Décomposition d’une série chronologique dans SPSS version 11 Michel Tenenhaus

1. Les données Indice de la Production Industrielle de la France (1963 - 1982)

Visualisation de la série IPI Cette série présente une tendance et une saisonnalité

Visualisation de la saisonnalité

Visualisation de la tendance Tendance Zt Moyenne mobile centrée d’ordre 4 :

2. Le modèle multiplicatif Décomposition de la série observée Xt en trois composantes : Xt = Tt  St  Rt où Tendance Tt = Courbe lisse passant au milieu des données, gommant aléas et saisonnalité Saisonnalité St = Composante traduisant une périodicité annuelle Résidu Rt = Composante aléatoire

Décomposition classique de IPI

Décomposition classique de IPI Results of SEASON procedure for variable IPI. Multiplicative Model. Centered MA method. Period = 4. Zt SRt=IPI/Zt St Yt=IPI/St Tt Rt=IPI/(Tt*St) Seasonal Seasonally Smoothed Case Moving Ratios factors adjusted trend- Irregular number IPI averages (* 100) (* 100) series cycle component 1 68.000 . . 103.602 65.636 67.633 .970 2 74.000 . . 103.351 71.601 70.436 1.017 3 64.000 72.125 88.735 86.404 74.070 72.406 1.023 4 78.000 73.875 105.584 106.642 73.142 73.806 .991 5 77.000 74.625 103.183 103.602 74.323 74.603 .996 6 79.000 74.875 105.509 103.351 76.438 75.071 1.018 7 65.000 74.875 86.811 86.404 75.228 74.933 1.004 8 79.000 74.750 105.686 106.642 74.079 74.698 .992 . 77 137.000 132.250 103.592 103.602 132.236 132.182 1.000 78 136.000 131.375 103.520 103.351 131.590 131.283 1.002 79 111.000 . . 86.404 128.466 130.445 .985 80 140.000 . . 106.642 131.280 129.454 1.014

3. Calcul de la composante saisonnière Si Les composantes Si sont les moyennes des SRt par trimestre, après exclusion des minimums et maximums et normalisation (somme des Si = 4) Résultat : S1 = 1.036 S2 = 1.034 S3 = 0.864 S4 = 1.066

4. Série corrigée des variations saisonnières Yt

5. Estimation finale Tt de la tendance Tendance Tt Moyenne mobile de la série corrigée des variations saisonnières Yt : pour t = 3 à n-2 Évolution sur une période Sur les bords : T2 = (Y1+Y2+Y3)/3 ; T1 = T2 - [(T2+T3) - (Y1+Y2)]/2 Tn-1 = (Yn-2+Yn-1+Yn)/3 ; Tn = Tn-1 + [(Yn-1+Yn) - (Tn-2+Tn-1)]/2

6. Calcul des résidus Rt De Xt = Tt  St  Rt on déduit :

7. Prévision de IPI pour l’année 1983 Formule de prévision : où : = extrapolation de la tendance St = Coefficient saisonnier pour t = obs. 81 à obs. 84 ( T1 à T4 de 1983)

Tendance polynomiale On approxime la tendance Tt par un polynôme en t de degré 3 :

Tendance polynomiale On approxime la tendance Tt par un polynôme en t : On obtient 0, 1, 2, 3 par régression multiple de la tendance Tt sur les variables t, t2 et t3.

Estimation de la tendance cubique

Prévision de IPI pour 1983 Formule de prévision Application Prév. de IPI1983.1 (t = 81) = 129.73381.03602 = 134.41 Prév. de IPI1983.2 (t = 82) = 129.04151.03351 = 133.37 Prév. de IPI1983.3 (t = 83) = 128.27370.86404 = 110.83 Prév. de IPI1983.4 (t = 84) = 127.42901.06642 = 135.89

Ajustement et prévision de la série IPI par le modèle

Conclusion La décomposition classique suppose une saisonnalité stable au cours du temps. Les données atypiques sont conservées pour estimer la tendance. La méthode CENSUS-X11 corrige les données atypiques et permet une saisonnalité évolutive. L’ajustement de la tendance par un polynôme en t est trop rigide. Les méthodes de prévision par lissage donnent plus de poids aux données proches qu’aux données lointaines.