« Small World » Modélisation I - Modèle de Watts et Strogatz II - Simulation Python III - Approche de Newman

I – Principe du modèle de Watts et Strogatz Chaque personne connaît ses voisins => donne un monde ordonné. Or il existe des relations que l’on peut considérer comme aléatoires. -> on introduit un paramètre p (symbolisant le pourcentage de relations aléatoires) compris entre 0 et 1 Conclusion: on considère un monde de N personnes, connaissant de façon ordonnée Z voisins et avec un part d’aléatoire p. « Modèle simple => on montrera ses limites. » Graphe d’un monde ordonné personne relation

Aboutir au modèle de Watts-Strogatz Observation1 = nous connaissons nos voisins monde <- N personnes connaissant chacune Z voisins modèle assez réaliste V fin F Observation2 = il existe une part d'aléatoire dans les relations monde <- monde + p*N*Z relations aléatoires

Courbe de Watts-Strogatz Graphe du Chemin minimum moyen et de la Densité Locale en fonction de l'aléatoire

II - Simulation Python Avantages du python : - souplesse (multiples librairies + syntaxe)‏ - puissance de calcul On stocke les gens dans des dictionnaires (peut être assimilé à un tableau sous Maple): dico[clé] = liste des voisins de 'clé' Ex1 -> monde de 30 personnes, 4 voisins Ex2 -> monde de 30 personnes, 4 voisins, 10% d'aléatoires On définit 2 fonctions : C (clustering coefficient) = densité locale L (average path length) = chemin minimum moyen

1) L = Average Path Length Représente le Chemin minimum moyen d'un graphe Calcul de L: On calcul les chemins minimums entre chaque personne L <- ( moyenne des ces chemins minimums )‏ Exemples: syntaxe (nb de personnes, nb de voisins, aléatoire)‏ Ex1: monde (20, 2, 0)‏ Ex2: monde (20, 2, 0.2)‏ Ex3: monde (200, 4, 0)‏ Ex4: monde (200, 4, 0.1)‏

2) C = Clustering Coefficient C = probabilité que 2 voisins d’une personne du réseau (choisie au hasard) se connaissent -> C correspond à une densité locale du graphe. Calcul de C, pour chaque personne du graphe: On stocke ses V voisins dans une liste 2 voisins se connaissent => num_bonds = num_bonds + 1 On divise par le nombre maximal de connexions entre les voisins (ce qui correspond à la somme des termes de 1 à V-1 (V = nombre de voisins)‏

3) Courbe de Watts-Strogatz Modèle de Watts- Strogatz: Monde de 1000 personnes Chaque personne est liée à 10 voisins On trace C(p)/C(0) et L(p)/L(0)‏ C(p)/C(0)‏ L(p)/L(0)‏

4) Idée Personnelle TrouverDegre(L, Z, degre voulu, precision) -> retourne un intervalle J = algorithme qui cherche par dichotomie un intervalle J de p certifiant que le graphe à (L personnes, Z connaissances, p dans l’intervalle J) possède le degré « degre voulu » de séparation. Exemple pour le modèle Watts-Strogatz L=1000 ; Z=10 On choisit: degre=6 et precision=0.001

III - Approche de Newman Un des problèmes dans l’étude de réseaux : la présence d’informations biaisées dans les bases de données -> études fondées sur des interviews ou des questionnaires où l’on demande aux personnes du réseau d’en identifier d’autres pour répertorier les relations. Réseaux qui permettent d’éviter ce problème = réseaux d’affiliation -> réseaux où les personnes sont reliées entre elles selon leur appartenance à un groupe, une société, … Ce genre d’approche permet de construire plus simplement des réseaux plus gros et plus précis.

1) Modélisation de Newman Newman modélise cette approche grâce à des graphes bipartites : une partie du graphe représente les différents groupes inclus dans le réseau la deuxième partie du graphe représente les personnes du réseau reliées au(x) groupe(s) au(x)quel(s) elles appartiennent. Possibilité de revenir à un graphe simple où l’on ne représente que les personnes et les relations qu’elles ont entre elles.

2) Exemple de graphe bipartite 1 2 3 A B C D E F G H personne 1 groupe A relation A C G F D B H E