1. DéRIVée Définition tangente sécante Soit l’application f de , définie et continue sur un intervalle [a,b]. La dérivée de f au point est définie par h Notation : Conséquences . Géométriquement, la dérivée est le coefficient directeur (la pente) de la tangente à f(x) en . En physique, elle exprime la vari - ation locale (ou instantanée lorsque x désigne le temps) de la fonction f. B. Rossetto, EuroMed Management, ESCT

1. DéRIVée Exemple. Equation de la tangente. Elle passe par le point Son coefficient angulaire est On trouve h B. Rossetto, EuroMed Management, ESCT

2. éQUATIONs Différentielles Exemple 1. La croissance exponentielle de la population. Soit y(t) la population (en milliers) et a le taux de croissance (par milliers et par an). On a l’équation différentielle (la relation entre y et sa dérivée): On sépare les variables : On intègre membre à membre : Cette croissance est très rapide (l’exponentielle croît plus vite que ). Par exemple : La population double tous les Cas où a>0 et y(0) = 0. B. Rossetto, EuroMed Management, ESCT

2. éQUATIONs Différentielles Exemple 2. Décroissance exponentielle de la population. Si a < 0, la population décroît Cas où a < 0 La tangente recoupe l’axe horizontal pour La population a diminuée de moitié lorsque Cas où a < 0 B. Rossetto, EuroMed Management, ESCT

2. éQUATIONs Différentielles Exemple 3. Intervention extérieure par apport de population. Pour remédier à cette situation, on apporte b milliers d’individus par an L’état stationnaire (encore appelé état permanent) correspond à soit Cas où a < 0 et b > 0. B. Rossetto, EuroMed Management, ESCT

2. éQUATIONs Différentielles Résolution. La solution de l’équation différentielle linéaire du premier ordre à coefficients constants avec une entrée extérieure b est Si , la solution s’écrit : Preuve : on vérifie qu’elle obéit à l’équa. diff. et qu’elle vérifie la C.I. Cas où a et b > 0 et où y(0) = 0 B. Rossetto, EuroMed Management, ESCT

2. éQUATIONs Différentielles Résolution. Soit l’équation différentielle linéaire d’ordre 2 à coefficients constants sans entrée extérieure (sans second membre) On pose y(t) = er t. On obtient ainsi l’équation caractéristique : 1. Si z > 1, les racines r1 et r2 sont réelles. Les solutions sont de la forme : 2. Si z < 1, complexes conjuguées: 3. Si z =1, on a une racine double . La solution est de la forme : B. Rossetto, EuroMed Management, ESCT

2. éQUATIONs Différentielles Mise sous forme matricielle. Soit l’équation différentielle linéaire d’ordre 2 à coefficients constants sans entrée extérieure (sans second membre) On pose Les valeurs propres de la matrice 2x2 des 4 coefficients [aij] sont aussi les racines de l’équation caractéristique de l’équation différentielle. B. Rossetto, EuroMed Management, ESCT

2. éQUATIONs Différentielles Exemple 5. Système linéaire prédateur-proie. Soit y1(t) la population d’une proie et y2(t) celle d’un prédateur. Ce dernier prélève individus par milliers (de prédateurs) et par an. Cette nutrition amène un supplément de a21 prédateurs par milliers de proies et par an. Les taux de croissance respectifs sont a11 et a22. On obtient un système d’équations différentielles linéaire homogène du second ordre à coefficients constants, avec a12 < 0 et a21 > 0 dans un système prédateur – proie, que l’on sait résoudre mathématiquement : soit B. Rossetto, EuroMed Management, ESCT

2. éQUATIONs Différentielles Systèmes linéaires du second ordre. On pose S = a11+a22 et P = a11a22 - a12a21 et on cherche les racines de l’équation caractéristique suivante, qui sont aussi les valeurs propres de la matrice 2x2 des 4 coefficients [aij] : l2 – Sl + P = 0 COL. Lorsque P<0, les racines (les valeurs propres) l1 et l1 sont réelles et de signe contraire. Le point singulier (point d’équilibre, point de repos), localisé en l’origine, est un col. Un col est toujours instable. NŒUD. Lorsque P>0 et S2-4P>0, les racines sont réelles et de même signe. Le point singulier est un nœud, stable si S<0, instable si S>0. FOYER. Si P>0 et S2-4P<0, les racines sont complexes conjuguées. Le point singulier est un foyer, stable si S<0, instable si S>0. CENTRE. Si P>0 et S2-4P=0, les racines sont imaginaires pures et de signe contraire. L’amplitude de l’oscillation est constante. Le point singulier est un centre. B. Rossetto, EuroMed Management, ESCT

2. éQUATIONs Différentielles Systèmes linéaires du second ordre. COL dans le plan des phases. Les valeurs propres sont réelles et de signe contraire. Un col est toujours instable : quelles que soient les C. I. y1(0 et y2(0) - excepté sur l’une des séparatrices du col, ce qui conduit aussi à un parcours très instable - la solution va à l’infini. B. Rossetto, EuroMed Management, ESCT

2. éQUATIONs Différentielles Systèmes linéaires du second ordre. 2. NŒUD dans le plan des phases. Les valeurs propres sont réelles et de même signe. Le nœud est - instable si S>0, - stable si S<0 (cas de la figure) B. Rossetto, EuroMed Management, ESCT

2. éQUATIONs Différentielles Systèmes linéaires du second ordre. 3. FOYER dans le plan des phases. Les valeurs propres sont complexes conjuguées. Le foyer est - instable si S>0, - stable si S<0 (cas de la figure) B. Rossetto, EuroMed Management, ESCT

2. éQUATIONs Différentielles Exemple 6. Equations de Volterra-Lotka. Nous avons vu que le prélèvement est proportionnel à la population des prédateurs y2, mais il est justifié de considérer qu’il est aussi proportionnel au nombre de proies y1. Les taux de croissance respectifs sont inchangés : a11 et a22. Ces hypothèses conduisent à un système différentiel non linéaire homogène du second ordre, que l’on ne sait pas résoudre mathématiquement: Le tracé du portrait en phase des solutions de l’équation de Volterra-Lotka permet une étude qualitative globale des solutions. B. Rossetto, EuroMed Management, ESCT

2. éQUATIONs Différentielles Exemple 6. Equations de Volterra-Lotka. Points singuliers Ce sont les points d ’équilibre, définis par : . On trouve : 2. Matrice Jacobienne L’équation aux variations dy1 et dy2 autour d’un point y1 et y2 est un système linéaire à coefficients constants que l’on sait résoudre : B. Rossetto, EuroMed Management, ESCT

2. éQUATIONs Différentielles Exemple 6. Equations de Volterra-Lotka. 3. Nature des points singuliers Ci-contre : les solutions de l’équation de Volterra - Lotka dans le plan des phases pour l’équilibre d’un système phytoplancton – zooplancton. B. Rossetto, EuroMed Management, ESCT

2. éQUATIONs Différentielles Théorème. La solution de l’équation différentielle linéaire d’ordre n à coefficients constants avec une entrée extérieure (second membre) est la somme de deux termes : La solution complète de l’équation sans second membre (ssm), qui dépend d’une constante si n=1 ou de deux constantes si n=2, à déterminer après la 2ème étape grâce aux conditions initiales (C.I.) 2. Une solution particulière de l’équation complète, qui est à re --chercher sous la forme d’une combinaison linéaire de sinus et de cosinus si f(t) est sinusoïdal, d’une exponentielle si f(t) est exponentielle ou d’un polynôme si f(t) est un polynôme. B. Rossetto, EuroMed Management, ESCT

2. éQUATIONs Différentielles Exemple 4. Apport de population dépendant du temps. On tient compte des variations saisonnières de l’apport de la population par une fonction sinusoïdale de période T=1an. La solution de cette équation différentielle linéaire du premier ordre à coefficients constants est, pour T=2p et y(0)=0 : L’amplitude de la solution asymptotique, c’est-à-dire de la partie qui ne décroît pas lorsque le temps croît indéfiniment, est d’autant plus faible que a est grand. a=1, b =1 et w=1 B. Rossetto, EuroMed Management, ESCT