Treillis démantelables & X-hyper-arbres Alain Gély LITA, Université Paul Verlaine, Metz gely@univ-metz.fr Journée des Treillis Lorrains Nancy 1er Décembre 2008 I. Treillis démantelables : Définitions & propriétés II. Hiérarchies, quasi-hiérarchies, treillis démantelables III. Treillis démantelables, hyper-arbres et X-hyper-arbres

PLAN I. Treillis démantelables : Définitions & propriétés II. Hiérarchies, quasi-hiérarchies, treillis démantelables III. Treillis démantelables, hyper-arbres et X-hyper-arbres

Treillis démantelables : Définitions & propriétés Soit un treillis T J(T) famille des éléments sup-irréductibles de T M(T) famille des éléments inf-irréductibles de T Irr(T) famille des éléments doublement-irréductibles de T 1 2 3 4 5 6 7 5 3 4 1 2 J(T) = 1, 2, 3 M(T) = 4, 5, 6 Irr(T) = Ø J(T) = 1, 2, 4 M(T) = 1, 3, 4 Irr(T) = 1, 4

Treillis démantelables : Définitions & propriétés 5 5 5 3 4 3 1 2 2 Ø J(L) = 1, 2, 4 M(L) = 1, 3, 4 Irr(L) = 1, 4 J(L) = 2, 3, 5 M(L) = 0, 2, 3 Irr(L) = 2, 3 J(L) = 5 M(L) = 0 Irr(L) = Ø Étape 1 Étape 2 Étape 3 Étape 4

Treillis démantelables : Définitions & propriétés

Treillis démantelables : Définitions & propriétés coeur (core)

Treillis démantelables : Définitions & propriétés Caractérisation (Rival 74) Soit T un treillis, les propriétés ci-dessous sont équivalentes T est démantelable l(Sub(T)) = |T| Irr(S) ≠ Ø pour tout sous-treillis S de T pour toute chaine C de T il existe un entier positif n et une chaine C =S0  ...  Sn = T de sous-treillis de T tq |Si|=|Si-1|+1 pour tout i=1,2,...,n

Treillis démantelables : Définitions & propriétés planaire  démantelable démantelable  planaire

Treillis démantelables : Définitions & propriétés planaire  démantelable démantelable  planaire note : planarité du diagramme de Hasse note : planarité du diagramme de Hasse

Treillis démantelables : Définitions & propriétés 8 8 7 7 5 6 4 6 3 1 2 5 1 3 2 4 démantelable ∩ atomique planaire 

Treillis démantelables : Définitions & propriétés Peut-on considérer un treillis démantelable comme obtenu à partir de la famille des cliques maximales d'un graphe ? 1234 G 12 23 34 1 2 3 4 2 3

Treillis démantelables : Définitions & propriétés Peut-on considérer un treillis démantelable comme obtenu à partir de la famille des cliques maximales d'un graphe ? 1234 G 1 2 12 23 34 14 1 2 3 4 4 3 D. Kelly, I. Rival, Crowns, fences, and dismantlable lattices, Canad. J. Math. 26. (1974), 1257–1271 12 23 34 14 Un treillis est démantelable ssi il ne contient pas de couronne 1 2 3 4 couronne (crown)‏

graphe cordés / treillis démantelable Treillis démantelables : Définitions & propriétés 2 1 3 12345 4 5 parallèle graphe cordés / treillis démantelable élément simplicial / graphe trivial élément doublement irréductible / treillis trivial 12 23 34 45 15 1 2 3 4 5

Treillis démantelables : Définitions & propriétés 1 2 3 235 4 5 6 124 245 235 456 45 24 25 G un graphe triangulé nécessaire non suffisant 2 4 5

Treillis démantelables : Définitions & propriétés 1 2 3 235 4 5 6 124 245 235 456 G un graphe triangulé nécessaire non suffisant Ensembles s'intersectant deux à deux 24 25 45 2 4 5 Intersection vide

? Treillis démantelables : Définitions & propriétés G graphe triangulé Graphes cliques-helly

Treillis démantelables : Définitions & propriétés 1 2 3 7 1234567 4 5 6 1247 2457 2357 4567 247 257 457 27 47 57 7

PLAN I. Treillis démantelables : Définitions & propriétés II. Hiérarchies, quasi-hiérarchies, treillis démantelables III. Treillis démantelables, hyper-arbres et X-hyper-arbres

Hiérarchies, quasi-hiérarchies, treillis démantelables F une famille d'ensembles sur X tq 12345 {x} F X F pour A, B F , soit 12 34 56 A ∩ B = Ø A  B B A 1 2 3 4 5 6

Hiérarchies, quasi-hiérarchies, treillis démantelables F une famille d'ensembles sur X tq 12345 {x} F X F A ∩ B ∩ C  {A ∩ B , B ∩ C , A ∩ C} 12 23 34 45 1 2 3 4 5

Hiérarchies, quasi-hiérarchies, treillis démantelables F une famille d'ensembles sur X tq 12345 {x} F X F A ∩ B ∩ C  {A ∩ B , B ∩ C , A ∩ C} 12 23 34 45 15 1 2 3 4 5 (1) Quasi-hierarchie  treillis démantelable

Hiérarchies, quasi-hiérarchies, treillis démantelables (1) Quasi-hierarchie  treillis démantelable (2) treillis démantelable  Quasi-hiérarchie Preuve par la contraposé A B C A B C A∩B B∩C A∩C A∩B B∩C A∩C A∩B∩C

hypergraphe d'intervalle Hiérarchies, quasi-hiérarchies, treillis démantelables " Main cluster structures dealt with in data analysis range from well-known hierarchies to quasi-hierarchies [14]. Between hierarchies and quasi-hierarchies are pyramids [16]. Between hierarchies and pyramids are 2-3 hierarchies [5] (...) " Cluster structures and collections of Galois closed entity subsets, Mohammed Benayade, Jean Diatta Discrete Applied Mathematics 156 (2008) 1295-1307 quasi-hierarchie non-planaire démantelable ∩ atomique ? (pyramides, pseudo-hiérarchies)‏ hypergraphe d'intervalle planaire 2-3 hiérarchie hierarchie

hypergraphe d'intervalle Hiérarchies, quasi-hiérarchies, treillis démantelables " Main cluster structures dealt with in data analysis range from well-known hierarchies to quasi-hierarchies [14]. Between hierarchies and quasi-hierarchies are pyramids [16]. Between hierarchies and pyramids are 2-3 hierarchies [5] (...) " Cluster structures and collections of Galois closed entity subsets, Mohammed Benayade, Jean Diatta Discrete Applied Mathematics 156 (2008) 1295-1307 quasi-hierarchie démantelable ∩ atomique ? ? X-hyper-arbres hypergraphe d'intervalle hierarchies

PLAN I. Treillis démantelables : Définitions & propriétés II. Hiérarchies, quasi-hiérarchies, treillis démantelables III. Treillis démantelables, hyper-arbres et X-hyper-arbres

Treillis démantelables, hyper-arbres et X-hyper-arbres Question : Y-a-t-il un lien entre les X-hyperarbres et les treillis atomiques démantelables (t.a.d) ? démantelable ∩ atomique quasi-ultramétriques cordées / X-hyperarbres ? Réponse : X-hyperarbres et t.a.d sont équivalents

( la fermeture par intersection d'un hyper-arbre est un hyper-arbre )‏ Treillis démantelables, hyper-arbres et X-hyper-arbres Caractérisation : Un hypergraphe H = (X,E) est un hyper-arbre ssi les deux conditions suivantes sont vérifiées : Le graphe d'intersection de H est cordé La propriété de Helly doit être vérifiée pour H duchet 1978 ade X = {a,b,c,d,e} E = {ade, abe, bce, cde} cde abe bce ( la fermeture par intersection d'un hyper-arbre est un hyper-arbre )‏

Treillis démantelables, hyper-arbres et X-hyper-arbres X-hyper-arbre : Un X-hyper-arbre est un hyper-arbre H=(X,E) tel que toute restriction H'=(Y,E), Y X soit un hyperarbre exemple ab X = {a,b,c} E = {a, ab, ac, b} a b ac X = {a,b,c} E = {a, ab, ac, b} X = {a,b,c} E = {a, ab, ac, b} X = {a,b,c} E = {a, ab, ac, b} b a ab c ac a b

Treillis démantelables, hyper-arbres et X-hyper-arbres Exemple : hyper-arbre dont la restriction n'est pas un hyper-arbre ade X = {a,b,c,d,e} E = {ade, abe, bce, cde} cde abe bce Y = {a,b,c,d,e} E = {ade, abe, bce, cde} ad cd ab bc

mq si (F , ) est démantelable, alors F est un X-hyper-arbre Treillis démantelables, hyper-arbres et X-hyper-arbres Soit F un système de fermeture, mq si (F , ) est démantelable, alors F est un X-hyper-arbre Preuve (1/3) F est un hyper-arbre, en effet : (1) Soient A,B,C F, A ∩ B ∩ C  {A ∩ B , B ∩ C , A ∩ C} (quasi-hierarchie)‏  propriété de Helly (2) Supposons le graphe d'intersection de F non cordé A1 A1 A2 Ai A2 Ai   Contradiction

mq si (F , ) est démantelable, alors F est un X-hyper-arbre Treillis démantelables, hyper-arbres et X-hyper-arbres Soit F un système de fermeture, mq si (F , ) est démantelable, alors F est un X-hyper-arbre Preuve (2/3) mq toute restriction de F est un hyper-arbre : La restriction d'un système de fermeture est un système de fermeture xA xB xA B xA∩B A∩B cas 1 cas 2 Toute restriction (F' , ) de (F , ) démantelable est démantelable

mq si (F , ) est démantelable, alors F est un X-hyper-arbre Treillis démantelables, hyper-arbres et X-hyper-arbres Soit F un système de fermeture, mq si (F , ) est démantelable, alors F est un X-hyper-arbre Preuve (3/3) Toute restriction (F' , ) de (F , ) démantelable est démantelable Supposons le contraire A B C D A∩B B∩C C∩D D∩A présence d'une couronne pour (F' , ) sur X \ {x} présence d'une couronne pour (F , ) sur X : contradiction

mq si F est un X-hyper-arbre, alors (F , ) est démantelable Treillis démantelables, hyper-arbres et X-hyper-arbres Réciproquement, Soit F un système de fermeture, mq si F est un X-hyper-arbre, alors (F , ) est démantelable Preuve (1/1)‏ contraposé : si (F , ) n'est pas démantelable alors F n'est pas un X-hyper-arbre, A1 A2 Ai x1 x2 xn restriction de X à { x1 , x2 , ... , xn } graphe d'intersection non cordé il existe une restriction qui n'est pas un hyper-arbre F n'est pas un X-hyper-arbre

CONCLUSION Merci. Conclusion Soit F un système de fermeture, F est un X-hyper-arbre  (F , ) est démantelable A suivre... Application à la classification (cf. exposé François Brucker) Merci.