Modélisation des séries de taux de pluie haute résolution par des processus multiplicatifs intégrés Louis de Montera LATMOS (Laboratoire Atmosphères Milieux et Observations Spatiales) 10-12 avenue de l’Europe, 78140 Vélizy-Villacoublay louis.demontera@latmos.ipsl.fr

Énergie répartie uniformément I/a Turbulences et cycle de l’eau La pluie est fortement liée aux turbulences: Soleil Énergie répartie uniformément Vapeur d’eau Énergie Localisée Nuages Énergie Localisée + Pluie Énergie Localisée ++ Turbulences Modèle phénoménologique (Richardson 1922) : L’énergie injectée à grande échelle est transférée aux échelles plus petites par une hiérarchie de tourbillons de plus en plus petits, jusqu’à l’échelle de dissipation. Éruption du Mont Saint Helens (Mai1980) => Modélisation de l’intensité de la pluie par des cascades multiplicatives

I/a Cascades multiplicatives : formalisation La méthode de construction est indépendante de l'échelle. Cascade multiplicative: 1/ Distribuer une quantité Φ uniformément 2/ Découper en sous-intervalles 3/ Multiplier par un poids wn/n+1 aléatoire 4/ Répéter 2 et 3 avec des résolutions λ de + en + fine => Propriétés d'invariance d'échelle

Vérification expérimentale et estimation de K(q) I/a Cascades multiplicatives: invariance d'échelle des moments Loi d’invariance d’échelle des moments (multifractale): Fonction d'échelle des moments Moment d'ordre q (pas nécessairement entier) Cascade à la résolution λ Résolution 10 s. 10 h. q=0 q=3 q=2 10 mn Vérification expérimentale et estimation de K(q)

I/a Cascades multiplicatives: Multifractales Universelles On suppose un processus continu: une infinité de ‘pas multiplicatifs’ entre deux échelles (Schertzer & Lovejoy, 1987, 1997). => Il existe un attracteur universel Distributions de Lévy (Gaussienne en noir)

I/a Cascades multiplicatives: Flux Intégré Fractionnairement (FIF) Cascade continue Φλ (H=0) Multifractales Universelles: α, 0->2, degré de multifractalité C1,0->1, normalisation, codimension fractale moyenne Intégration fractionnaire (H=0.5) De plus, comme en turbulence, la cascade est intégrée: Taux de pluie R (FIF) H : dépendance à long-terme, lissage Loi de Kolmogorov (1941): En turbulence, seuls les gradients ont un sens. temps,s.

I/b Données haute résolution: le spectropluviomètre bi-faisceau (DBS) Le Dual-Beam Spectropluviometer (DBS) permet de mesurer le diamètre, la vitesse de chute et le temps d’arrivée des gouttes de pluie. Grande Surface de collecte (100cm2) Restitution précise de la vitesse de chute Peu sensible aux fausses détections dues aux turbulences

I/b Données haute résolution: les séries de taux de pluie 3 bases des données expérimentales (résolution≈30s): Expérience Lieu Durée Période de mesure SIRTA Paris, France 3 mois Du 01/04/2000 au 30/06/2000 DEVEX Iowa, USA 4 mois Du 01/04/2002 au 31/07/2002 AMMA Djougou, Benin 2 mois Du 15/07/2006 au 15/09/2006

I/b Données haute résolution: analyse Paramètres proposés dans la littérature (séries complètes, résolution=1h) : α≈0.4, C1≈0.55, H≈0 Analyse évènement par évènement (pas de données à zéro, résolution=30s) : Experiment α C1 H SIRTA 1.740 ±0.090 0.131 ±0.051 0.421 ±0.130 DEVEX 1.683 ±0.075 0.130 ±0.024 0.537 ±0.105 AMMA 1.687 ±0.082 0.127 ±0.022 0.645 ±0.107 All data α=1.703 ±0.084 C1=0.129 ±0.034 H=0.534 ±0.144 => Les paramètres obtenus à basse et haute résolution sont différents

I/c L'intermittence: un effet sous-estimé? Deux lois d’échelle différentes à basse et haute résolution? Pas de justification précise pour H=0 La turbulence est une cascade intégrée, or si H=0, le taux de pluie est une cascade pure stationnaire... Un processus peut-il être intégré ou non-intégré selon la résolution? Un artefact à basse résolution dû à l’intermittence ‘on-off’? Les valeurs à 0 représentent 95% des données. Le modèle FIF n'est pas fait pour générer des périodes sans pluie. L'analyse multifractale a-t-elle un sens sur une période sans pluie? => Hypothèse difficilement soutenable => Hypothèse plus vraisemblable

I/c L'intermittence: effet sur les paramètres Présence d’intermittence: => Cassure des relations d'invariance d'échelle des moments À une résolution suffisamment faible, le changement de résolution correspond à la dégénérescence d'une fonction créneau: => On montre que α→0, C1→1 et H→0

I/d Modèle de séries de taux de pluie: FIF 'à seuil' Est-il possible de reproduire artificiellement la loi d’échelle à basse résolution? 1/ Simulation d'un FIF avec les paramètres à haute résolution 2/ Introduction de l'intermittence à l'aide d'un seuil α≈1.75, C1≈0.15,H≈0.6 (Gagnon et al. 2006) Simulation d’image radar 2D Simulation série temporelle de taux de pluie

I/d Dimension fractale: les poussières de Cantor (1882) Facteur de changement d’échelle = 3 Résolution à l’échelle n: 3n Nb segments noirs à l’échelle n: 2n Définition de la dimension et de la codimension fractale: 13

I/d Modèle de séries de taux de pluie: validation On choisit le seuil afin de reproduire précisément l'intermittence de la pluie. ‘Box-counting’ Lavergnat & Golé (1998) Df=0.82 => Le modèle reproduit la cassure et les paramètres basse et haute résolution

I/e Conclusions L'intermittence peut biaiser l'analyse multifractale. L'analyse évènement par évènement donne des nouveaux paramètres α=1.7, C1=0.13, H=0.53. Un FIF synthétique et un simple seuil permettent de simuler des séries de taux de pluie. Simulateur de série de taux de pluie valable à des échelles temporelles très fines. Lien avec les turbulences Validation expérimentale Un seul processus pour générer le support et le taux de pluie L. de Montera, L. Barthès, C. Mallet and P. Golé : The effect of rain-no rain intermittency on the estimation of the Universal Multifractal model parameters, J. of Hydrometeorology (in press).