Résolution d’un problème d’agencement d’équipements par Programmation Par Contraintes Résolution d’un problème d’agencement d’équipements par Programmation Par Contraintes 1

Plan Contexte industriel Etat de l’art Problème et modélisation Résolution Résultats Conclusion et perspectives Résolution d’un problème d’agencement d’équipements par Programmation Par Contraintes 2

Contexte industriel / Fabrication d'un véhicule 4 étapes : emboutissage, tôlerie, peinture, assemblage Processus de montage Graphe de montage moteur 1 moteur 3 sellerie 2 sellerie 4 Sous caisse mécanique 3 sellerie 6 mécanique 1 poste de conduite mécanique 4 sellerie 8 porte Résolution d’un problème d’agencement d’équipements par Programmation Par Contraintes 3

Contexte industriel / Description de l’atelier Il possède une entrée et une sortie Nous allons trouver l’ensemble des tronçons présents dans le graphe de montage dans l’atelier La caisse se déplace grâce à un convoyeur sur la chaîne principale Manutention dans l’atelier : Des magasins alimentent en pièces les tronçons avec une flotte de véhicules de manutention sur un réseau d’allées L’approvisionnement se fait à partir d’un graphe de manutention Résolution d’un problème d’agencement d’équipements par Programmation Par Contraintes 4

Etat de l'art / Problématique et Evaluation Problématique générale du facility layout : Positionner des zones dans un espace défini de manière à minimiser les flux, les encombrements, … Exemple : aéroports, hôpitaux, … Evaluation d'un agencement, 2 points de vue de modélisation: « relationship chart  » Max z = somme somme rijxij rij : score d'adjacence entre la zone i et la zone j xij : binaire 1 si i et j adjacents 0 sinon «  from-to chart  » Min z = somme somme fijcijdij fij : flux entre la zone i et j ; dij : distance entre i et j cij : coût en unité de flux et de distance entre i et j Résolution d’un problème d’agencement d’équipements par Programmation Par Contraintes 5

Etat de l'art Représentation graphique Optimisation d’un agencement : Discrète (ensemble des positions déterminé par une grille) Continue (infinité de solution) Optimisation d’un agencement : Représentation topologique Représentation par graphe d’adjacence Représentation par arbres de découpes Problème d’affectation quadratique Programmation Linéaire en Nombres Entiers (PLNE) Résolution d’un problème d’agencement d’équipements par Programmation Par Contraintes 6

Etat de l'art / Synthèse Beaucoup de travaux dans la littérature Travaux présentés sont : soit très génériques  ne prennent pas en compte certains aspects de notre problème soit très spécifiques  ils sont difficiles à réutiliser dans d'autres contextes que celui spécifié Pas de travaux avec la Programmation par Contraintes Résolution d’un problème d’agencement d’équipements par Programmation Par Contraintes 7

Définition du problème Positionner les zones (tronçons et magasins) de manière à minimiser les coûts en : suivant le graphe de montage et de manutention gérant l’entrée et la sortie de la chaîne sur l’atelier créant un réseau d’allées pour l’approvisionnement diminuant le nombres de coudes de la chaîne principale Tronçons : forme rectangulaire, une entrée et une sortie à l’opposée sur les largeurs et donc 4 orientations (, ,  ,) Magasins : carrés, pas d’entrées ni de sorties donc pas d’orientations Résolution d’un problème d’agencement d’équipements par Programmation Par Contraintes 8

Spécificités du modèle Modélisation avec la Programmation Par Contrainte Evaluation : «from-to» chart Représentation graphique discrète Gestion du réseau d’allées avec un rajout d’une demi-allée pour chacune des zones Résolution d’un problème d’agencement d’équipements par Programmation Par Contraintes 9

Spécificités du modèle Calcul des distances par la méthode de Manhattan : permet de prendre en compte le réseau d’allées Pour éviter d’allonger la distance de convoyage entre l’entrée de l’atelier et le premier tronçon : nous collons l’entrée du tronçon à l’entrée du magasin Pour la sortie, la voiture étant terminée à la fin de la chaîne, la distance qui sépare le dernier tronçon de la sortie est moins important Résolution d’un problème d’agencement d’équipements par Programmation Par Contraintes 10

Données du problème Bx, By : longueur et largeur du bâtiment xs,ys : abscisse et ordonnée de la sortie de l’atelier xe,ye : abscisse et ordonnée de l’entrée de l’atelier Li, li : longueur et largeur de chaque tronçon et magasin (Li=li) M : ensemble des magasins T : ensemble des tronçons aij : les positions d'arrivées sur la chaîne principale des chaînes secondaires (entrées, centre ou sortie) fij : flux entre 2 zones cij : coût unitaire en unité de flux et de distance entre 2 zones Résolution d’un problème d’agencement d’équipements par Programmation Par Contraintes 11

Variables du modèle xi, yi : (≥ 0) : abscisse et ordonnée du centre de chaque zone hi, vi : {Li, li} : taille de la zone i en abscisse et ordonnée eih, eiv : {-1, 0, 1} : entrée du tronçon i en abscisse et ordonnée (-1 si inférieure au centre, 0 si égale et 1 si supérieur) Distances : en fonction des autres variables mais différentes en fonction du flux (production ou manutention) Distance de manutention (magasin i et tronçon j) dij = |xi - xj| + |yi - yj| Distance de production dij = |(xi - eih.hi/2) - (xj - aij.ejh.hj/2)| + |(yi - eiv.vi/2) - (yj - aij.ejv.vj/2)| Résolution d’un problème d’agencement d’équipements par Programmation Par Contraintes 12

Fonction objectif Min z = Σ Σ fijcijdij + Σ Σ fijcijdij + flsclsdls Manutention : flux Magasins - Tronçons Production : flux Tronçons - Tronçons L : indice du dernier ronçon de la chaîne d montage dls = |(xl - elh.hl/2) -xs| + |(yl - elv.vl/2) – ys| Min z = Σ Σ fijcijdij + Σ Σ fijcijdij + flsclsdls iM jT iT jT Résolution d’un problème d’agencement d’équipements par Programmation Par Contraintes 13

Contraintes Positionnement dans l'atelier hi/2 ≤ xi ≤ Bx-hi/2 et vi/2 ≤ yi ≤ By-vi/2 i  M  T Dimensions et orientation des tronçons si longueur verticale alors largeur horizontale et vice et versa : hi + vi = Li + li i  T orientation verticale ou horizontale : eih=0 <=> eiv!=0 i  T entrée du coté de la largeur : eih!=0 => hi=Li et eiv!=0 => vi=Li i  T Non superposition des zones si superposition horizontale alors non superposition verticale : |xi-xj| < (hi+hj)/2  |yi-yj| ≥ (vi+vj)/2 si superposition verticale alors non superposition horizontale : |yi-yj| < (vi+vj)/2  |xi-xj| ≥ (hi+hj)/2 Résolution d’un problème d’agencement d’équipements par Programmation Par Contraintes 14

Approches de résolution Modèle présenté testé est peu efficace en terme de pertinence des solutions et en temps d’exécution  partage de la résolution du problème en 3 sous problèmes: Placement de la chaîne principale Car coûts très élevés pour un écart entre 2 tronçons par rapport au reste des autres coûts de production et manutention Placement des chaînes secondaires Placement des magasins Le placement des magasins se fait après avoir placer tous les tronçons car il peuvent alimenter des tronçons de la chaîne principale et aussi des chaînes secondaires Résolution d’un problème d’agencement d’équipements par Programmation Par Contraintes 15

Placement de la chaîne principale Ajout de contrainte pour diminuer le nombre de possibilités : dij  li/2 + lj/2+  i,j  T (chaîne principale et successifs) dls   avec l : indice du dernier tronçon et s : sortie de l’atelier xp + ephhp/2 = xe et yp + epvvp/2 = ye avec p : indice du premier tronçon et e :entrée de l’atelier Si eih = ejh et eiv = ejv alors dij = 0 Si i et j sont perpendiculaires alors la sortie de i aura soit la même abscisse soit la même ordonnée que la position d’arrivée (entrée, centre ou sortie) de i sur j Arrêt de la recherche si la solution courante a plus de coudes que la meilleure solution déjà trouvée Résolution d’un problème d’agencement d’équipements par Programmation Par Contraintes 16

Placement de la chaîne principale L’ordre des variables dans notre arbre suit l’ordre des tronçons dans la chaîne principale,avec pour chacun des tronçons les variables d’orientation en premier et abscisse et ordonnée après On prouve la solution optimale avec une première recherche et on trouve toutes les solutions ayant ce résultat dans une deuxième recherche On a maintenant l’ensemble des positions possibles pour la chaîne principale, nous pouvons passer au placement des chaînes secondaires Résolution d’un problème d’agencement d’équipements par Programmation Par Contraintes 17

Placement des chaînes secondaires Nous allons prendre en compte toutes les positions de la chaîne principales une à une Pour diminuer la combinatoire de ce problème nous noua rajouter quelques contraintes supplémentaires pour compacter les chaînes secondaires : Si i et j dans la même chaîne et le même sens alors dij = 0 Si i et j parallèles alors dij  (li+lj)/2 Si i et j sont perpendiculaire alors dij = li/2 ou dij = lj/2 Résolution d’un problème d’agencement d’équipements par Programmation Par Contraintes 18

Placement des chaînes secondaires Nous avons 2 approches pour l’ordre des variable dans l’arbre de recherche : Pour ces 2 approches, nous avons l’ordre inverse des tronçons de chacune des chaînes, et les variables pour chaque tronçon sont comme pour la chaîne principale Si une chaîne i se jette dans une chaîne j, elle se trouvera après la chaîne j dans l’ordre des chaînes 1) Les chaînes sont classées par ordre croissant de leur nombre de tronçons 2) Par ordre décroissant Nous lançons ces 2 recherches en parallèle, on trouve un premier optimum qui sert de borne supérieure pour le reste de la recherche (optimum qui peut être amélioré sur une autre position de la chaîne principale) Résolution d’un problème d’agencement d’équipements par Programmation Par Contraintes 19

Placement des magasins Nous allons travailler avec l’ensemble de positions des tronçons résultants des 2 approches précédentes Ce problème se rapproche d’un problème d’affectation des positions pour les magasins Création d’une grille dans l’atelier pour donner des emplacements aux cases des magasins Le pas de la gille 5 mètres (trop grand nombre de variables avec un pas de 1 mètre) Modèle de résolution en PLNE avec variables binaires xik où xik = 1 si la case pivot du magasin i est en k, 0 sinon Résolution d’un problème d’agencement d’équipements par Programmation Par Contraintes 20

Placement des magasins / Bx/5By/5 | Min z = ∑ ∑ ∑ fijcijdijkxik | i M jT k=1 | sujet à : | - xik = 0 ( i  M, | k une des case du magasin i occupée par un | tronçon ou hors de l’atelier) < Bx/5By/5 | - ∑ xik =1 (i  M) | k=1 | - ∑ ∑ xij ≤ 1 (1 ≤ k ≤BxBy) | iM lL | (où L est l’ensemble des case tel que k soit occupée si le magasin i est en l) | \ xik  {0,1} (i  M) (1 ≤ k ≤BxBy) Résolution d’un problème d’agencement d’équipements par Programmation Par Contraintes 21

Résultats Désignation atelier Chaîne principale Chaînes secondaires Magasins Nb Reso Temps Ex1 1 10 0,16 4 0,08 Ex2 22 1,95 8 0,98 Ex3 14 29 0,31 Ex4 15 2 382 0,91 Ex5 6 84 352 122 Ex6 78 Résolution d’un problème d’agencement d’équipements par Programmation Par Contraintes 22

Conclusion et Perspectives La rapidité a été privilégiée pour rendre possible une utilisation de cette résolution en milieu industriel Résolution rapide du problème avec des solutions relativement pertinentes vu les solutions obtenues Pour le placement des tronçons : Donner plus de liberté aux tronçons, Travail sur le modèle de placement des magasins par : Réduction du pas de la grille de l’atelier Magasins rectangulaire Recherche locale sur la solution actuelle Résolution d’un problème d’agencement d’équipements par Programmation Par Contraintes 23

Etat de l'art / Optimisation Représentation topologique Adaptées aux approches constructives (ex : SHAPE) et recherche locale (ex : CRAFT) Graphes d'adjacences Graphe dont les nœuds représentent une zone et les arêtes les relations d'adjacences entre les zones Arbre de découpe (slicing tree) Création d'un "floorplan" (une partition du rectangle initial) qui peut se représenter par un arbre (binaire) dont chaque nœud correspond à un rectangle Résolution d’un problème d’agencement d’équipements par Programmation Par Contraintes 24

Etat de l'art / Optimisation Problème d'affectation quadratique Affecter à chaque zone une et une seule position Min z = Σ Σ Σ Σ fij.cij.dlk.xik.xjl fij : flux entre les zones i et j cij : coût entre les zones i et j dlk : distance entre la position l et k xik : 1 si la zone i est dans la position j, 0 sinon Programmation Linéaire en Nombres Entiers (PLNE) Variables pour les coins de chacune des zones, pour les informations entre deux zones (flux, coût, localisation) m m m m i=1 j=1 k=1l=1 Résolution d’un problème d’agencement d’équipements par Programmation Par Contraintes 25

Le problème Atelier Bx By Entrée (xe, ye) Sortie (xs, ys) 1 By Entrée (xe, ye) 1 2 3 3 4 2 7 5 Sortie (xs, ys) 6 Résolution d’un problème d’agencement d’équipements par Programmation Par Contraintes 26