La variance totale T²est plus grande que la variance ² de chaque population et d’autant plus grande que les moyennes sont + dispersées

Hypothèses H0 : 1 = 2 = ……. = k H1 : il existe au moins une différence entre les k moyennes On fera l’hypothèse que la variance est la même ² dans les k populations Exemple : k=3, même variance ² Sous H1, 1,2,3 sont différentes en regroupant la moyenne générale est  et la variance totale T² Si H0 est vraie, T² = ²

Représentation graphique ² T² T² ² 2 ● 1 ●  ● 1 ● 2 ● 3●  ● 3● H0 : moyennes et variances étant égales dans les 3 populations, T² = ² H1 : les moyennes sont différentes La variance totale T²est plus grande que la variance ² de chaque population et d’autant plus grande que les moyennes sont + dispersées

Principe On peut comparer les moyennes de X dans les différentes populations en comparant la var ² de X à « l’intérieur » de chacune des populations à la var T² On transforme le problème initial en une comparaison de variance = analyse de variance

Principe On peut comparer les moyennes de X dans les différentes populations en comparant la var ² de X à « l’intérieur » de chacune des populations à la var T² On transforme le problème initial en une comparaison de variance = analyse de variance L’ampleur de la dispersion totale de T² dépend : De la dispersion au sein de chacune des k populations comparées, mesurée par ² De la dispersion entre ces populations

Principe de l’ANOVA Décomposer la dispersion (=variabilité) totale en 2 parties permettant de distinguer : variabilité intra population et variabilité inter population Puis comparer ces 2 parties

Principe de l’ANOVA Décomposer la dispersion (=variabilité) totale en 2 parties permettant de distinguer : On s’intéresse à la somme des carrés des écarts qui est le numérateur de la variance Une réécriture de la SCET permet de faire apparaître SCET =  (xij – mj)² +  nj(mj – m)² = SCER + SCEA ij ij intra groupe inter groupes *résiduelle : ce qui reste une fois le facteur d’intérêt pris en compte résiduelle* ou intraclasses à (n-k) ddl due au facteur A ou interclasses à (k-1) ddl

Principe de l’ANOVA Les variances sont donc : Hypothèses : SCER et SCEA et sR²est une n – k k – 1 estimation de ² Hypothèses : H0 : A² = R² = ² H1 : A² > R² Test : sA² SCEA/(k-1) suit une loi de Fisher sR² SCER/(n-k) à (k-1) et (n-k) ddl notée F = k-1 n-k

Quand faire une ANOVA Quand la question posée est celle d’une comparaison globale de plusieurs moyennes 3 molécules anti-virales, mesure de la charge virale à S4 Il n’y a pas d’a priori sur la supériorité de l’une ou les autres Comparaison des 3 : Non rejet d’H0 : on ne peut pas conclure à une différence Si H0 est rejetée, il est légitime de rechercher où se situe la différence par comparaisons 2 à 2

Erreurs à éviter X X     =  m2 m1   1 ● 2 ● 3●  m3  Les fluctuations d’échantillonnage rendent compte d’une différence non significative entre les 3 moyennes Il ne serait pas correct de comparer d’emblée 2 à 2, et notamment m2 et m3 qui sont les plus éloignées de 