Problème de génération : Illustration & Méthodes Plan Problème de génération : Illustration & Méthodes Algorithmique d’énumération Graphe de Transitions des cliques maximales Modification des données du problème

Plan Algorithmique d’énumération Graphe de Transitions des cliques maximales Modification des données du problème

Problème d’Enumération … … … ? ? ? ? ? ? ? Sortie Entrée S, une structure discrète Configurations de S vérifiant une propriété P Graphe Cliques maximales Graphe Biparti Bicliques maximales Hypergraphe Transversaux minimaux . . .

Problème d’Enumération … … … ? ? ? ? ? ? ? Sortie Entrée Configurations de S vérifiant une propriété P S, une structure discrète Complexité polynomiale (en temps total) Fonction de la taille de l’entrée et de la sortie O(( |S| . N )k)

Problème d’Enumération Domaines IA, apprentissage, BD Représentation de connaissances Découverte de connaissances Itemsets fermés fréquents Panier de la ménagère Communautés virtuelles Dépendances fonctionnelles Expression de gènes

Problèmes d’Enumération Méthodes classiques Énumération bijective Codes de Gray Diviser pour régner Parcours lexicographiques … 2 12 3 13 23 123 Ø 1 Retour-arrière( ) 2 12 3 13 23 123 Ø 1 Code de Gray Ø 1 12 123 13 2 Suivant( ) 23 3

Plan Algorithmique d’énumération Graphe de Transitions des cliques maximales Modification des données du problème

Graphe de Transitions des cliques maximales d’un graphe Enumération des cliques maximales d’un graphe 126 1 6 1 1 5 1 1 256 3 2 3 6 13 4 5 4 4 245 3 2 4 3 34 Graphe de Transitions des cliques maximales d’un graphe Vision unifiée d’algorithmes classiques [Tsukiyama & al. 77] [Johnson & al.88] [Cai & Kong 92] « Extension » d’un code de Gray

Graphe de Transitions des cliques maximales d’un graphe 126 Graphe de Transition Première clique identifiable Connexe Arborescences recouvrantes Parcours 5 256 3 13 4 245 4 34 Graphe de Transitions des cliques maximales d’un graphe Etude de la structure de ce graphe (parcours hamiltonien, arcs superflus) Classes de Graphes & Graphes de transitions associés

Extension aux hypergraphes Graphe de transitions des cliques maximales 126 Graphe de Transition Première clique identifiable Connexe Arborescences recouvrantes Parcours 5 256 3 13 4 245 4 34 Extension aux hypergraphes Enumération des stables maximaux, des transversaux minimaux

Plan Algorithmique d’énumération Graphe de Transitions des cliques maximales Modification des données du problème

Base d’implications minimale Illustration : Base d’implications Système de fermeture db, c  a, abc  d, abd  c abcd bd ab ac b a O((n.N)k) Base d’implications minimale Dualisation de fonctions de Horn DF d’une base de données Stables maximaux d’un hypergraphe ? O((n.N)k) Graphe Biparti

Modification des données Algorithme polynomial (entrée et sortie) inconnu Eléments « dépendants » ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?

Retrait incrémental d’implications Modification des données Retrait incrémental d’implications ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ca ? ? ? ? - ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?

Modification des données d’entrées du problème ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? … ?

Modifications inconnues Modification des données d’entrées du problème Ajout d’implications : Contrôler les modifications ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ca Modifications inconnues

Modification des données d’entrées du problème ajout d’implications ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? + cb cb ? uv xy cb

Modification des données d’entrées du problème Ajout d’implications : Jouer avec les symétries ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? + ab ab ? ab

Enumération exhaustive Conclusion +/- Approches et problèmes liés Modification des données d’un problème Recherche d’une base d’implications Merci. Questions ? Enumération exhaustive Graphe de Transitions des Cliques maximales, bicliques maximales