Conduction Bidirectionnelle en régime permanent Chapitre VI Conduction Bidirectionnelle en régime permanent

Introduction

Introduction Régime permanent

Introduction Régime permanent

Introduction Régime permanent

On se limitera dans cette partie aux milieux à deux dimensions sans production de chaleur et dans un régime permanent 1. Méthode analogique 2. Méthode numérique

Le principe de cette méthode: RESOLUTION NUMÉRIQUE DE L’ ÉQUATION DE LA CHALEUR PAR LES MÉTHODES DES DIFFÉRENCES FINIES Le principe de cette méthode: Remplacer l'équation différentielle aux dérivées partielles (qu'on ne sait pas résoudre en général) par un système d'équations linéaires (que l'on pourra résoudre facilement). Au lieu de chercher l’expression T(x,y) de la température en tout point du domaine, on va déterminer les températures uniquement en des lieux précis du domaine. Pour cela, on discrétise le domaine à l’aide d’un maillage qui définit les points particuliers (les nœuds) où l’on va chercher la température.

On remplace la fonction continue T(x,y) par l’ensemble de points discrets Tm,n. Autour de chaque nœud on définit un volume de contrôle: Δx.Δy.L

- découper le plan (x,y) en un réseau de maille rectangulaire: RESOLUTION NUMÉRIQUE DE L’ ÉQUATION DE LA CHALEUR PAR LES MÉTHODES DES DIFFÉRENCES FINIES Étapes à suivre pour l’établissement des équations aux différences finies - découper le plan (x,y) en un réseau de maille rectangulaire: On appellera: : La température au nœud Pi,j. : La composante du vecteur densité de flux. : La puissance volumique libérée au nœud Pi,j. : Les dimensions de la maille élémentaire.

Bilan thermique pour un élément de surface entourant un nœud interne.

RESOLUTION NUMÉRIQUE DE L’ ÉQUATION DE LA CHALEUR PAR LES MÉTHODES DES DIFFÉRENCES FINIES - Écrire le bilan thermique pour l’élément de volume de section (x  y) et d’épaisseur unité, qui entoure le nœud Pi,j. La loi de FOURIER permet d’exprimer les densités de flux algébriques:

RESOLUTION NUMÉRIQUE DE L’ ÉQUATION DE LA CHALEUR PAR LES MÉTHODES DES DIFFÉRENCES FINIES Pour un maillage carré (x=y=ℓ), on obtient l’équation aux différences suivante: Le système doit être complété par les expressions traduisant les conditions de surface. Les conditions de surface sont: 1- Température imposée : elle n’introduit pas de conditions supplémentaires.

RESOLUTION NUMÉRIQUE DE L’ ÉQUATION DE LA CHALEUR PAR LES MÉTHODES DES DIFFÉRENCES FINIES 2- densité de flux imposée : Si  représente la densité de flux imposée à la frontière du système, le bilan thermique pour l’élément de surface (x.y/2) entourant le nœud frontière P1,j s’écrit:

h, T∞ Bilan thermique pour un élément de surface entourant un nœud à la frontière (cas d’une condition de flux imposé).

3- échange par convection avec l’environnement : RESOLUTION NUMÉRIQUE DE L’ ÉQUATION DE LA CHALEUR PAR LES MÉTHODES DES DIFFÉRENCES FINIES 3- échange par convection avec l’environnement : La densité de flux a pour expression:  =h(T-T1,j). L’équation devient:

Résolution du système d’équations Le système linéaire de n équations à n inconnus obtenu, peut être résolu par la méthode matricielle  :

Exercice d’application Un four dont la section droite est schématisée sur la figure ci-dessous a des températures de paroi interne Tp1=1150°C et externe Tp2=50°C. Compte tenue des symétries, on étudiera le champs thermique dans le quart de la section droite. On demande d’écrire les équations aux différences finies qui permettent de déterminer le champs thermique en régime permanent.