Puissances de matrices BELOUCHAT – BOUKHADCHA – LAPICHE - OHAYON

INTRODUCTION Théorie des matrices considérée comme une branche secondaire de l'algèbre linéaire Graphes, algèbre, combinatoire et statistiques. Utilisées pour de multiples applications ,notamment représenter les coefficients des systèmes d'équations linéaires.

Plan Suite récurrente Décomposition Diagonalisation Polynôme annulateur Me voila, je suis de retour ! Alors, un peu de matrices ? Voila le plan !

Puissance d’une matrice à l’aide d’une suite récurrente 1er point : Trouver une relation de récurrence (par tâtonnement) avec le terme de premier ordre. 2ème point : Exemple particulier : On trouve une relation de la forme : A² = 3A-2I A3 = 3A2 – 2A A3 =7A – 6I

Puissance d’une matrice à l’aide d’une suite récurrente On peut supposer que chaque terme de An est décomposable avec an*A + bn*I où an et bn sont des constantes à déterminer. 3ème point : On a alors An=an*A + bn*I , d’où An+1 = an+1*A+ bn+1*I

Puissance d’une matrice à l’aide d’une suite récurrente 4ème point : Grâce à ces équations de réccurences on obtients les équations suivantes : an+1 = an+ bn bn+1 = -2*an D’où an+2 = 3* an+1 – 2* an

Puissance d’une matrice à l’aide d’une suite récurrente On résout alors l’équation de double récurrence : r2 = 3*r – 2 On a Δ = 17 et : r1= (-3 - √17)/(2*3) r2= (-3 + √17)/(2*3)

Puissance d’une matrice à l’aide d’une suite récurrente On a donc l’équation finale suivante : An = (a1*r1n+a2*r2n )*A - 2*(a1*r1n+a2*r2n )*I Avec les conditions initiales on a : a1=1, b1=0 , a2 = 1,b2=-2

Décomposition de Dunford Théorème : Soit M un endomorphisme de E. Si M admet un polynôme minimal scindé, alors il peut s'écrire sous la forme M = D + N avec : D diagonalisable N nilpotent Tels que D et N commutent

Matrice Nilpotente Exemple:

Prendre une matrice carrée A. Calculer son polynôme caractéristique P. Déroulement - 1 Prendre une matrice carrée A. Calculer son polynôme caractéristique P. Calculer le PGCD du polynôme caractéristique P et de P' la dérivée du polynôme caractéristique. Diviser P par le PGCD ainsi trouvé pour obtenir Q (sans facteur carré).

Appliquer la suite définie ci-dessous : Déroulement - 2 Appliquer la suite définie ci-dessous : A0 = A An+1 = An – Q'(An)-1Q(An)‏ Continuer jusqu'à ce que Q(An) = 0.

Servir la Décomposition de Dunford Suggestion de présentation : Déroulement - 3 Dès que Q(An) = 0 poser : D la matrice diagonale = An N la matrice nilpotente = A – D Servir la Décomposition de Dunford Suggestion de présentation : A = D + N

Application au problème de Fibonacci Combien y aura-t-il de lapins dans n mois? Soit fn le nombre de lapins au début du nième mois. Alors on a f0=0, f1=1, f2=2, f3=3, f4=5,... fn=fn-1+fn-2 avec f0 =0 et f1 =1

Résolution par diagonalisation Peut-on trouver une expression qui donne fn  pour n'importe quel n ? Comment trouver les vecteurs propres de A? Soit la matrice A :

Vecteurs propres En résolvant ce polynôme caractéristique, on trouve les deux valeurs propres :

Vecteurs et Espaces propres La solution générale est : D’où les vecteurs :

Matrice diagonale De la forme : Comme on a : D= x Ainsi on retrouve :

Fibonacci On considère le vecteur: La relation fn=fn-1+fn-2 donne : On obtient : x

Solution On a donc Vn= Et Et par exemple pour f100 : = 573147844013817084101

Ces satanés lapins m’ont trahis, ils voulaient envahir la Terre!!! Heureusement que je vais obtenir le GuaGuaStructor et ses munitions : les polynômes annulateurs!

“relation polynômiale simple” : Polynôme annulateur “relation polynômiale simple” : P(A) =0, avec P un polynôme de degré le plus petit possible. Division euclidienne de Xn par P.

Pour un polynôme P et une matrice A tel que : Polynôme annulateur Pour un polynôme P et une matrice A tel que : On définit :

Division euclidienne de Xn par P: Xn = QnP + Rn Polynôme annulateur Division euclidienne de Xn par P: Xn = QnP + Rn On a alors An= Rn(A)

Soit A la matrice suivante : Polynôme annulateur Soit A la matrice suivante : On constate que : A² - A – 2I3 = 0. P = X² - X – 2 = (X-2)(X+1)

Polynôme annulateur Xn = QnP + αn X βn avec 2n = 2 αn + βn et (-1)n = -αn + βn Finalement,

Super lapin VS Super GuaGua BOOM Super lapin VS Super GuaGua Je m’avoue vaincu SuperGuaGua! Heureusement que les terriens t’ont toi et les maths!!! Me voilà bien armé contre ces lapins crétins! Comme tu le dis, je suis là pour leur distribuer des bons points et punir les cancres!!! Vers +/- l’infini !

uper Gua-Gua Conclusion Différentes méthodes de calcul plus ou moins longues . Cela dépend également des coefficients des matrices. uper Gua-Gua Diagonalisation présente à priori plus de chances de se tromper mais est applicable à tous les types de matrices carrées.

Bonnes vacances!!! +1 +1 +1 +1 +1 +1 +1 +1 +1 +1 +1 +1 +1 +1 +1 +1 +1