Plus rapide chemin bicritère : un problème d’aménagement du territoire Y. Botquélen, P. Martineau, J-C. Billaut et H. Baptiste Laboratoire d’Informatique (EA 2101) Département Informatique - Polytech’Tours Université de Tours - France

Plan Problématique Modélisation Algorithmes préliminaires Algorithme pour le graphe bicritère temporisé Evaluations Conclusion 1/09/2004 MOSIM’04

Problématique Aider les conseils Régionaux à fixer les horaires des transports en commun pour : Améliorer les déplacements des usagers au niveau des régions Développer les moyens de déplacement collectifs (moins polluants, multimodales, …) Offrir plusieurs possibilités d’aller/retour par jour Objectifs : temps de trajet, qualité de service (confort, nombre de changements), coût, sécurité 1/09/2004 MOSIM’04

Problématique Organisation des transports publics Données: Objectifs: Réseau de transport Grille horaire à respecter Objectifs: Minimiser temps de trajet Minimiser nombre de transbordements 1/09/2004 MOSIM’04

Problématique Certains modes sont à départ planifié d’autres à départ permanent Le réseau est non FIFO (un train peut en doubler un autre) Toutes les solutions non dominées peuvent intéresser l’utilisateur 1/09/2004 MOSIM’04

Modélisation du problème Caractéristiques du problème de plus court chemin: Problème all-to-all, pour toute date de départ Contraintes horaires Graphe non-FIFO Notations: G(X,U), graphe orienté +(i), ensemble des successeurs du sommet i X T, grille horaire des dates de départ disponibles c1u(t), c2u(t), longueurs associées à l’arc u, tT C, liste de candidats-solutions i,k(j), solution au sommet j pour un départ de i à à la date k 1/09/2004 MOSIM’04

Exemple 1/09/2004 MOSIM’04

Modélisation Modélisation par un graphe espace-temps = explosion du nombre des sommets et du nombre d’arcs Recherche du plus court chemin dans un graphe temporisé Recherche de solutions non dominées dans un graphe 1/09/2004 MOSIM’04

Algorithme Préliminaire Plus rapide chemin dans un graphe temporisé 1 seul coût sur un arc u : c1u(t) Basé sur l’algorithme de Dijkstra A partir d’une ville, on constitue une liste ordonnée de chemins partiels Pour le premier chemin, on génère les successeurs donnant les plus petites dates d’arrivée Evolution On constitue une liste de chemins en s’appuyant sur les plus petites dates d’arrivée en chaque ville mais celles-ci doivent être recherchées On retire toujours le candidat de plus petite date d’arrivée pour constituer ses successeurs 1/09/2004 MOSIM’04

Principe de l’algorithme Initialisation des sommets à des valeurs infinies Création du 1er candidat Tant qu’il existe un candidat non étudié et un sommet non atteint: Mise à jour du sommet atteint Recherche des horaires arrivant le plus tôt Création de nouveaux candidats à partir de celui étudié et de la grille horaire 1/09/2004 MOSIM’04

Algorithmes de résolutions Problème monocritère Étude du seul critère temps Problème multicritère Nombre de transbordement Coût de revient pour l’usager/ transporteur Facteurs de congestion 1/09/2004 MOSIM’04

Algorithme monocritère Algorithme basé sur Dijkstra Inspiré de l’algorithme de Chabini & al: «Reoptmization algorithms for minimum time path problems in dynamic networks» Avantages Résultats exacts Complexité en O(n²) 1/09/2004 MOSIM’04

Principe de l’algorithme Initialisation des sommets à des valeurs infinies Création du 1er candidat Tant qu’il existe un candidat non étudié et un sommet non atteint: Mise à jour du sommet atteint Recherche des horaires arrivant le plus tôt Création de nouveaux candidats à partir de celui étudié et de la grille horaire 1/09/2004 MOSIM’04

Exemple d’utilisation  1,0(j) 4 3 2 1 j 2 3 4 Candidat étudié: (4,4) Candidat étudié: (3,3) Candidat étudié: (2,2) Candidat étudié: (1,0) C = {(4,4)} C = { } C = {(4,5)} C = {(1,0)} C = {(3,3),(4,5)} C = {(2,2),(3,4)} 1/09/2004 MOSIM’04

Algorithme multicritère Algorithme basé sur l’algorithme monocritère Gestion du multicritère inspirée d’un algorithme bicritère sur des graphes statiques Recherche des solutions non dominées Complexité exponentielle en O(2n) Temps de calcul raisonnables en pratique pour 2 critères 1/09/2004 MOSIM’04

Principe de l’algorithme Initialisation des sommets à des ensembles vides Création du 1er candidat Tant qu’il existe un candidat non étudié: Mise à jour des solutions non dominées du sommet Étude de tous les horaires disponibles Conservation des candidats non dominés 1/09/2004 MOSIM’04

Exemple d’utilisation j 1 2 3 4 1,0(j) {(0,0)} {(2,2),(4,1)} {(2,2)} {(3,10)} C = {(2,4,1),(3,4,1),(4,5,3),(4,4,16)} C = {(2,4,1),(3,4,1),(3,3,10),(4,5,3)} C = {(2,4,1),(3,4,1),(4,5,3)} C = {(3,4,1),(4,5,3),(4,4,16)} C = {(2,4,1),(3,4,1)} C = {(2,2,2),(2,4,1)} C = {(2,2,2),(2,4,1),(3,4,1)} C = {(1,0,0)} C = { } Candidat étudié: (2,2,2) Candidat étudié: (2,4,1) Candidat étudié: (2,4,1) Candidat étudié: (1,0,0) Candidat étudié: (3,3,10) 1/09/2004 MOSIM’04

Complexité exponentielle Exemple d’un cas critique 1/09/2004 MOSIM’04

Résultats (1) Jeux de données réels et aléatoires Comparaison avec résultats antérieurs Comparaison du nombre de solutions proposées Application à la minimisation du nombre de transbordements sur des données réelles 1/09/2004 MOSIM’04

Résultats (2) Résultats complets sur des données réelles critères 1 2 3 temps (s) 5 45 900 1/09/2004 MOSIM’04

Résultats (3) Résultats one-to-all à date de départ fixée sur des données aléatoires pour deux critères 1/09/2004 MOSIM’04

Interface utilisateur Objectifs Outil d’aide à la décision Critères d’extraction Économie de calculs Convivialité Base de données MySQL Interface PHP 1/09/2004 MOSIM’04

Les critères d’extraction (1) Formulaire de choix des critères: Villes de départ et d’arrivée Nombre maximum de transbordements Durée totale du trajet Durée totale des transbordements Durées minimales/maximales des transbordements Heures de départ/d’arrivée au plus tôt/tard 1/09/2004 MOSIM’04

Extensions possibles Améliorer algorithme multicritère Évaluation des critères supplémentaires Développement d’outils d’aide à la décision 1/09/2004 MOSIM’04