Bouyekhf Rachid-Lyuboumir Gruitch Laboratoire SeT UTBM Sur le problème de la stabilité de Lyapunov des systèmes discrets non-linéaires non-stationnaires dans le cadre des ensembles asymptotiquement contractifs. Bouyekhf Rachid-Lyuboumir Gruitch Laboratoire SeT UTBM

Plan de la présentation Historique Position du problème Solution du problème Conclusion

Problème de la stabilité des systèmes discrets non-linéaires dans le cadre des ensembles asymptotiquement contractifs. Systèmes étudiés 1960: Hahn Etat de l'art 1962: Weiss 1964: Kalman et Bertram 1964: Halanay Limitation de la méthode de Lyapunov Elle n'est pas applicable dans le cadre des ensembles dépendants du temps

Problème de la stabilité des systèmes discrets non-linéaires dans le cadre des ensembles asymptotiquement contractifs. Problématique Exemple Critère de Lyapunov : S’il existe un voisinage connexe S de x=0 et une fonction définie positive sur S tels que Alors le point d’équilibre est stable Soit une fonction de Lyapunov candidate pour le système

Problème de la stabilité des systèmes discrets non-linéaires dans le cadre des ensembles asymptotiquement contractifs. Problématique Question Pourquoi les critères de Lyapunov ne sont pas applicables dans ce cas? Conclusion : Le point d'équilibre x=0 est stable.

L'ensemble S(k) dans lequel est asymptotiquement contractif Problème de la stabilité des systèmes discrets non-linéaires dans le cadre des ensembles asymptotiquement contractifs. Problématique La cause L'ensemble S(k) dans lequel est asymptotiquement contractif Conséquence L'ensemble S(k) n’est pas positivement invariant par rapport à c-à-d il n’existe aucun tel que

Interprétation géométrique

Problème de la stabilité des systèmes discrets non-linéaires dans le cadre des ensembles asymptotiquement contractifs. Problème posé Indiquer si la méthode de Lyapunov résout réellement la question de la stabilité dans le cadre des ensembles asymptotiquement contractifs.

Problème de la stabilité des systèmes discrets non-linéaires dans le cadre des ensembles asymptotiquement contractifs. Réponse au problème Proposition de deux approches différentes Approche 1: Méthode de Lyapunov Deux critères Critère 2 Si l’ensemble est invariant par rapport à seule cette fonction est nécessaire pour le test de la stabilité asymptotique Critère 1: Utilisation de deux fonctions définit la frontière de l'ensemble considéré une fonction définie positive

Principe : Critère 1 Si Δω(k,x) ≤ 0 dans S(k) alors On choisit une fonction définie positive v(k,x) et on calcule Δv(k,x) Si Δv(k,x) ≤ 0 dans un ensemble S(k) et si On construit alors la fonction frontière ω(k,x) de S(k) Si Δω(k,x) ≤ 0 dans S(k) alors Conclusion : Le point d’équilibre est asymptotiquement stable

Principe : Critère 2 On vérifie si On choisit une fonction définie positive v(k,x) et on calcule Δv(k,x) Si Δv(k,x) ≤ 0 dans un ensemble S(k) et si On vérifie si Conclusion : Le point d’équilibre est asymptotiquement stable

Principe : Critère 2 , version 2 On choisit une fonction globalement définie positive v(k,x) et on calcule Δv(k,x) Si S’il existe un ensemble A tel que et Δv(k,x) ≤ 0 dans A A Conclusion : Le point d’équilibre est asymptotiquement stable Si la stabilité asymptotique est globale

Problème de la stabilité des systèmes discrets non-linéaires dans le cadre des ensembles asymptotiquement contractifs. Approche 2 : Utilisation du concept des fonctions génératrices Ces fonctions définissent les frontières des ensembles non-stationnaires et jouent le même rôle que celui des fonctions de Lyapunov Principe : Avantage : La définition positive des fonctions génératrices n'est plus nécessaire.

Principe: Approche 2 On choisit une fonction quelconque g(k,x) et on construit l'ensemble qui lui est associé On vérifie ensuite l'asymptotique contractivité de sa fermeture L’attractivité de l’équilibre est assurée si La stabilité est assurée s’il existe un ensemble invariant tel que

Problème de la stabilité des systèmes discrets non-linéaires dans le cadre des ensembles asymptotiquement contractifs. Exemple Soit g n’est pas définie positive Si Attractivité de x=0 : Stabilité de x=0 : Le pont d’équilibre x=0 est asymptotiquement stable et est une estimation de son domaine de la stabilité asymptotique

Problème de la stabilité des systèmes discrets non-linéaires dans le cadre des ensembles asymptotiquement contractifs. Généralisation du concept des fonctions génératrices à des ensembles non-asymptotiquement contractifs Pourquoi? Construction d’une approche alternative pour l'étude de la stabilité des systèmes discrets non-linéaires sans passer par les fonctions définies positives. Résultats -- Elaboration de nouveaux critères pour juger de la stabilité asymptotique des systèmes discrets non-linéaires -- Détermination exacte du domaine de la stabilité asymptotique du point d'équilibre

Principe de la généralisation On choisit une fonction quelconque g(k,x) et on construit l'ensemble qui lui est associé et La stabilité asymptotique est assurée s’il existe 2 ensembles invariants tels que Si est le domaine exacte de la SA

Méthode de Lyapunov 1892 Δv(k,x) < 0 sur S Notre approche v(k,x) définie positive et « décrescente » sur un ensemble invariant S Δv(k,x) < 0 sur S Notre approche Fonction quelconque g(k,x) Il existe 2 ensembles invariants tels que

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