Laboratoire Biométrie et Biologie Evolutive Algèbre Muriel Ney Laboratoire Biométrie et Biologie Evolutive ney@biomserv.univ-lyon1.fr http://mathsv2.univ-lyon1.fr

Calendrier (sur MathSV) 02-02 09-02 16-02 23-02 01-03 08-03 15-03 22-03 29-03 05-04 12-04 CM   TT TD Calendrier (sur MathSV) Evaluations (QCM) Contrôles Continus (problème) 19-04 26-04 03-05 10-05 17-05 24-05 CM   TD TT

Objectif général du cours Apprendre à utiliser le langage mathématique pour résoudre des problèmes où interviennent des phénomènes biologiques Apprendre les concepts de base et se familiariser avec les usages et les significations de ces concepts en fonction de la situation biologique

Le plan des cours d’algèbre ‘Etude des phénomènes structurés en classes’ Introduction aux matrices : exemples en dynamique de population CM 1 Les espaces vectoriels, les bases et les matrices : définitions et opérations CM 1-CM 2 Les matrices pour résoudre des systèmes linéaires CM 2- CM3 Diagonalisation d’une matrice : applications en dynamique de population et en génétique CM 3-CM 4 Normes et distances CM 4

Les cours de statistiques ‘Prise de décision sur un phénomène aléatoire’ Statistiques descriptives Estimation Tests d’hypothèses ANOVA Régression linéaire

Déterminisme et Hasard Peut-on prédire l’évolution au court du temps d’une population d’organismes vivants ? La croissance Déterminisme = reproduction, mortalité, etc. Variabilité (« hasard ») = temps et succès de la reproduction, etc.

Déterminisme et Hasard Peut-on prédire l’évolution au court du temps d’une population ?

Déterminisme et Hasard 1. Modèles du hasard Se décider dans une situation où le hasard intervient outils = probabilités et statistiques

Déterminisme et Hasard 2. Modèles déterministes Faire le lien entre le phénomène et les processus qui le provoquent Outils : Fonctions et équations différentielles (1ère année) Matrices et systèmes linéaires (2ème année)

Pourquoi des modèles en biologie ? Une modèle est une solution à un problème et permet de comprendre une situation biologique Un instrument d’analyse : des hypothèses, des mécanismes, des prévisions, un cadre pour faire des expériences

1. Introduction aux matrices : exemples en dynamique de population

Croissance de la population chinoise : modèle exponentiel en temps continu (rappels) 1,28 milliards d’habitants en 2001. On prévoit que les taux de natalité et mortalité dans la période 2001-2005 seront stables; le taux de natalité est de 13‰ en 2001, tandis que le taux de mortalité est de 3‰. Nombre d’habitants en 2005 ? (taux d’accroissement, r ,indépendent de n) Solution n0 = 1,28 r = (13-3)/1000 = 0,01 Donc n = 1,33 milliards en 2005.

Quand les générations ne se recouvrent pas et/ou les naissances arrivent simultanément (ou presque) Papillons, insectes univoltines, plantes annuelles, etc. Nt+1 = R Nt Nt nombre de femelles à la génération t R=sPm s = la sex-ratio (par exemple 0,5) P = la probabilité de survie d’une femelle au court d’un pas de temps t m = le nombre moyen de jeunes engendrés par une femelle (indépendent de N) Modèle exponentiel en temps discret

Le modèle exponentiel discret Nt+1 = R Nt N1 = R N0 N2 = R N1 = R 2N0 … donc Nt = R tN0 R<1 la population décroît R=1 la population reste égale à N0 R>1 la population croît de façon exponentielle

Quand les organismes vivent longtemps et ont une fécondité qui dépend de l’âge ou du stade de développement Est-ce que la croissance de la population peut être décrite par un modèle exponentiel ?

Modèles structurés par classes Hypothèses : A chaque âge/stade une classe i=1, 2, … Un pas de temps discret t : entre t et t+1 tous les individus de la classe i passent dans la classe i+1 Taux de fécondité et de mortalité indépendants du nombre d’individus présents et de t (mais pas de i)

Hirondelle de cheminée (MathSV série 3 pb 2) Deux classes d’individus : 1 an (fécondité moyenne = 3 juvéniles par femelle) 2 ans ou plus (fécondité moyenne = 6 juvéniles par femelle) 20 % des juvéniles atteignent l’âge d’1 an La survie des oiseaux de 1 an est de 0,49, celle des oiseaux de 2 ans ou plus est de 0,66 La sex ratio est de 0,5.

On compte les individus juste après les naissances * Printemps été-automne-hiver Printemps Reproduction Survie Reproduction * 1 an 2 ans ou plus Juvéniles Juvénile = 0 à 1 an 1 an = 1 à 2 ans 2 ans et plus = 2, 3, 4 … ans

On compte les individus juste après les naissances Juvénile = 0 à 1 an n0t 1 an = 1 à 2 ans n1t 2 ans et plus = 2, 3, 4 … ans n2t s = la sex-ratio (0,5) Pi = la probabilité de survie d’un individu, dans chaque classe i, au court d’un pas de temps mi = le nombre moyen de jeunes engendrés par une femelle dans chaque classe i sur un pas de temps

On compte les individus juste avant les naissances * Juvénile = 0 à 1 an 1 an = 1 à 2 ans 2 ans et plus = 2, 3, 4 … ans 1 an 2 ans ou plus Printemps été-automne-hiver Printemps Reproduction Survie Reproduction *

On compte les individus juste avant les naissances Juvénile = 0 à 1 an 1 an = 1 à 2 ans n1t 2 ans et plus = 2, 3, 4 … ans n2t

Prédiction : Taux d’accroissement de la population >1 donc la population croît exponentiellement Vérification : avec n1=2 et n2=20 individus au temps t=0, on peut suivre la population n1+n2 au court du temps

Conclusion Une prédiction basée sur une démonstration mathématique plutôt qu’ un long calcul ou des expériences à long terme impossibles à réaliser Outils : les matrices

Objectif dans les exemples en dynamique de population Définir et calculer un taux d’accroissement à partir de la matrice M pour connaître le devenir de la population à long terme

2.a Les espaces vectoriels MathSV chapitre 1

Un vecteur

Addition multiplication par un scalaire

Des espaces vectoriels L’ensemble des vecteurs du plan L’ensemble des réels L’ensemble des nombres complexes L’ensemble des polynômes

Un espace vectoriel Définition : Un ensemble d’éléments (“vecteurs”) sur lesquels on peut définir deux lois de compositions notées + (addition de deux éléments) et X (multiplication d’un élément par un scalaire)

Vers la définition d’une base d’un espace vectoriel …

Une combinaison linéaire Les combinaisons linéaires des vecteurs s’écrivent où les ai sont des scalaires

Une famille génératrice La famille des vecteurs , et est une famille génératrice de IR3 car tout élément de l’espace vectoriel IR3 peut s’écrire comme une combinaison linéaire de cette famille. et est une autre famille génératrice de IR3 (démonstration : MathSV « combinaisons linéaires, générateurs »)

Une famille libre Une famille de vecteurs d’un espace vectoriel E est libre si ses vecteurs sont linéairement indépendants (on ne peut pas écrire l’un d’entre eux comme une combinaison linéaire des autres).

Une base Une famille de vecteurs d’un espace vectoriel E est une base de E si elle est à la fois libre ET génératrice. La famille des vecteurs , et est une base de  Base canonique

Coordonnées d’un vecteur Si on se donne une base et un vecteur alors ce vecteur peut s’écrire de façon unique comme une combinaison linéaire des vecteurs de la base Les ai sont les coordonnées de ce vecteur dans cette base.

Dimension Dimension d’un espace vectoriel = nombre de vecteurs dans chaque base

2.b Les matrices MathSV chapitre 3

Exemples Une matrice (n,p) est un tableau contenant des réels avec n lignes et p colonnes A : matrice de dimension (3,2) Éléments de A Un vecteur colonne dans la base canonique de IR3 Un vecteur ligne dans la base canonique de IR2