Cours N°1 lois de composition, groupe, anneaux et corps, espace vectoriel

Structure de groupe Def: un groupe est un ensemble (G,*) où 1) ∗ est une loi de composition interne i.e. ∀ 𝑥,𝑦 ∈𝐺, 𝑥∗𝑦∈𝐺 2) ∗ est associative i.e. ∀ 𝑥,𝑦,𝑧 ∈𝐺, 𝑥∗𝑦 ∗𝑧=𝑥∗(𝑦∗𝑧) 3) La loi ∗ admet un élément neutre i.e. ∋𝑒∈𝐺 𝑡𝑞 ∀ 𝑥∈𝐺 𝑥∗𝑒=𝑒∗𝑥=𝑥 4) Tout élément 𝑥∈𝐺 admet un inverse pour ∗ i.e. 𝑥∗ 𝑥 ′ = 𝑥 ′ ∗𝑥=𝑒 𝑛𝑜𝑡é 𝑥 −1 .

Remarque :Si de plus on a 𝑥∗𝑦=𝑦∗𝑥 ∀𝑥,𝑦 ∈𝐺 𝐺 est dit groupe commutatif ou (abélien). Exemple : (ℝ ∗ ,X) est abélien car: ∀ 𝑥,𝑦 ∈ ℝ ∗ 𝑎𝑙𝑜𝑟𝑠 𝑥 X 𝑦 ∈ ℝ ∗ 𝑥X(𝑦𝑋𝑧)= 𝑥𝑋𝑦 𝑋𝑧)=(, ∀ 𝑥,𝑦, 𝑧 ∈ ℝ ∗ 1 est l’élément neutre car 1𝑋𝑥=𝑥X1=𝑥 4) 𝑥 ′ = 1 𝑥 est l’inverse de tout élément 𝑥∈ ℝ ∗ car 𝑥𝑋 1 𝑥 = 1 5) 𝑥𝑋𝑦=yXx, ∀ 𝑥,𝑦, 𝑧 ∈ ℝ ∗

exemples 𝕫,+ , (ℚ ∗ ,𝑋), (𝕔 ∗ ,𝑋), ℚ,+ , ℝ,+ , 𝕔,+ sont des groupes Abélien. Mais ( 𝕫 ∗ ,x) n’est pas un groupe car 2 n’a pas d’inverse pour la loi x. Aussi (ℕ,+) n’est pas un groupe car 3 n’a pas d’inverse pour la loi +

Exemple géométrique Soit ℛ l’ensemble des rotations du plan dont le centre est à l’origine 𝒪. Alors (ℛ,𝔬) forme un groupe commutatif où 𝔬 est la loi composition de fonctions . 1) ℛ 𝜃 𝔬 ℛ 𝜃 ′ est une rotation 2) ℛ 𝜃 𝔬 (ℛ 𝜃 ′ ℛ 𝜃 " )= ( ℛ 𝜃 𝔬 ℛ 𝜃 ′ )𝔞 ℛ 𝜃 " 3) l’élément neutre est la rotation d’angle 0 4) l’inverse d’une rotation d’angle 𝜃 est une rotation d’angle −𝜃 Enfin elle est commutative ℛ 𝜃

Deuxième exemple Soit ℐ l’ensemble des isométries du plan (translation, rotation, reflexions et leurs composées ) alors (ℐ, 𝔬 ) est un groupe mais pas commutatif, 𝔬 désigne toujours est la loi composition de fonctions . En effet, soient la rotation ℛ de centre (0,0) et d’angle 𝜋 2 et 𝒯 la translation de vecteur (1,0).

𝒯𝔬ℛ et ℛ𝔬𝒯 ne sont pas égales car: 𝒯𝔬ℛ(1,1)=𝒯(-1,1)=(0,1) ℛ𝔬𝒯(1,1)= ℛ(2,1)=(-1,2) ℛ𝔬𝒯(A) ℛ(A) 𝒯𝔬ℛ(1,1) A A 𝒯(A)

Application Aux Matrices L’ensemble des Matrices 2x2 ayant un déterminant non nul muni de la multiplication est un groupe qui n’est pas commutatif car le produit des matrices ne l’est pas. Preuve: 1) La loi est interne, 2) elle est associative, 3) elle possède un élément neutre, 4) elle possède un élément symétrique.

Anneaux Un anneau est une extension de groupe mais avec deux opérations (𝐴, +, x) tel que 𝐴, + est un groupe commutatif x LCI x est associative x distributive par rapport à + à gauche et à droite De plus si x est commutative l’anneau est commutatif et si x possède un élément neutre on dit que le groupe est unitaire

Il suffit de vérifier que ℤ, ℚ, ℝ, ℂ sont des anneaux pour les deux lois usuelles + et x. Exercice : on munit ℝ de la loi de composition ∗ définie par : ∀ 𝑥,𝑦 ∈ ℝ 𝑥∗𝑦=𝑥𝑦+( 𝑥 2 −1)( 𝑦 2 −1) La loi ∗ est commutative , non associative et admet un élément neutre (A vérifier chez vous).

Exemple d’anneau Soit 𝐴=ℝx ℝ, on munit cet ensemble de deux lois 𝑥,𝑦 + 𝑥 ′ , 𝑦 ′ =(𝑥+ 𝑥 ′ , 𝑦+𝑦′) Et 𝑥,𝑦 ∗ 𝑥 ′ , 𝑦 ′ =(𝑥 𝑥 ′ , 𝑥𝑦′+𝑥′𝑦) Montrer que (𝐴, +, ∗) est un anneau commutatif

solution + est une LCI + est associative: 𝑥,𝑦 + 𝑥 ′ ,𝑦′ +(𝑥",𝑦") = 𝑥,𝑦 +( 𝑥 ′ ,𝑦′) + 𝑥",y" . + est commutative + possède un élément neutre : 𝑥,𝑦 + 𝑎,𝑏 = 𝑎,𝑏 + 𝑥,𝑦 = 𝑥,𝑦 𝑥+𝑎,𝑦+𝑏 = 0,0 𝑎=0 𝑒𝑡 𝑏=0 + possède un élément symétrique: (𝑥,𝑦)+(𝑥’,𝑦’)=(0,0) 𝑥+ 𝑥 ′ =0 𝑦+ 𝑦 ′ =0 𝑥 ′ =−𝑥 𝑒𝑡 𝑦 ′ =−𝑦

La loi externe ∗ ∗ est une LCI ∗ est associative: 𝑥,𝑦 ∗ 𝑥 ′ , 𝑦 ′ ∗ 𝑥",y" = 𝑥,𝑦 ∗ 𝑥 ′ , 𝑦 ′ ∗ 𝑥",y" ∗ est distributive par rapport à l’addition: 𝑥,𝑦 ∗ 𝑥 ′ , 𝑦 ′ + 𝑥",y" = 𝑥,𝑦 ∗ 𝑥 ′ ,y′ + 𝑥,𝑦 ∗(𝑥",y") ∗ admet un élément neutre: 𝑥,𝑦 ∗ 𝑒,𝑓 = 𝑒,𝑓 ∗ 𝑥,𝑦 = 𝑥,𝑦 𝑒=1,𝑓=0

Structure de corps Noté (𝐾, +, x) un anneau dans lequel tous les nombres possèdent un inverse par rapport à la loi externe x. Remarque: ℚ, ℝ, ℂ sont des corps par rapport à la multiplication usuelle mais ℤ ne l’est pas pourquoi? Car 2 n’a pas un inverse dans ℤ par rapport la multiplication.

Exemples d’Applications EX1: les ensembles suivants sont ils des groupes? −1,1 , 𝑚𝑢𝑛𝑖 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑙𝑜𝑖 𝔬 𝑡𝑞 𝑥𝔬𝑦= 𝑥+𝑦 1+𝑥𝑦 ℝ 2 muni de la loi 𝑥,𝑦 ∗ 𝑎,𝑏 =(𝑥+𝑦,𝑎𝑏)

Encore une Application On considère sur ℝ les deux lois suivantes: 𝑥⨁𝑦=𝑥+𝑦−1 et 𝑥⊗𝑦=𝑥+𝑦−𝑥𝑦. 1) Vérifier qu’il s’agit bien d’une LCI 2) ℝ muni de ces deux lois est-il un corps ?

Structure d’Espace Vectoriel Le but des espaces vectoriels c’est dégager des propriétés communes que partagent des ensembles pourtant très différents. Par exemple on pourra additionner deux vecteurs du plan ou multiplier un vecteur par un nombre, additionner deux fonctions ou multiplier une fonction par un nombre reel, même chose avec les polynômes ou le matrices.

Définition Un 𝕜 e.v est un ensemble non vide 𝐸 muni de: Une loi de composition interne + i.e. ∀ 𝑢,𝑣 ∈𝐸 𝑎𝑙𝑜𝑟𝑠 𝑢+𝑣∈𝐸. Et d’une loi externe x i.e. ∀ 𝑢,∈𝐸 𝑒𝑡 𝜆 ∈𝕜 𝑎𝑙𝑜𝑟𝑠 𝜆x𝑢∈𝐸. Et vérifiant les propriétés suivantes:

1) 𝑢+𝑣=𝑣+𝑢 ∀𝑢,𝑣 ∈𝐸 2) 𝑢+(𝑣+𝑤)=(𝑢+𝑣)+𝑤, ∀𝑢,𝑣 ∈𝐸 3) ∀ 𝑢 ∈𝐸, ∃ 𝑢 ′ :𝑢+ 𝑢 ′ = 0 𝐸 ------------------------------------------------------------ 1x𝑢=𝑢 𝜆x(𝑢+𝑣)= 𝜆x𝑢+𝜆x𝑣 (𝜆+𝜇)𝑢= 𝜆𝑢+𝜇𝑢.

Exemple Tout plan passant par l’origine dans ℝ 3 est un espace vectoriel par rapport aux opérations habituelles sur les vecteurs. 𝕜=ℝ, 𝐸=𝒫 un plan passant par l’origine; le plan admet une équation de la forme 𝑎𝑥+𝑏𝑦+𝑐𝑧=0, 𝑎;𝑏;𝑐 des reels non nuls.

Un élément 𝑢∈𝐸 est un triplet 𝑉 𝑥 𝑦 𝑧 tq 𝑎𝑥+𝑏𝑦+𝑐𝑧=0. Soient 𝑥 𝑦 𝑧 , 𝑥′ 𝑦′ 𝑧′ deux éléments de 𝐸 tq 𝑎𝑥+𝑏𝑦+𝑐𝑧=0 𝑒𝑡 𝑎𝑥′+𝑏𝑦′+𝑐𝑧′=0⇒ 𝑥+𝑥′ 𝑦+𝑦′ 𝑧+𝑧′ ∈𝐸 car 𝑎(𝑥+ 𝑥 ′ )+𝑏(𝑦+ 𝑦 ′ )+𝑐(𝑧+ 𝑧 ′ )=0

L’élément neutre est 0 0 0 L’élément symétrique est - 𝑥 𝑦 𝑧 Les autres propriétés sont facile a vérifier

Attention Le plan ne contenant pas l’origine n’est pas un espace vectoriel , pourquoi? Car justement il ne contient pas l’origine 0 0 0 et qui est un élément neutre pour cet espace

Un autre Exemple d’e.v Soit l’ensemble ℱ des fonctions numériques à variable réelle 𝔣 définies par 𝑓 𝑥 =𝑎𝑥+𝑏 et munissons ℱ d’une loi interne notée + tq 𝑓+𝑔 𝑥 =𝑓 𝑥 +𝑔(𝑥) et d’une loi externe notée . Telle que 1.𝑓 𝑥 =1.𝑓 𝑥 Nous allons montrer que ℱ est un e.v sur ℝ

Preuve Prouvons d’abord que (ℱ,+) est un groupe commutatif, La loi + est une LCI car 𝑓+𝑔 𝑥 = 𝑎+𝑐 𝑥+𝑏+𝑑 + est associative Admet un élément neutre et un élément symétrique Enfin elle est commutative

On continue à prouver que ℱ est un espace vectoriel En effet 1) ∀𝑓∈ℱ, 1.𝑓 𝑥 =1.𝑓 𝑥 =𝑓 𝑥 ; 2) 𝛼. 𝛽.𝑓 𝑥 = 𝛼𝛽 .𝑓(𝑥); 3) 𝛼+𝛽 .𝑓 𝑥 =𝛼.𝑓 𝑥 +𝛽.𝑓 𝑥 ; 4) 𝛼. 𝑓+𝑔 𝑥 =𝛼.𝑓 𝑥 +𝛼.𝑔(𝑥),

Base et Dimension d’un e.v Tout espace vectoriel de dimension fini admet un système générateur et libre (base) Exemple dans ℝ 2 , on a la base canonique ( 𝑒 1 , 𝑒 2 )=((1,0), (0,1)) mais y en a plein d’autres bases pourvu que les vecteurs qui la composent soient générateurs et libres

Définition On appelle espace vectoriel de dimension finie tout espace vectoriel possédant une famille génératrice et cette famille est une base si elle est libre Remarque: grâce à cette base on peut effectuer des calculs sur l’espace vectoriel

Exemple de famille génératrice Montrer que les vecteurs 𝑣 1 = 1,1,1 , 𝑣 2 =(−1,1,0), 𝑣 3 = 1,0,−1 , forment une base de ℝ 3 ; dans ℝ 3 , donner un exemple de famille libre et qui n’est pas génératrice et un exemple d’une famille génératrice et qui n’est pas libre.

Résolution Famille libre par définition est lorsqu'il s'agit d'une famille finie , cette condition s'écrit : ∀ 𝑎 1 … 𝑎 𝑛 ∈ 𝐾 𝑛 , 𝑎 1 𝑣 1 +….+ 𝑎 𝑛 𝑣 𝑛 =0⟹ 𝑎 1 = 𝑎 2 =… 𝑎 𝑛 =0 Appliquée à notre cas on voit que : 𝑎 1 𝑣 1 + 𝑎 2 𝑣 2 + 𝑎 3 𝑣 3 =(0,0,0)⟺ 𝑏+𝑐=0 𝑎+𝑐=0 𝑎+𝑏=0 donc 𝑎=𝑏=𝑐=0

Une famille  finie de vecteurs ( 𝑒 1 ,…, 𝑒 𝑛 ) de  est dite génératrice de 𝐸  si tout vecteur de 𝐸   est une combinaison linéaire des vecteurs de cette famille i.e. ∀𝑥∈𝐸, ∃ 𝜆 1 ,…, 𝜆 𝑛 ϵ 𝐾 𝑛 𝑡𝑞 𝑥= 𝑖=1 𝑛 𝜆 𝑖 𝑒 𝑖 . Appliquée à notre cas on voit que Pour n’importe quel vecteur 𝑣 = (𝑥, 𝑦,𝑧) de ℝ 3 , on doit trouver trois réels 𝑎, 𝑏, 𝑐 tq

𝑎 𝑣 1 +𝑏 𝑣 2 +𝑐 𝑣 3 = 𝑣 ⇐⇒ 𝑎(0,1,1) +𝑏(1,0,1) +𝑐(1,1,0) = (𝑥, 𝑦,𝑧) ⇐⇒ Donc pour a = 1 2 −𝑥+𝑦+𝑧 , 𝑏 = 1 2 𝑥−𝑦+𝑧 , 𝑐 = 1 2 𝑥+𝑦−𝑧 𝑜𝑛 𝑎, 𝑎 𝑣 1 +𝑏 𝑣 2 +𝑐 𝑣 3 = 𝑣= 𝑥, 𝑦,𝑧 , 𝐷𝑜𝑛𝑐 𝑙𝑎 𝑓𝑎𝑚𝑖𝑙𝑙𝑒 { 𝑣 1 , 𝑣 2 , 𝑣 3 } 𝑒𝑠𝑡 𝑔é𝑛é𝑟𝑎𝑡𝑟𝑖𝑐𝑒.

Par exemple la famille {(1,0,0),(0,1,0)} est libre dans R mais pas génératrice. La famille {(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1),(1,1,1)} est génératrice dans R mais pas libre. A vérifier chez vous

Applications Lineaires Définition: soient 𝐸 𝑒𝑡 𝐹 deux espace vectoriels, 𝑓:𝐸→𝐹 est une application lineaire si: 𝑓 𝑢+𝑣 =𝑓 𝑢 +𝑓 𝑣 , ∀𝑢,𝑣 ∈𝐸 𝑓 𝜆.𝑢 =𝜆.𝑓 𝑢 , ∀𝑢 ∈𝐸 et λ∈𝕜 L’ensemble des applications linéaire est noté ℒ 𝐸,𝐹 .

Exemple d’Application linéaire Soit 𝑓: ℝ 2 → ℝ 2 , 𝑥,𝑦 → 2𝑥+𝑦, 𝑥−𝑦 C’est une application linéaire car 𝑓 𝑢+𝑣 =𝑓 𝑥+ 𝑥 ′ ,𝑦+ 𝑦 ′ = 2 𝑥+ 𝑥 ′ + 𝑦+ 𝑦 ′ , 𝑥+ 𝑥 ′ − 𝑦+ 𝑦 ′ 2 𝑥+ 𝑥 ′ + 𝑦+ 𝑦 ′ , 𝑥+ 𝑥 ′ − 𝑦+ 𝑦 ′ = 2𝑥+𝑦, 𝑥−𝑦 + 2 𝑥 ′ + 𝑦 ′ , 𝑥 ′ − 𝑦 ′ =𝑓 𝑢 +𝑓 𝑣 Et 𝑓 𝜆𝑢 =𝑓 𝜆 𝑥,𝑦 = 2𝜆𝑥+𝜆𝑦, 𝜆𝑥−𝜆𝑦 2𝜆𝑥+𝜆𝑦, 𝜆𝑥−𝜆𝑦 =𝜆(2𝑥+𝑦, 𝑥−𝑦)= 𝜆𝑓 𝑢

Remarque Toutes les applications ne sont pas forcément linéaires voici un exemple simple; Soit 𝑓: ℝ 3 → ℝ 3 , 𝑥,𝑦,𝑧 → 𝑥𝑦, 𝑥, 𝑦 Ce n’est une application linéaire car 𝑓 𝑢+𝑣 ≠𝑓 𝑢 +𝑓 𝑣 En effet 𝑓 𝑢+𝑣 =𝑓 1,1,0 + 1,1,0 =𝑓 2,2,0 = 4,2,2 Mais

Donc 𝑓 𝑢 +𝑓 𝑣 =(2,2,0)≠ 𝑓 𝑢+𝑣 =(4,2,2) 𝑓 𝑢 =𝑓 1,1,0 = 1,1,1 𝑒𝑡 𝑓 𝑣 =𝑓(1,1,0) Donc 𝑓 𝑢 +𝑓 𝑣 =(2,2,0)≠ 𝑓 𝑢+𝑣 =(4,2,2) Un autre exemple concernant l’application 𝑓: ℝ → ℝ définie par 𝑓 𝑥 = 𝑥 2 on 𝑓 1 =1 𝑒𝑡 𝑓 2 =4 𝑓 2.1 =𝑓 2 =4≠2.𝑓 1 =2.1=2 Cette application ne satisfait pas la condition 𝑓 𝛼.𝑢 =𝛼.𝑓(𝑢) Exercice: vérifier si 𝑓 𝑥,𝑦,𝑧 = −2𝑥,𝑦+3𝑧 𝑒𝑠𝑡 𝑙𝑖𝑛é𝑎𝑖𝑟𝑒!

Noyau et Image d’une Application linéaire Soit une application linéaire 𝑔:𝐸→𝐹, le noyau de l’application 𝑔 est définie par : 𝐾𝑒𝑟 𝑓= 𝑣∈𝐸/ 𝑔 𝑣 =0 Exemple: le noyau de l’application 𝑓: 𝑥,𝑦,𝑧 →(3𝑥+5𝑦+7𝑧, 2𝑥+4𝑦+6𝑧) est l’ensemble des solutions du système suivant 3𝑥+5𝑦+7𝑧=0 2𝑥+4𝑦+6𝑧=0

On définit de la même façon l’image de 𝑓 par: 𝐼𝑚 𝑓= (𝑣)/ 𝑣∈𝐸 Appliquons ceci à l’application du dernier exemple on obtient: 𝐼𝑚 𝑓(𝑥,𝑦,𝑧)= 3𝑥+5𝑦+7𝑧 2𝑥+4𝑦+6𝑧 C’est un espace vectoriel engendré par les vecteurs 𝑒 1 = 3 2 , 𝑒 2 = 5 4 , 𝑒 3 = 7 6

exemple Exercice 1. Soit 𝑢: ℝ 3 → ℝ 2 définie pour tout 𝑥=( 𝑥 1 , 𝑥 2 , 𝑥 3 )∈ ℝ 3 par 𝑢(𝑥)=( 𝑥 1 + 𝑥 2 + 𝑥 3 ,2 𝑥 1 + 𝑥 2 − 𝑥 3 ) 1. Montrer que 𝑢 est linéaire. 2. Déterminer ker⁡(𝑢).

Rang d’une Application linéaire Nous avons vu que le noyau est l’ensemble des éléments de E dont l’image est le vecteur nul de F. le noyau est noté « ker » (de l’allemand Kern qui signifie noyau). Le Rang d’une application linéaire est la dimension de l’image de cette application. Le théorème des dimensions (ou du rang) dim Im f + dim ker f = dim E