GENERALITES SUR LES MOUVEMENTS VIBRATOIRES. Définitions Et Propriétés Des Mouvements Périodiques. On dit qu'un mouvement est périodique quand il se reproduit identique à lui-même au bout d'un temps appelé période T. La fréquence n est le nombre de périodes par seconde, donc n = 1 / T. Le plus simple des mouvements périodiques est le mouvement sinusoïdal rectiligne. Si y(t) est l'élongation d'un point à un instant t, l'équation du mouvement s’écrit : A : amplitude du mouvement ou élongation maximum w : pulsation du mouvement ; wt : est appelé la phase et j la différence de phase par rapport â l'origine du temps considérée. Décomposition D'une Fonction Périodique Quelconque. Théorème : n'importe quelle fonction périodique peut être décomposée en fonctions de période T, T /2, T/3 etc. Ceci permet de se limiter à l'étude des fonctions sinusoïdales de la forme : Calcul de t : d'après la définition de la période, si au temps t la phase est w t + j, au temps t + T, la phase doit être la même à 2p prés : En simplifiant : On a ainsi :

La façon la plus générale d'écrire une fonction périodique est : En effet, nous avons : Soit : Inversement, si on donne M et N, on peut calculer A et j en constatant que : Propagation D'une Vibration Prenons le cas d'une corde. Si on donne un ébranlement au point A à la corde, au bout d'un temps t, on remarque expérimentalement qu'il se trouve en N. La vibration est transversale car elle se propage perpendiculairement à la corde. Si en A, on donne à la corde un mouvement sinusoïdal : on retrouvera en N le même mouvement mais retardé par rapport à A du temps t soit : t correspond au temps mis par l'onde pour parcourir la distance AN = x soit, si v est la vitesse de propagation de l'onde sur la corde : d’où : C'est ce que l'on appelle une onde progressive. Cherchons s'il y a des points M1 et M2 de la corde qui vibrent toujours de la même façon. Si c'est le cas il faut que la différence des phases aux points M1 et M2 soit égale à un nombre entier de fois 2p soit : Or vT est la distance parcourue pendant une période, on l’appelle la longueur d'onde et l'on note : On a ainsi d = n l, tous les points distants de l vibrent en phase. L’équation de propagation d’une onde est : On utilise souvent la forme :

l = v T x y T t y   ou : Avantage : Attention :

Propagation et polarisation ONDES  Propagation et polarisation Polarisation rectiligne Polarisation elliptique Le plan dans lequel a lieu la vibration est appelé plan de polarisation de l’onde. Une onde se propageant dans un plan peut être représentée par un vecteur (perpendiculaire à la direction de propagation pour une onde transversale) dont le module est donné par y(x,t). On dit encore que la fonction d’onde (r,t) est une fonction de l’espace et du temps. Onde sphérique, approximation en onde plane

Propagation d’une onde transversale : Onde électromagnétique, lumière, corde vibrante… Propagation d’une onde longitudinale : onde acoustique, son, onde mécanique…

EQUATION D’ONDE c’est une fonction de 2 variables t et x, nous cherchons à établir une relation entre ses dérivées secondes par rapport au temps et par rapport à la position : en opérant de façon similaire pour On obtient :

EQUATION DES CORDES VIBRANTES y x O Soit une corde vibrante de masse par unité de longueur µ, tendue avec la tension To. x T’ T q q’ dF y dx Elément de corde de masse dm = µ dx L’onde est transversale, la force dF est alors dirigée suivant l’axe Oy, elle ne modifie par conséquent pas la tension To longitudinale de la corde, d’où : soit : mais : or : soit en comparant à

Effet Doppler VS S O VO V Période apparente : Fréquence apparente :