Maître de conférences – Université Paris Diderot (Paris 7) Introduction à la Mécanique Quantique N. Battaglini Maître de conférences – Université Paris Diderot (Paris 7) Téléphone : 0157278858 Courriel : nicolas.battaglini@univ-paris-diderot.fr niveau L3 – année 2010-2011

Plan du cours (15 heures) ¤ fonction d’onde et probabilité de présence -I- Introduction à la théorie des quanta ¤ dualité onde corpuscule ¤ quantification de l’énergie dans l’atome ¤ mesure et processus aléatoires -II- Concepts de la mécanique quantique (postulats) ¤ fonction d’onde et probabilité de présence ¤ mesure, opérateurs et équation de Schrödinger ¤ paquet d’onde et principe d’incertitude de Heisenberg -III- Étude de systèmes quantiques ¤ puits de potentiel : niveaux d’énergie, états stationnaires ¤ oscillateur harmonique (spectroscopie vibrationnelle) ¤ système à 2 niveaux : évolution temporelle (maser) ¤ barrière de potentiel : effet tunnel (microscopie) ¤ moment magnétique et spin : (électronique de spin)

Les comportements quantiques sont dominants dans le monde microscopique classique nanotechnologie

Dispositifs quantiques "au quotidien" La compréhension des phénomènes régissant les interactions entre lumière et matière à l’échelle microscopique a permis le développement d’une multitude d’applications. LASER micro-processeur disque dur GPS four micro-onde imagerie médicale IRM microscope à effet tunnel

Bibliographie

Un peu d’histoire des sciences : -I- Introduction à la théorie des quanta ¤ mise en échec de la mécanique classique ¤ dualité onde corpuscule ¤ quantification de l’énergie dans l’atome Un peu d’histoire des sciences : Édification de la mécanique quantique Retour en 1900…

2 concepts issus de la Physique Classique : Ondes et Particules Continues Position approximative Diffractent Interfèrent Particules Discrètes (ponctuelles) Position et impulsion bien définies à tout instant Classiquement, ne diffractent pas et n’interfèrent pas Position définie (xo,yo,zo) Déplacement mécanique ou électromagnétique Origine ponctuelle de la masse Impulsion définie m(vox,voy,voz) Propagation de l’énergie Masse nulle

Physique Classique Complète hégémonie jusqu’à la fin du 19ème siècle Mécanique newtonienne (Newton – fin XVIIème siècle) Électromagnétisme et Optique (Maxwell – XIXème siècle) Thermodynamique classique (2ème moitié du XIXème siècle) Résultats marquants pour les objets et les systèmes macroscopiques Dynamique du système solaire Modèle de la lumière comme une onde électromagnétique Relation entre Chaleur et Énergie Principaux concepts de la Physique Classique électricité, magnétisme et optique → équations de Maxwell objets matériels → lois de Newton du mouvement Forces agissant sur le système + valeurs des positions et impulsions à l’instant to => détermination des positions et impulsions à tout instant : trajectoire

L’électron comme une particule élémentaire J.J. Thomson, vers la fin du 19ème siècle Expériences du "rayonnement cathodique" Découverte de la charge négative de l’électron Mesure du rapport charge/masse q/m = 1,759 x 1011 C/kg Identification de l’électron comme une particule fondamentale L’amplitude de la déflexion dépend du rapport q/m Aimant Plaques chargées Écran de détection charges + et – déviées en sens opposés Rayons cathodiques

L’électron comme une particule élémentaire R. Millikan (vers 1906) gouttes d’huile chargées placées dans un champ électrique uniforme. la charge électrique des gouttes est un multiple de la charge de l’électron : |q| = n |e| valeur de la charge + résultats de Thomson => masse de l’électron. chute libre stoppée électrostatiquement chute libre e = 1,602x10-19 C me= 9,109x10-31 kg La charge à appliquer est un multiple entier de e

La lumière comme une onde T. Young (1773-1829) : Diffraction et Interférences Interférences destructives lorsque les deux crêtes des ondes se rencontrent en opposition de phase. Interférences constructives lorsque les deux crêtes des ondes se rencontrent en phase. Intensité onde incidente Plaque percée de deux trous écran

La lumière comme une onde J. C. Maxwell (1831-1879) : La lumière est une onde électromagnétique Équation de propagation

spectre (vis.) de l’hydrogène Faits expérimentaux non élucidés en 1900 Rayonnement du corps noir Effet photo-électrique Spectres atomiques Les corps chauffés émettent du rayonnement. L’intensité émise décroît pour les courtes longueurs d’onde : "catastrophe ultra-violette" La lumière (UV) est capable d’arracher des électrons de la surface d’un métal. L’énergie cinétique des électrons émis ne dépend pas de l’intensité lumineuse mais de la fréquence de la radiation utilisée. Les atomes émettent et absorbent des "couleurs" (longueurs d’ondes) bien déterminées. spectre (vis.) de l’hydrogène n=5 n=4 n=3 longueur d’onde Loi empirique (Balmer 1885)

La lumière comme une Particule Rayonnement du corps noir Tout corps non réfléchissant chauffé émet un rayonnement filament d'ampoule soleil Caractéristiques du rayonnement du corps noir distribution continue des radiations en fonction de l, dépend de la température de l’objet émetteur, caractéristique des solides, liquides et gaz denses Modèle classique (Rayleigh – Jeans) profond désaccord avec l’expérience !

La Lumière comme une Particule Interprétation de Planck (1900) Oscillateurs sub-microniques chargés Hypothèse : radiations émises par des oscillateurs en résonance (→ antennes) Oscillations avec des énergies discrètes Énergie hυ 2hυ 3hυ 4hυ n : nombre quantique de l’oscillateur n : fréquence de l’oscillateur h : constante de Planck : h = 6,626 x 10-34 J.s h : quantum d’action nouvelle constante universelle accord expérimental

La lumière comme une Particule Effet Photo-électrique Découvert par hasard par Hertz (1887) Étudié par Lennard (1899-1902) Observations (1): Fréquence de la lumière n = constante Photocourant 3 In électrons arrachés d’une plaque métallique par la lumière UV 2 In In Tension appliquée - N e– collectés  Ilumière - potentiel variable Vappliqué seuls les e– tq Ec ≥ |eVappliqué| atteignent l'anode => mesure de Ec : potentiel d'arrêt tq |eVo| = Ec - Ec indépendante de l'intensité lumineuse !

La lumière comme une Particule La lumière comme une Particule Effet Photo-électrique Découvert par hasard par Hertz (1887) Étudié par Lennard (1899-1902) Observations (2): Intensité de photons In = constante Photocourant électrons arrachés d’une plaque métallique par la lumière UV Tension appliquée - |Vo| augmente si la fréquence n de la lumière augmente => Ec = f (n) - seuil de l'effet photo-électrique : no si n < no alors aucun e– n'est éjecté

La lumière comme une Particule Interprétation de Einstein (1905) (quanta de Planck) Expérience de Millikan (1906) mesure de la constante de Planck quantification de l'énergie électromagnétique quantum de lumière <=> photon Potentiel d’arrêt |Vo| Pente = h/e ordonnée à l'origine = – W/e Fréquence n de la lumière Énergie cinétique des photo-électrons (relation de Planck et Einstein) : si n > no W : travail d’extraction (caractéristique du matériau)

La lumière comme une Particule photon rayon-X incident électron en recul électron au repos photon rayon-X diffusé La lumière comme une Particule Effet Compton (1923) Collision élastique photon électron (métal, Al) La longueur d’onde du photon émergent est plus longue que celle du photon incident : hn’ Toute lumière est une succession de quanta d’énergie appelés photons (particules), représentés dans l’espace temps par des paquets d’ondes. hn En plus d’une énergie E = hn, les photons sont dotés d’une impulsion, grandeur vectorielle de norme :

=> Dualité Onde Particule Hypothèse ondulatoire de L. De Broglie (1923) Conciliation de l’aspect corpusculaire et ondulatoire de la lumière combinaison des équations d’Einstein (relativité) et de Planck (quanta) => Généralisation du concept aux particules matérielles À toute particule d’impulsion p = mv, on associe une onde longueur d’onde de De Broglie

Dualité Onde Particule Propriété associée à la particule Propriété associée à l’onde Toutes les entités présentent les deux caractères indissociables de particule et d’onde. Une particule lors des interactions lumière/matière Une onde lors de la propagation dans la matière ou le vide Ces caractères ne sont manifestes qu’à l’échelle microscopique

La Matière comme une Onde Expérience de Davisson et Germer (1927) Première vérification expérimentale de l’hypothèse ondulatoire de De Broglie Electrons diffractés par un cristal de nickel cristal de nickel Les électrons diffusés par un cristal sont réfléchis selon des directions privilégiées. => comportement ondulatoire U = 54 V q

La Matière comme une Onde Interprétation : - loi de Bragg (diffraction des rayons X) : interférence constructive entre 2 ondes réfléchies par 2 plans atomiques distincts - longueur d’onde de De Broglie combinaison : avec tension accélératrice des électrons Détecteur fixe (q=50°) U augmente <=> l diminue défilement des conditions d'interférences constructives en fonction de U

La Matière comme une Onde Expérience d’interférences avec deux fentes et une source de particules matérielles Comportement classique pour des particules macroscopiques Le tireur fou !! Pas d’interférence

dispositif expérimental La Matière comme une Onde Expérience d’interférence électronique avec deux fentes Source Intensité distance sur l’écran dispositif expérimental plus réaliste

Quantification de l'énergie dans l'atome Modèles structuraux de l’Atome à travers les âges Électron Matière chargée positivement Électron Noyau positif Modèle Ponctuel d’Aristote Modèle « Noyau Ponctuel » de Rutherford Modèle « Plumb Pudding » de Thomson atomos = indivisible r Ze e Modèle Planétaire de Bohr Modèle Probabiliste de la Mécanique Quantique

Découverte du noyau atomique ponctuel Diffusion de particules a (charge +2e) par une feuille d’or - Rutherford (1907) La plupart des particules passent au travers sans être déviées. Certaines sont déviées sous un grand angle (voire rétrodiffusées). Interprétation : les atomes ont une charge positive de petite dimension, 100 000 x plus petite que l’atome (noyaux) (découverte ultérieure : les charges positives sont portées par les protons)

Insuffisances du modèle atomique de Rutherford cohésion de l'atome : interaction Coulombienne entre électrons (–) et noyau (+) => les électrons tournent autour du noyau. incompatibilité avec les lois classiques de l'électromagnétisme : atome de Rutherford = dipôle oscillant => rayonnement électromagnétique

Insuffisances du modèle atomique de Rutherford cohésion de l'atome : interaction Coulombienne entre électrons (–) et noyau (+) => les électrons tournent autour du noyau. incompatibilité avec les lois classiques de l'électromagnétisme : atome de Rutherford = dipôle oscillant => rayonnement électromagnétique durée de vie estimée de l'édifice atomique : 10-8s ! Or un atome est stable !?

force électrostatique Modèle "Planétaire" de Bohr Premier postulat l'électron dans l'atome peut avoir différentes orbites à partir desquelles aucune radiation n'est émise Orbites = états stationnaires pour lesquels le moment cinétique est quantifié : n entier Rayon des orbites permises : force centrifuge équilibre entre force électrostatique Énergies totales des orbites :

Modèle "Planétaire" de Bohr Atome hydrogène électron libre Niveaux d'énergie et trajectoires permises pour l'électron dans l'atome d'hydrogène états excités fondamental état

Modèle "Planétaire" de Bohr Etat initial, Ei Etat final, EF photon, hn Deuxième postulat Les transitions d’un électron entre deux états stationnaires expliquent les phénomènes d’absorption et d’émission de radiations électromagnétiques. La fréquence d’émission n est quantifiée formule de Planck/Einstein Ei et Ef : énergies des états stationnaires initial et final.

Élucidation du spectre de l'atome d'hydrogène spectre continu lumière blanche 400 nm +P 2 3 4 -e 1 5 Décomposition de la lumière émise avec un prisme 434 nm 656 nm constante de Rydberg 486 nm 410 nm 700 nm

L’idée de Niels Bohr est donc validée ! Spectres de l'atome d'hydrogène Toutes les raies prédites par le modèle quantique de l’atome ont été observées L’idée de Niels Bohr est donc validée ! L’étude des spectres confirme que les électrons atomiques gagnent et perdent de l’énergie par sauts entre orbites, chaque orbite correspondant à un niveau d’énergie

L’atome quantique Modèle probabiliste Les postulats du modèle de Bohr sont en contradiction avec les lois classiques de la physique et ne sont pas justifiables ! 1s 2s 2px 2pz Meilleure description de l’atome : approche probabiliste Atome quantique => rechercher les lieux de l’espace dans lesquels l’électron à le plus de chances de se trouver autour du noyau. Trajectoire Notion d’orbitale atomique 3s 3px 3pz 3dxy 3dx²-y² 3dz²

Processus quantiques aléatoires Retour sur l'expérience d’interférence électronique avec deux fentes Que se passe-t-il si on diminue l'intensité du faisceau jusqu'à ce que les électrons passent un par un ? durée totale d'acquisition : environ 30 minutes

Processus quantiques aléatoires Expérience dans laquelle les électrons sont envoyés un par un. Remarque importante : La figure d’interférence obtenue n’apparaît qu’en présence des 2 fentes. Si on cherche à savoir par quelle fente les électrons sont passés, la figure d’interférence est détruite, quelque soit le moyen utilisé pour satisfaire sa curiosité. Après 28 électrons Après 1000 électrons Après 10 000 électrons Événements indépendants aléatoires. Accumulation : la figure d’interférences apparaît. Caractère ondulatoire conservé

Processus quantiques aléatoires et dualité onde particule Expérience dans laquelle les photons sont envoyés un par un. Temps d’exposition Nature ondulatoire de la lumière : détermine la probabilité qu’un photon atteigne un certain endroit de l’écran, cet endroit ne peut être déterminé précisément a priori. Nature particulaire de la lumière : traduit le caractère événementiel localisé dans l’espace-temps de la présence du photon sur l’écran. Temps d’exposition

Mise en évidence de phénomènes quantiques Résumé de quelques idées importantes Les particules ont un comportement ondulatoire à l’échelle microscopique. Certaines grandeurs physiques, qui classiquement peuvent prendre un ensemble continu de valeurs, n’adoptent en mécanique quantique que des valeurs discrètes : exemple l’énergie interne des atomes et molécules. Les échanges d’énergie se font par sauts discrets. Les phénomènes quantiques sont de nature aléatoire. On ne peut prévoir le résultat d’une expérience que sous forme statistique (grand nombre d’événements), ou probabiliste (un seul événement). Le fait de mesurer une grandeur physique affecte le système considéré. hn avec h = 0,000000000000000000000000000006626 Js

action caractéristique < constante de Planck h Critère de « quanticité » les concepts classiques cessent de s'appliquer quand : action caractéristique < constante de Planck h action = longueur caractéristique x impulsion caractéristique Exemple : conduction d'électrons dans un fil métallique de section nanométrique aluminium e– d'impulsion p => action caractéristique : p.a à comparer à h polymère isolant Description quantique de l'électron dans ce fil : Phénomènes non classiques (diffraction) dominants si

Critère de « quanticité » 1035 1012 1,36