Analyse de la variance à un facteur Michel Tenenhaus

Exemple 1 (Snedecor et Cochran) Comparaison de quatre matières grasses Poids de matière grasse absorbée par fournée de 24 beignets

Résultats graphiques

Analyse de la variance à un facteur Y = Poids des matières grasses absorbées X = Type de matière grasse Modèle : Yij =  + i + ij, avec ij ~ N(0,) Il y a indétermination puisque Yij = ( + c) + (i - c) + ij, avec ij ~ N(0,) pour tout c.

Fonction estimable Modèle : Yij =  + i + ij, avec ij ~ N(0,) (sur-paramétré) Yij =  + i + ij, avec ij ~ N(0,) i = E(Yij) =  + i estimé par Forme des fonctions estimables : est estimé par .

Forme des fonctions estimables : somme des autres coefficients

Résultats SPSS SPSS

Estimation de 

Résultats SPSS Ecrire les contrastes testés

Exemple de fonction non estimable n’est pas estimable UNIANOVA poids BY type_mg /METHOD = SSTYPE(3) /INTERCEPT = INCLUDE /LMATRIX = "delta" intercept 1 type_mg 0 0 0 0 /PRINT = PARAMETER TEST(LMATRIX) /CRITERIA = ALPHA(.05) /DESIGN = type_mg . Réponse SPSS

Comparaisons multiples des moyennes Méthode de Tukey (Effectifs des classes inégaux) On rejette H0 : i = j au risque global  de toutes les comparaisons si :

Résultats SPSS Conclusion Il y a un effet MG : MG2  MG4 Essayer avec alpha = .107.

Comparaisons multiples des moyennes Méthode REGWQ (Effectifs des classes égaux) Procédure itérative - On teste tout d’abord l’homogénéité de toutes les moyennes au risque k. - Si l’on rejette l’homogénéité, alors chaque sous-ensemble de k-1 moyennes est testé au risque k-1; Sinon la procédure est terminée. - Et ainsi de suite... Choix des p : k = , k-1 = , k-2 = 1 - (1-)(k-2)/k > , etc...

Test sur l’homogénéité de p moyennes Les moyennes sont ordonnées : On a : n1 = n2 = … = nk = n. L’homogénéité de p moyennes est rejetée par REGWQ si Le seuil critique diminue avec p. Pour p = k, on retrouve la méthode de Tukey.

Conclusion Il y a un effet MG : MG2  MG4 REGWQ donne des résultats plus significatifs que Tukey. Essayer alpha = .1.

Comparaison de k-1 moyennes à une moyenne de contrôle : Le test de Dunnett On suppose que le témoin est l ’échantillon n° 2. On rejette H0 : i = 2 au risque  si où d1- est donné dans la table de Dunnett.

Résultats SPSS UNIANOVA poids BY type_mg /METHOD = SSTYPE(3) /INTERCEPT = INCLUDE /POSTHOC = type_mg ( DUNNETT(2)) /CRITERIA = ALPHA(.05) /DESIGN = type_mg .

Test d’un contraste Modèle : Yij =  + i + ij, avec ij ~ N(0,) i Statistique utilisée : avec t  t(N-k) et F  F(1, N-k) sous H0.

Test d’un contraste : Exemples Modèle : Yij =  + i + ij, avec ij ~ N(0,) i 1er exemple de test :

Code SPSS Demande sur les moyennes UNIANOVA poids BY type_mg /METHOD = SSTYPE(3) /INTERCEPT = INCLUDE /CRITERIA = ALPHA(.05) /DESIGN = type_mg /CONTRAST (type_mg)=SPECIAL (1 1 -1 -1) /PRINT = PARAMETER TEST(LMATRIX). porte sur 

2e exemple :

Test de plusieurs contrastes indépendants Modèle : Yij =  + i + ij, avec ij ~ N(0,) i Test :

Statistique utilisée : Calcul des sommes de carrés résiduelles : Statistique utilisée : Décision : On rejette H0 au risque  de se tromper si F  F1-(m, N-k)

Exemple : Test de l’effet MG Test : H0 : 1 = 2 = 3 = 4 H1 : Au moins un i différent des autres Test : H0 : 1 = 2 = 3 = 4 H1 : Au moins un i différent des autres Calcul des sommes de carrés résiduelles :

Statistique utilisée : où : Décision : On rejette H0 au risque  de se tromper si F  F1-(k-1, N-k).

Résultats

Code SPSS UNIANOVA poids BY type_mg /METHOD = SSTYPE(3) /INTERCEPT = INCLUDE /CRITERIA = ALPHA(.05) /DESIGN = type_mg /CONTRAST (type_mg)=SPECIAL (1 -1 0 0, 1 0 -1 0, 1 0 0 -1) /PRINT = TEST(LMATRIX).

Custom Hypothesis Tests

Identification des outliers : Le RSTUDENT L’observation i0j0 est-elle un outlier ? On pose ui0j0 = 1 pour l’observation i0j0 , = 0 sinon. Modèle : Yij =  + i + ui0j0 + ij, avec ij ~ N(0,) Test : H0 :  = 0 (observation i0j0 normale) H0 :   0 (observation i0j0 outlier) RSTUDENT : à comparer à un t1-/2(N-k-1)

Résultats SPSS : Studentized deleted residuals Régression de Poids sur les variables indicatrices de MG1, MG2,MG3:

Normalité des résidus (*) (*) Utiliser les résidus studentisés

Tests d’homogénéité des variances Test de Levene Analyse de la variance des valeurs absolues des résidus sur le facteur étudié :

Conclusion sur le test d’homogénéité des variances Unless the group variances are extremely different or the number of groups is large, the usual ANOVA test is relatively robust when the groups are all about the same size (Documentation de la Proc GLM) To make the preliminary test on variances is rather like putting to sea in a rowing boat to find out whether conditions are sufficiently calm for an ocean liner to leave port ! (Box, 1953)