 1____Probabilité  2______variables aléatoires discrètes et continues  3______loi de probabilités d’une v a  4_______les moyens et les moyens centraux.

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2  1____Probabilité  2______variables aléatoires discrètes et continues  3______loi de probabilités d’une v a  4_______les moyens et les moyens centraux d’ une v a  5_______lois classiques 51 lois classiques discrètes 52 lois classiques continues  Applications

3 I. Probabilité : II. Definition d’une variable aléatoire : III. Experience aléatoire et probabilité: IV. variable aléatoire : V. Variable aléatoire indépendante et conditionnelle : VI. Definition d ’une loi de probabilité : VII. Lois discrètes : VIII. Lois continues :

4  Les probabilités sont la branche des mathématiques qui calcule la possibilité d’exécution d’un événement, c'est-à-dire la fréquence d'un événement par rapport à l'ensemble des cas possibles.mathématiques  Cette branche des mathématiques est née des jeux du hasard et de certain phénomènes naturels.

5  Suite d’évènements dont les variables varient dans des intervalles de valeurs connus, sans que les valeurs précises le soient avec une certitude absolue.  La fréquence d’occurrence de chaque valeur est utilisée comme mesure relative de sa certitude, ou probabilité d’occurrence: a

6  L’univers associé à une expérience aléatoire est l’ensemble des issues de cette expérience aléatoire. Il est noté Ω.  Un élément de Ω: est une issue (résultat possibles).  Un événement: est un élément de P(Ω).  Un événement élémentaire: est un singleton de Ω, élément de P(Ω).  Ω e st l’événement certain.  Ø est l’événement impossible.

7  Soit Ω un univers fini associé à une expérience aléatoires.  Une probabilité sur Ω est une application P de P( Ω ) dans [0,1] vérifiant de plus les deux axiomes :  P( Ω ) = 1.  ∀ (A,B) ∈ (P( Ω ))² : A∩B = Ø ⇒ P(A ∪ B) = P(A) + P(B)  Un espace probabilisé fini est un couple ( Ω, P) où Ω est un univers fini non vide et P une probabilité sur Ω

8 Dans une expérience aléatoire, on s’intéresse rarement à l’espace probabilisé dans son ensemble, mais plus souvent a un aspect particulier du résultat. Par exemple : 1. le nombre de boules rouges obtenues lors d’un tirage de n boules. 2. la somme des faces obtenues lors d’un lancer de 2 dés. Dans les deux cas, ce qui nous intéresse est en fait une grandeur X qui peut prendre différentes valeurs entières selon les événements élémentaires qui se produisent. Il s’agit donc d’une application X :  → 1N.

9 Soit  un univers fini et E un ensemble.  Toute application X :  → E est appelée une variable aléatoire.  Lorsque E = 1R on dit que X est une variable aléatoire réelle.

10 Esperance : Variance : H

11  Une variable aléatoire continue est une variable qui prend ses valeurs dans un intervalle de 1R.  Utilise une fonction de densité f de probabilité positive et intégrable :  Espérance : Variable aléatoire continue

12  Probabilité conditionnelle  Probabilité conditionnelle : Variables aléatoires indépendantes et conditionnelles Soit ( Ω, P) un espace probabilisé fini. Soit B un événement tel que P(B)≠0. Pour tout événement A, la probabilité de A sachant B, notée P B (A) (ou P(A/B) ou P /B (A)), est:  Probabilitéindépendante:  Probabilité indépendante: Si l’occurrence de A ne depend pas de B alors on a:

13 Loi de probabilite PX associe a une variable aléatoire X Définition : Loi de probabilite PX associe a une variable aléatoire X Soit P une probabilite sur un univers fini  et X une variable aléatoire definie sur .  étant de cardinal fini, X(  ) est aussi de cardinal fini. La fonction suivante est alors une probabilite sur X(  ) : PX : P(X(  )) −→ [0, 1] A → P(X ∈ A) Cette probabilité est appelée la loi de probabilité de X

14 Lois de probabilité discrètes  Loi uniforme  X={1,2,…,n} :  Loi de bernoulli  X={0,1} :

15  Loi géométrique L’évènement de probabilité p apparaît au k ième essais => k épreuves de bernoulli, avec X=1 à la k ième et 0 avant :  Loi sans mémoire : La probabilité de l’événement au k ième essai ne dépend pas de l’historique des évènements  Loi binomiale L’évènement de probabilité p apparaît k fois en n essais => n épreuves de bernoulli, avec les combinaisons de k dans n  X={0,1,2, …, n) :

16  Loi de Poisson

17  Loi Gamma Généralisation de la loi exponentielle utilisée dans les files d’attentes. P(X > x) = probabilité d’attendre plus de x minutes avant la k ième apparition du phénomène étudié, avec 1/ comme temps moyen d’attente entre deux apparitions du phénomène. A Lois de probabilité continues

18  Loi de Gauss (« normale ») Loi fondamentale en statistique. Très souvent utilisée en modélisation.  B(n;p)  N(np;np(1-p)) (np et n(1-p) supérieurs à 5)  P( )  N( ; ) (avec >18) H  Loi limite de caractéristiques issues d’un échantillon de grande taille.  On a les convergences suivantes (souvent abusées dans les sondages !):