La réflexion dans le plan Cartésien

La réflexion dans le plan Cartésien Quelques point importants   Définition: Symétrie par rapport à un axe perpendiculaire à une direction donnée. L’orientation de l’image est à l’opposé de celle de la figure initiale. L’axe de symétrie ou la droite de réflexion : Droite par rapport à laquelle on obtient l’image d’une figure donnée par réflexion. Exemples de réflexion dans la vie courante : (1) Une personne et son image dans un miroir. (2) Les feux d’artifice et leur image dans un lac.

La réflexion dans le plan Cartésien

La réflexion dans le plan Cartésien Les étapes pour faire une réflexion (1) Mesurer la distance entre les sommets de la figure initiale et l’axe de symétrie et ce, à un angle de 90o. (2) Mesurer la même distance de l’autre côté de l’axe de symétrie pour placer les points de l’image. (3) On utilise la même méthode pour déterminer tous les sommets de l’image. On remarque que l’image est l’opposé de la figure initiale.

La réflexion dans le plan Cartésien Comme pour la translation, nous effectuons une réflexion en appliquant une règle sur les coordonnées des points formant la figure initiale. Appliquons la règle suivante sur les coordonnées des points formant le triangle ABC. x y A B C S1: ( x, y)  ( - x, y)

La réflexion dans le plan Cartésien Appliquer une règle signifie que nous devons remplacer les coordonnées (x, y) de la règle par les coordonnées d’un point de la figure initiale. Regarde bien ce qui suit. x y A B C Coordonnées des points initiaux: A ( -2, 4) B ( -1, 1) C ( -3, 1)

La réflexion dans le plan Cartésien Lorsqu’on applique la règle S1: ( x, y)  ( - x, y) aux points initiaux, on trouve les points images de la figure initiales. Regarde bien ce qui suit. y A B C Règle: S1: ( x, y)  ( - x, y) A( -2, 4) (- (-2), 4) A’( 2,4) B( -1, 1) (- (-1), 1) B’( 1,1) C( -3, 1) (- (-3), 1) C’( 3,1)

La réflexion dans le plan Cartésien Place les points A’, B’ et C’ obtenus dans le plan cartésien. x y A B C A’( 2,4) B’( 1,1) C’( 3,1) A’ B’ C’

La réflexion dans le plan Cartésien En reliant ces points, tu obtiendras la figure image. x y A B C A(-2, 4) A’( 2,4) B(-1, 1) B’( 1,1) C(-3, 1) C’( 3,1) A’ B’ C’

La règle d’une réflexion 1. Effectuons la réflexion de ces points par rapport à l’axe des abscisses (x) et observons l’effet sur les coordonnées des points A, B, C et D x y A(-4, -2) A’( -4, 2) B(-2, 0) B’( -2, 0) C(0, -1) C’( 0, 1) D(2, 3) D’( 2, -3) D A’ C B’ B C’ On observe que seule la coordonnée «y» change de signe. A D’ Remarque: les points B et B’ sont situés au même endroit.

La règle d’une réflexion 2. Effectuons la réflexion de ces mêmes points, mais par rapport à l’axe des ordonnées (y) et observons à nouveau l’effet sur les coordonnées des points A, B, C et D. x y A(-4, -1) A’( 4, -1) B(-2, 0) B’( 2, 0) C(0, 1) C’( 0, 1) D(2, 2) D’( -2, 2) D’ D C’ C B B’ Cette fois, il n’y a que la coordonnée «x» qui change de signe, la coordonnée «y» reste la même. A A’ Nous pouvons donc conclure que: Sx: ( x, y)  ( x, -y) Sy: ( x, y)  ( -x, y) Remarque: les points C et C’ sont situés au même endroit.

La règle d’une réflexion 3. Mais qu' ’en est-il des règles pour les réflexions où l’axe coupe les quadrants I et III? x y Observons l’effet de la réflexion S pour les points A et B. A A(1, 3) A’( 3,1) B(1, -2) B’( -2,1) B’ A’ On observe que les coordonnées conservent leur signe, mais changent de place. B Donc la règle pour S est: S (x, y )  (y, x) S

La règle d’une réflexion 4. Mais qu’en est-il des règles pour les réflexions où l ’axe coupe les quadrants II et IV? x y Observons l’effet de la réflexion S pour les points A et B. A A(1, 3) A’( -3,-1) B(1, -2) B’( 2,-1) B’ A’ On remarque que les coordonnées, dans les deux cas, changent de place et changent de signes. B Donc la règle pour S est: S (x, y )  (-y, -x) S

( -,+) ( +,+) ( -,-) ( +,-) II I III IV La règle d’une réflexion Réfléchissons un peu! x y Dans le quadrant I et III, les signes des 2 coordonnées sont identiques (+, +) et (-, -) . II I ( -,+) Donc pour S , on ne change pas les signes. ( +,+) Dans le quadrant II et IV, les signes des coordonnées sont différents (-, +) et (+,-). Donc pour S , on change les signes. III IV ( -,-) ( +,-)

En Résumé: La règle d’une réflexion Pour Sx seule la coordonnée «y» change de signe. Sx : ( x, y)  ( x, -y) Pour Sy seule la coordonnée «x» change de signe. Sy: ( x, y)  ( -x, y) Pour S les coordonnées changent de place, mais conservent leurs signes. S (x, y )  (y, x) Pour S les coordonnées changent de place et changent de signes. S (x, y )  (-y, -x)