S.E. Merzouk, O. Grunder & M. Elbagdouri Proposition d’une méthode exacte pour l’optimisation des coûts d’une chaîne logistique élémentaire S.E. Merzouk, O. Grunder & M. Elbagdouri Laboratoire Systèmes et Transports (SeT) Université de Technologie de Belfort-Montbéliard 90010 Belfort France Mèl. salah-eddine.merzouk@utbm.fr

Plan de la présentation. Introduction Système étudié Modèle mathématique et propriétés Procédure d’optimisation exacte Résultats expérimentaux Conclusion et perspectives Journée Bermudes

Gain pour l’ensemble de la chaîne Réduction des coûts et délais Introduction Chaîne logistique Optimisation d’une chaîne logistique Gain pour l’ensemble de la chaîne Réduction des coûts et délais Journée Bermudes

Economic Lot and Delivery Scheduling Problem (ELDSP) [Hahm J et al, 1992] Un seul type de produit fabriqué en lots sur une seule machine chez un fournisseur et livrés au client par un seul transporteur. Objectif : Minimiser le coût moyen par unité de temps de la production, du stockage et de transport. L’intervalle de production doit être un multiple de l’intervalle de livraison Modèle continu qui suppose que la production et la livraison des produits se font périodiquement. Minimiser les coûts Journée Bermudes

Single Item Lot-Sizing Problem (SILSP) [Wolsey1994] Problème de planification dans lequel la demande varie en fonction du temps sur un horizon T. Objectif : déterminer les périodes de production et les quantités à produire pour minimiser le coût global. La complexité dépend du système étudié. Beaucoup de variantes : mono produit / multi produits ; avec ou sans capacité ; … Journée Bermudes

Capacited Single Item Lot-Sizing Problem (CSILSP) [Bitran et al, 1982] Contrainte : le nombre de produits réalisables pendant une période est limité par une capacité donnée. Notation : (coût de réglage, de stockage, de production et capacité) Valeurs possibles pour : G, C, ND, NI et Z (Général, Constant, Non-Decreasing, Non-Increasing et Zero). Complexité du problème : NP-difficile en général Journée Bermudes

Discrete Lot-Sizing Problem (DLSP) [Manne 1958] L’horizon de planification T est discrétisé en périodes Contrainte : on ne peut produire qu’au plus un produit par période. Objectif : déterminer la séquence et la taille des lots de différents types de produits Complexité du problème : NP-difficile. Journée Bermudes

Système étudié Système (un maillon logistique) : Contraintes : Client : demande des produits à des dates au plus tard. Fournisseur : ordonnance des lots pour satisfaire cette demande. Transporteur : effectue les livraisons du fournisseur au client. Contraintes : Capacité limitée du transporteur. Aucun retard n ’est permis. Temps fixe pour faire un aller retour entre le client et le fournisseur Temps fixe pour charger ou décharger un produit. Journée Bermudes

Objectif Minimiser le coût global : Variables de sortie du système : Coût de stockage chez le client Coût de stockage chez le fournisseur Coût de transport Variables de sortie du système : Nombre de voyages à effectuer. Nombre de produits à transporter dans chaque voyage. Les dates d’arrivée et de départ du transporteur. Journée Bermudes

Modèle mathématique Coût de stockage fournisseur : Coût de transport : Coût de stockage client : wi, xi, yri, ydi les dates de fin de production, de chargement (chez le fournisseur), d’arrivée et désirée (par le client) pour le produit numéro i. le coût de stockage par unité de temps chez le fournisseur et le client. le coût de transport d’un lot de produits n le nombre de produits exigés par le client. Journée Bermudes

Formulation du problème d’optimisation général tp : temps de production d’un produit tc : temps de chargement d’un produit td : temps de déchargement d’un produit tt : temps pour faire un aller (ou retour) entre le fournisseur et le client (tt>tc) c : capacité du transporteur Journée Bermudes

Définitions Une séquence de chargement Une suite qui vérifie : Aucun terme n’est nul. La valeur maximale que peut prendre un terme de la suite est c. La somme de tous les termes est égale à n. Le nombre de termes de la suite est Une séquence de chargement partielle : Une séquence de chargement pour n’ < n représentation des solutions du système L’avance d’une séquence partielle (coût de stockage client) Journée Bermudes

Considérations Deux problèmes d’optimisation imbriqués : Optimisation sur les séquences de chargement Pour une séquence donnée, optimisation des dates de départ du transporteur. Dans le cas d’un seul maillon => la politique du juste à temps permet d’obtenir pour une séquence donnée, les dates de départ optimales (faux pour plusieurs maillons) Hypothèse : le coût du fournisseur est négligeable par rapport aux autres coûts. Journée Bermudes

Expression des dates de départ et d’arrivée des produits Pour déterminer le coût d’une séquence partielle, il faut calculer pour chaque produit : sa date de fin de production, sa date de chargement, sa date de déchargement. Utilisation de l’algèbre max-plus pour déterminer les dates au plus tard d’arrivée des produits [Elmahi,2002] Journée Bermudes

Exemple de calcul de dates CLIENT FOURNISSEUR Dates de départ 5 produits à livrer Dates d’arrivée Dates dues Séquence : 2-3 10 11 13 16 21 21 22 23 23 27 t Avance = (13-10)+(16-11)+… =13 Journée Bermudes

Expression des dates d’arrivée des produits du dernier lot Date d’arrivée du 1er produit du dernier lot pour une séquence Date d’arrivée des autres produits du dernier lot : Notations: ydi : date due du produit i yri : date d’arrivée du produit i td : temps de déchargement d’un produit du transporteur Journée Bermudes

Expression des dates d’arrivée des produits d’un autre lot Indice du 1er produit du lot k : Date d’arrivée du 1er produit du lot k pour une séquence Date d’arrivée des autres produits du dernier lot : Notations: tc : temps de chargement d’un produit dans le transporteur tt : Temps d’un voyage entre le client et le fournisseur Journée Bermudes

Définitions On définit l’ensemble des solutions Un,c On définit l’ensemble des séquences complètes construites à partir de On note la séquence appartenant à dont le coût est le plus faible. Journée Bermudes

Exemple Journée Bermudes

Proposition Proposition Soient deux séquences partielles et pour le même nombre de produits. Si : Alors domine : Journée Bermudes

Procédure d’optimisation exacte Programmation dynamique Méthode de résolution exacte. Trouver la solution optimale en se basant sur des sous – solutions du problème. Réduire l’espace de recherche Gain en temps de calcul. Étapes de la procédure : Établir une propriété récursive qui donne la solution optimale à une instance du problème. Construire une table qui contiendra les solutions optimales aux sous – problèmes intermédiaires. Construction ascendante de la solution optimale => problèmes simples vers problèmes complexes. Journée Bermudes

Arborescence des solutions Présentation sous forme d’arborescence : chaque nœuds correspond à un lot de produits transporté. Le premier niveau correspond au derniers lots. On associe les coûts des séquences partielles à chaque nœud. Journée Bermudes

Dénombrement des solutions On note Un,c l’ensemble des solutions pour n produits et une capacité c. Proposition : Nombre de solutions pour n produits et capacité n : |Un,n| = 2n-1 Proposition : |Un,n| = |Un,n-1| + 1 Proposition :|Up+c,c| = |Up,c| + |Up+1,c| + |Up+2,c| + … + |Up+c-1,c| C=2 : |Up+2,2| = |Up,2| + |Up+1,2| (suite de fibonacci) C=3 : |Up+3,3| = |Up,3| + |Up+1,3| + |Up+2,3| (suite de fibonacci généralisée) Journée Bermudes

Construction du tableau des sous – solutions. n’ Solutions dominantes Proposition 0 0 1 1 2 1-1 , 2 … k-c+1 k-1 k k+1 n Solution optimale Avance Date d’arrivée du premier produit Nombre de voyages . . . +c . . . +2 +1 . . . Journée Bermudes

Réduction de l’espace de recherche Coupe classique La proposition est efficace dans le cas où le coût de stockage chez le client est équivalent ou prépondérant à celui du transporteur. Construire une bonne solution de départ. À chaque niveau du tableau, prendre la solution dont le coût est le plus faible Si le coût d’une solution partielle est supérieur au coût de la solution trouvée, elle sera éliminée du tableau. Réduction de l’espace de recherche Journée Bermudes

Solution de départ . . . . . . . . . . . . 0 0 1 2 k-c+1 k-1 k k+1 n’ Solutions dominantes 0 0 1 2 … k-c+1 k-1 k k+1 n Solution optimale . . . +c . . . +2 +1 . . . . . . Journée Bermudes

Résultats expérimentaux Minimum Moyenne Maximum 100 15.0 29.1 78.0 200 47.5 234.0 300 81.56 1094.0 400 254.08 1703.0 500 16.0 829.04 3719.0 600 31.0 1566.58 8610.0 700 171.0 3664.77 10109.0 800 47.0 6822.16 31172.0 900 109.0 12731.54 82265.0 1000 125.0 14929.24 66219.0 1100 187.0 15610.64 87500.0 1200 206.0 26476.06 131391.0 50 exécutions pour chaque n Pentium 4 à 2,66 Ghz 512 Mo de Ram Unité de temps = ms Journée Bermudes

Conclusion Objectifs : Résultats : Ordonnancer les livraisons de produits entre deux sites d’une chaîne logistique. Optimiser le coût global de transport et de stockage Résultats : Des résultats mathématiques intéressants ont contribué largement à la procédure d’optimisation exacte. Une procédure performante même pour des problèmes de taille importante Journée Bermudes

Perspectives Améliorer la procédure d’optimisation en envisageant un traitement particulier aux cas extrêmes qui la ralentissent. Généralisation du modèle à : plusieurs transporteurs plusieurs types de produits Une chaîne logistique entière. Journée Bermudes